2024-2025学年第一学期阶段二测试
九年级 数学
一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知关于的一元二次方程有一个解为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
3．如图，中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，在中，点在边上，连接，交于点，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示：今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ）
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
2.1 1.8 2 1.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示. 经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象. 若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是
9．若关于的一元二次方程两根为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
10．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为4.14米，则车头与后视镜的水平距离约为（ ）
A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米
11．“奇妙”手工课堂开采啦！一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面. （圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（ ）.
A． B． C．20 D．
12．根据图①所示的程序，得到了与的函数图象，如图②. 若点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交图象于点，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，随的增大而增大；④，⑤可以等于. 其中正确结论是（ ）
A．①②⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤
二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．方程的解是________________________________________.
14．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则__.
15．如图所示，已知在梯形中，，，则________.
16．点是内一点，的半径为15，点到圆心的距离为9，通过点，长度是整数的弦的条数是__条.
三.解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分8分）
（1）解方程：；
（2）计算：.
18．（本小题满分8分）
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中在图中格点上，点、的对应点分别为.
（1）在第一象限内画出；
（2）求的面积；
（3）若点在边上，直接写出点位似后的对应点的坐标____________________.
19．（本小题满分8分）
2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来. 某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的__，本次调查数据的中位数是______，本次调查数据的众数是______；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数.
20．（本小题满分8分）
某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示:
每件售价/元 … 45 55 65 …
日销售量/件 … 55 45 35 …
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由.
21．（本小题满分9分）
如图，已知一次函数的图像与函数的图像交于两点，与轴交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点.
（1）求的解析式；
（2）观察图像，直接写出时的取值范围；
（3）连接，，若的面积为6，则的值为______.
22．（本小题满分9分）
实验是培养学生创新能力的重要途径. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处. 现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为.
（1）求试管与铁杆的水平距离的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长边的延长线于点，且于点（点，在一条直线上），经测得：，求线段的长度.
（参考数据：；；）
23．（本小题满分11分）
问题呈现
（1）如图①，在中，，则外接圆半径为______；
问题探究
（2）如图②，的半径为13，弦，点是的中点，点是上一动点，则的最大值为__；
问题解决
（3）如图③所示，，弧是某开发区的三条规划路，其中，，弧所对的圆心角为. 开发区管理委员会想在弧路边修建物资总站点下，在路边分别修建物资分站点，也就是说，分别在弧，线段和上选取点. 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站间按照的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路和. 为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、宽度均忽略不计）.
24．（本小题满分11分）
问题呈现．如图1，和都是等边三角形，连接，求证：.
类比探究．如图2，和都是等腰直角三角形，. 连接，请直接写出的值.
拓展提升．如图3，和都是直角三角形，，且，连接.
①求的值；
②延长交于点，交与点，求的值.
【参考答案】
2024-2025学年第一学期阶段二测试
九年级 数学
一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．A 8．A 9．A 10．A 11．B 12．B
二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．
14．15
15．
16．12
三.解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1） ，；
（2） 0
18．（1） 如图，即为所求.
（2） 的面积为
（3）
[解析]由题意得，点位似后的对应点的坐标为.
故答案为：.
19．（1） 25； 3； 3
[解析]，
参与调查的学生人数为40人，
，
，
参与调查的学生人数一共有40人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为，
中位数为,
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
众数为，
故答案为：25，3，3；
（2） （人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人.
20．（1） 由题意，设一次函数的关系式为，又结合表格数据图象过，，
.
所求函数关系式为.
（2） 由题意，销售额，
又销售额是2600元，
.
.
.
方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元.
21．（1） 将点代入中，
,
，
在中，可得,
，
将点代入,
，
解得，
；
（3） 2
[解析]在中，令，则，，
直线沿轴向上平移个单位长度，
直线的解析式为，
点坐标为，
过点作于点，连接，
直线与轴交点为，与轴交点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：2.
22．（1） ，，
，
，
（2） ，
，
延长，交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
23．（1） 5
解：，，
.
设的外接圆圆心为点，连接，，
则.
又，是等边三角形，
.
（2） 18
[解析]如图（1），连接，，
是弦的中点，
，.
在中，由勾股定理得.
延长交于点，连接，
易知，
故当点运动到点时，取得最大值，最大值为18.
（3） 如图（2），为上任意一点，分别作点关于直线，的对称点，，连接，分别与相交于点，连接，
的周长.
对于点及分别在上的任意点，
有的周长的周长，
即周长的最小值为的长.
连接，
则，，
，
要使最短，只要最短.
设点为所在圆的圆心，连接，且与相交于点，则，
.
当位于的位置时，最短.
连接，易证，为直角三角形，且.
，
. 在中，，
，
的最小值为，
的最小值为.
24．问题呈现 证明：和都是等边三角形，
，，
，
，
，
；
类比探究 和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
；
拓展提升 ① ，，
，
，
，
，
；
② 由（1）得：，
，
，
，
.
