2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中永定分校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D.
2.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. 圆 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 正五边形
3.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是( )
A. 36 B. C. 9 D.
5.某厂家2023年月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程( )
A. B.
C. D.
6.不解方程，判断关于x的方程的根的情况为( )
A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
7.已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 …
y … m 1 0 …
有以下几个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当时，x的取值范围是
其中正确的是( )
A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.方程的根是__________.
10.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为__________.
11.关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为__________.
12.将二次函数化为的形式，则______.
13.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②当时，y随x的增大而减小.这个二次函数的解析式可以是______.
14.、是函数图象上的两个点，，的大小关系是______.
15.二次函数的图象如图所示，则b ______0，______
16.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成.设矩形ABCD的边米，面积为S平方米.
活动区面积S与x之间的关系式为______；
菜园ABCD最大面积是______平方米.
三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解下列方程
；
18.本小题5分
已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，求该函数的表达式.
19.本小题5分
已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
点A、B、C的坐标；
的面积.
20.本小题5分
已知二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 5 …
求该二次函数的表达式；
直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．
21.本小题5分
如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，AE交BC于点若，求AF的长.
22.本小题5分
已知关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求m的取值范围．
23.本小题5分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点C按顺时针方向旋转后得到每个方格的边长均为1个单位
画出并直接写出：
的坐标为______，
的坐标为______；
判断直线AB与直线的位置关系为______.
24.本小题10分
已知抛物线
用配方法将化成的形式；
写出该抛物线的对称轴、顶点坐标；
抛物线与x轴交点A，点A在左侧，与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线，求的面积；
直接写出当自变量x满足什么条件时，函数；
直接写出当自变量x满足什么条件时，y随x的增大而增大.
25.本小题7分
掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系某位同学进行了两次投掷．
第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 4 6 8 10
竖直距离
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则______填“>”“=”或“<”
26.本小题7分
在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点
求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；
一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集.
27.本小题6分
在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”.
如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则______.在点，，，中，矩形AOBC的“关联点”是______；
如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为若直线上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】答案不唯一
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
解：根据题意得：米，
，
，
，
面积S与x之间的关系式为；
故答案为：；
，且，，
当时，S取最大值200，
菜园ABCD最大面积是200平方米；
故答案为：
表示出BC，由矩形面积公式可得函数关系式；
配成顶点式，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
17.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，
18.【答案】解：二次函数图象的顶点坐标为，
设该函数的表达式为，
二次函数的图象经过点，
把点代入得，，
解得，
该函数的表达式为
19.【答案】解：令，则，
，
令，则，
解得：，，
；；
，，，
，，
20.【答案】解：抛物线经过点，，，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为；
该二次函数图象与x轴的交点坐标为，
21.【答案】解：由题意得：≌，
，
，，
，
将绕点A顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
22.【答案】证明：，，，
，
方程总有两个实数根．
解：，
，
此方程有一个根小于
故m的取值范围是
23.【答案】垂直
解：如图，为所作，的坐标为，的坐标为；
故答案为：；；
因为绕点C按顺时针方向旋转后得到，
所以AB绕点C按顺时针方向旋转后得到，
即直线AB与直线垂直．
故答案为：垂直．
利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点、，然后写出点、的坐标；
根据旋转的性质判断．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
24.【答案】解：；
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是；
抛物线如图所示：
的面积；
观察图象可知当或时，；
当时，y随x的增大而增大．
25.【答案】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
，，
即实心球竖直高度的最大值为，
根据表格中的数据可知，当时，，
代入得：，
解得：，
函数关系式为：
解：第一次投掷，，
当时，，
解得：，
，
第二次投掷，，
当时，，
解得：，
，
，
，，
故答案为>
26.【答案】解：令，则，
解得：，，
点坐标为，
列表得：
x 0 1 2 3
y 0 0
画图得：
如图，
由图形可得：时，
27.【答案】，
【解析】解：四边形AOBC是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
，
，
，
，
不是矩形AOBC的“关联点”；
，
到AC的距离为5，
是矩形AOBC的“关联点”；
，
到OB的距离为1，
不是矩形AOBC的“关联点”；
，
，
是矩形AOBC的“关联点”；
故答案为：5，，；
，四边形DEFG是正方形，
，
过O点作OM垂直直线，交于点M，
当时，，，
，
时直线上存在点P使P为正方形DEFG的关联点．
