北京一零一中2024－2025学年度第一学期期中练习
初二数学 2024.11
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.巴黎奥运会项目的每个图标都融合了对称美学与运动元素，将运动项目描绘成独一无二的徽章．下列巴黎奥运会体育项目的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在中，边上的高是（ ）
A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的边数为（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
5.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.设a，b是实数，定义*的一种运算如下：，则下列结论错误的是（ ）
A.，则 B.
C. D.
7.如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，，，线段分别与和相交于点F，G，下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图，两直线m与n相交于点A，它们相交所成的锐角等于15°，若点B是直线m上一定点，，点C、D分别是直线m、n上的动点，则的最小值为（ ）
A.3 B. C. D.6
二、填空题：本大题共8小题，共24分。
9.计算：__________.
10.如图，与交于点A，且．添加一个条件：_________，使得．
11.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为__________.
12.如图，将一副三角板按图中所示的位置摆放，保持两条斜边互相平行，则的大小为__________.
13.已知，，则的值为__________.
14.如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则__________.
15.如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为_________.
16.如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是_________.（填序号）
三、解答题：本题共52分，第17题4分，第18、23每题5分，第19、20、21题每题4分，第22、24每题6分，第25、26题每题7分。
17.计算：
18.先化简，再求值：，其中，.
19.如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E.求和的度数.
20.如图，点A、E、B、D在一条直线上，，，．求证：．
21.一个长方体的包装箱，长为3a米，宽为2b米，高为米.
（1）该包装箱的体积为_________立方米.
（2）若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？
22.数学课堂中，老师带领同学们探究满足什么条件的三角形可以分割成两个等腰三角形.
探究一：小云发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形.
已知：在中，.
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形.
下面是小云设计的尺规作图过程.
作法：如图.
①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；
②作直线.
所以直线即为所求作的直线.
根据小云设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上.
∴.（___________________________）（填推理的依据）
∴.
∵，
∴，
.
∴.
∴___________
∴和都是等腰三角形.
探究二：小红发现在中，，存在过点C的直线将分割成两个等腰三角形，请直接写出满足条件的的度数.
23.规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“K变换”．已知，，.
（1）画出经过1次“K变换”后的图形；写出点坐标为_________；
（2）若边上有一点，记点经过2次“K变换”后的点为，则的坐标为_________.（用含有m，n的式子表示）.
24.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为a的小正方形，长为b、宽为a的长方形以及边长为b的大正方形．
图1 图2
根据材料，回答问题.
问题1：若用4个B类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________．
①；②；③；④；⑤．
问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形.我们将这样的长方形称为“类长方形”.
（1）利用1个A类，3个B类，2个C类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由．
（2）若取3个A类图形，m个B类图形，2个C类图形拼出一个“类长方形”，则m的值为________．（直接写出结果）
25.已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接.
图1 图2
（1）如图1，若点F与点C重合，则线段的长为；
（2）如图2，若F在线段延长线上，
①依题意补全图形；
②探究线段与之间的数量关系，并给出证明.
（3）当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长.
图3
26.在平面直角坐标系中，将过x轴上的点，且平行于y轴的直线，记作直线.对于图形M和N，若存在直线，使得图形M关于的对称图形都在图形N内（包括边界），则称图形M是图形N的一阶t包含图形.若存在直线与直线且，图形M关于直线的对称图形记为图形W，图形W关于的对称图形都在图形N内（包括边界），则称图形M是图形N的二阶m，n包含图形，记为图形M关于图形N的包含轴距.
已知，，，，
（1）若，
①A是线段的一阶k包含图形，则_________；
②A是线段的一阶s包含图形，则s的取值范围是_________；
（2）若点A为四边形的二阶-1，1包含图形，则a的取值范围是_________；
（3）当时，若，，是四边形的二阶m，n包含图形，则d的最大值与最小值的差是_________.
北京一零一中2024－2025学年度第一学期期中练习
初二数学参考答案及评分标准2024.11
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D D C C D A
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 10.（任意边的条件） 11.50°或80° 12.75°
13.5 14.115° 15. 16.①③④
三、解答题（本题共52分）
17.解：原式
18.解：原式
当，时，原式
19.解：∵在中，，，
；
∵
∴
∵是的外角的平分线
∴，
∴
∵是的外角，
∴，
∴
∴.
20.证明：∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
21．（1）.
（2）
22.探究一：
（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
探究二：11°，39.5°，44°，68°，92°
23.（1）
（2）
24.问题1：①③④⑤
问题2：
（答案不唯一），
（3）5或7
25.（1）2
（2）补图
与数量关系为：.
证明：过点F作，交的延长线于点M，
∴，
∵为等边三角形，
∴
∴
∴为等边三角形
∴
∵为等边三角形
∴，
∴
∴
在和中
∴
∴
∵，，
∴
（3）
26.（1）①1.5 ②
（2）
（3）2
