2024年下学期期中考试试卷 九年级数学科
（时量：120分钟 总分：120分）
班级：______ 姓名：______ 考室：______ 座位号：______
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。
1.下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A.6cm、2cm、1cm、4cm B.4cm、5cm、6cm、7cm
C.3cm、4cm、5cm、6cm D.6cm、3cm、8cm、4cm
2.下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3.若是关于的反比例函数，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.任意实数
4.方程化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A.4、5、81 B.4、、81 C.4、、 D.、、
5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.某女老师上身长约61.8cm，下身长约96cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为（精确到1cm）（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
6.关于的方程的一个解是，则值为（ ）
A.2或4 B.0或4 C.或0 D.或2
7.函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A. B.25 C.35 D.63
10.如图，平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个定点，点是函数图象上的一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会（ ）
A.先增后减 B.先减后增 C.逐渐减小 D.逐渐增大
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若，则______.
12.已知、是一元二次方程的两根，则______.
13.如图，在中，，点是边上的一点，于，，，则边的长为______.
14.一元二次方程配方为，则的值是______.
15.如图，一次函数（、为常数，且）和反比例函数的图象交于、两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是______.
16.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______.
17.如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点位于坐标原点，斜边垂直于轴，顶点在函数的图象上，顶点在函数的图象上，，则______.
18.如图，在矩形纸片中，，.点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处.有下列结论：①；②；③；④.其中正确的是______.（把所有正确结论的序号都选上）
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19.（本小题6分）
解方程：（1）； （2）.
20.（本小题6分）
如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转90°得到.
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式.
21.（本小题8分）
如图，，分别交，，于点，，，已知，，，.求，的长.
22.（本小题8分）
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求实数的最大整数值；
（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为，，求代数式的值.
23.（本小题9分）
已知在中，，，.点是线段上的一个动点，过点作的垂线交线段（图1）或线段的延长线（如图2）于点.
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）当为等腰三角形时，求的长.
24.（本小题9分）
为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元.经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系.（1）求年销售量与销售单价之间的函数表达式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
25.（本小题10分）
在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以1cm/s的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以2cm/s的速度移动.如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动.设运动时间为秒.
（1）填空：______，______（用含的代数式表示）；
（2）当为何值时，的长度等于5cm？
（3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由.
26.（本小题10分）
如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，于.
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，取的中点，连接交于，求证：①；②.
2024年下学期期中考试答案 九年级数学科
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C A B B C B D
11.【答案】 12.【答案】3 13.【答案】4 14.【答案】13 15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
【解析】解：如图，中，，，
，，，，
设，则，，，
在函数的图象上，，
中，，，，
在函数的图象上，，
；故答案为：.
设，则，，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点和的坐标，写出和两点的坐标，代入解析式求出和的值，相比即可.
本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出、两点的坐标是关键.
18.【答案】①③④
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长.
由折叠性质得，，，易得，于是可对①进行判断；根据，，则在中利用勾股定理可计算出，所以，设，则，在中利用勾股定理得，即，，；易知，得出，，若，则，，则可判定②；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用，，可对④进行判断.
19.【答案】解：（1），
，
，
或，
，；
（2），
，
，即
，
，.
20.【答案】解：（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点，
，，，
将绕着点逆时针旋转90°得到，，
反比例函数的图象经过点，，
该反比例函数的表达式为；
（2）作轴于.
，
，，
，在和中
，，，
，，，，
，，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，解得，
该一次函数的表达式为.
【解析】（1）根据旋转的性质得出的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作轴于.证明，推出，，求出点坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式.
本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化—旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
21.【答案】解：中，，，，
，，，，，
中，，，
，，，，.
.
【解析】在中，根据平行线分线段成比例求出，在中，根据平行线分线段成比例求出，即可求出.
本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
22.【答案】解：（1）方程有两个不相等的实数根，
，解得，最大整数；
（2）当时，方程为，
由根与系数关系，得，，
.
【解析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，由方程根的情况求得的取值范围是解题的关键.
（1）由方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，可得到关于的不等式，解不等式可求得的最大整数值；
（2）利用根与系数的关系可分别求得和的值，代入计算即可.
23.【答案】（1）证明：，，
在与中，，，；
（2）解：在中，，，由勾股定理得：.
（Ⅰ）当点在线段上时，如题图1所示：
为钝角，当为等腰三角形时，只可能是，
由（1）可知，，，即，解得：，
；
（Ⅱ）当点在线段的延长线上时，如题图2所示：
为钝角，当为等腰三角形时，只可能是.
，，
，，
，，
，点为线段中点，
.
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或6.
【解析】本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想.第（2）问中，当为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.
（1）由两对角相等（，），证明；
（2）当为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论：
（Ⅰ）当点在线段上时，如题图1所示.由三角形相似关系计算的长；
（Ⅱ）当点在线段的延长线上时，如题图2所示.利用角之间的关系，证明点为线段的中点，从而可以求出的长.
24.【答案】解：（1）设年销售量与销售单价之间的函数表达式为，
将、代入，得解得
年销售量与销售单价之间的函数表达式为；
（2）设该设各的销售兰价为万元，则每台设备的利润为万元，销售量为台，
根据题意，得，
整理，得，解得，，
此设备的销售单价不得高于70万元，.
答：该设备的销售单价应是50万元
25.【答案】（1）；；
（2）当秒时，的长度等于5cm；
由题意得：，
解得：（不合题意舍去），；
当秒时，的长度等于5cm；
（3）存在秒，能够使得五边形的面积等于.
理由如下：长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，
则的面积为，，
解得：（不合题意舍去），.
即当秒时，使得五边形的面积等于.
26.【答案】证明：
（1）于，在和中，，
；
（2）①如图2，过作交于，
的中点是点，，，
，设，，，
，，；
②如图2，过作交的延长线于，
，，，，
由①知，，
，，
，，，
，，，.
