2024~2025学年上学期素质能力提升训练
九年级 数学 试题卷
范围：九上21.1~23.3
（全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.本卷为试题卷。答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息。答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效。
2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．云南省是我国少数民族种类最多的省份，民俗文化丰富多彩.下面几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．若点，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．轴
7．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．0.1 D．1
8．已知二次函数的图象如图所示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与轴负半轴相交；②当，随的增大而减小，则坐标系的原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
9．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
10．如图，将一个含30°角的直角三角板绕点顺时针旋转，得点、、在同一条直线上，则旋转角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
11．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
12．若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
13．如果二次函数的最小值为0，那么的值等于（ ）
A．2 B． C．4 D．8
14．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间（不含端点），在以下结论中，不正确的是（ ）
A． B． C．
D．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．写出一个开口向上，经过点的二次函数：_____________.
17．一元二次方程的解是_____________.
18．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行的最大距离是_____________米.
19．如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是60°，若，则的度数为_____________.
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（6分）解下列方程.
（1）； （2）.
21．（7分）已知抛物线中自变量和函数值的部分对应值如表所示：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 4 4 14 28 …
（1）请直接写出该抛物线的顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围.
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）画出关于原点成中心对称的图形，并写出的坐标；
（2）将绕原点逆时针旋转90°得到，画出，并写出点的坐标.
23．（7分）如图，在五边形中，，，，将绕点顺时针旋转后得到.
（1）求证：、、三点在同一条直线上；
（2）求证：.
24．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个根小于4，求的取值范围.
25．（8分）“当你看小说时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你打游戏时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你在教室嬉闹时，尼泊尔的背包客一起端起酒杯在火堆旁。有很多走不到的路，看不到的风光，遇不见的人，出去走走才会发现，世界有不一样的世界，有不一样的你.但少年，梦要你亲自实现，那些你看不到的风景和遇不到的人都将在你生命里出现”.这是某直播平台推销《备考案》辅导书时的台词，所推销辅导书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套.为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套.设每套辅导书的售价为元，每天的销售量为套。
（1）求与之间的函数关系式；
（2）《备考案》公司不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套辅导书的售价为多少元？
26．（8分）如图，点、、、分别在菱形的四条边上，，连接，，，，已知，.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）设，四边形的面积为，求的最大值.
27．（12分）已知抛物线经过点.
（1）已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；
（2）求的值；
（3）已知一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值.
2024~2025学年上学期素质能力提升训练
九年级 数学 参考答案
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 C C B A B A D B A D C A C D B
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16、（答案不唯一） 17、， 18、64 19、25°
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20、（6分）解：（1），； 3分
（2），. 6分
21、（7分）解：（1）根据抛物线的对称性，
由表格可知抛物线的顶点坐标为； 3分
（2）由抛物线的对称性得，当时，；当时，，
当时，的最小值为，
的取值范围是：. 7分
22、（6分）解：如图所示，； 3分
（2）如图所示， 6分
23、（7分）解：（1）由旋转可得，
，
，
，
、、三点在一条直线上； 3分
（2）由旋转可得，
，，
，
，即，
在和中，
7分
24、（8分）解：（1），
该一元二次方程总有两个实数根； 3分
（2），
，
，，
该方程只有一个小于4的根，
，
. 8分
25、（8分）解：（1）由题意可得：，
与之间的函数关系式为：； 3分
（2）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
要最大限度让利消费者，
，
答：此时每套辅导书的售价为30元. 8分
26、（8分）解：（1）四边形是菱形，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
同理可得：，
四边形是矩形； 4分
（2）是等边三角形，
，
，，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值是 8分
27、（12分）解：（1），
当时，抛物线恒过定点，
，
当时，，
抛物线始终过定点； 3分
（2）抛物线经过点，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
； 7分
（3）一元二次方程的两个根分别是，，
，，，
. 12分
