仁怀四中 2024—2025年度第一学期月考
高二数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
20241.已知复数 = 1+2 ( 是虚数单位)，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
A. B. C. D.
3.已知 , 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，下列命题为真命题的是( )
A.若 ， ， // ， // ，则 //
B.若 // ， ，则 //
C.若 // ， ， ，则 //
D.若 // ， ， ，则 //
4.在正方体 1 1 1 1中， 1和 1 1的中点分别为 ， .如图，若以 ， ， 所确定的平面将正
方体截为两个部分，则所得截面的形状为( )
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
5.已知正方体 1 1 1 1的外接球的体积为 36 ，点 为棱 的中点，则三棱锥 1 的体积为
( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
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6 3.已知轴截面为正方形的圆柱 ′的体积与球 的体积之比为2，则圆柱 ′的表面积与球 的表面积之
比为( )
A. 1 B. 3 52 C. 2 D. 2
7.如图，在圆锥 中，轴截面 的顶角∠ = 60°，设 是母线 的中点，
在底面圆周上，且 ⊥ ，则异面直线 与 所成角的大小为( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
8.如图，正方体 1 1 1
1
1的棱长为 1，线段 1 1上有两个动点 ， ，且 = 2，则下列结论中错
误的是( )
A. ⊥ B. △ 的面积与△ 的面积相等
C. //平面 D.三棱锥 的体积为定值
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 1中，sin 2 = 2， = 1， = 5，则( )
A. cos = 12 B. = 21
C. △ 5的面积为2 D. △ 外接圆的直径是 2 7
10.已知圆台 1 2的上、下底面圆的直径分别为 2 和 6，母线长为 4，则下列结论正确的是( )
A.该圆台的高为 2 2
B. 26 3 该圆台的体积为 3
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C. 112该圆台的表面积为 3
D.挖去以该圆台的上底面为底面、高为 2 的圆柱，剩余的几何体的表面积为 30
11.如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，动点 在线段 上运动时，下列
四个结论中恒成立的为( )
A. ⊥ B. // C. //平面 D. //平面
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设复数 = (2 )(其中 为虚数单位)，则| | =________．
13.△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 = 1， = 60°，△ 的面积 = 3，则 =________．
14 .已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，底面 满足 BA = BC = 6，∠ABC = 2，若该三
棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图是由一个长方体和一个圆柱组成的组合体．
(1)求该组合体的表面积；
(2)求该组合体的体积．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 3 = 3 cos + sin ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 7，3 = 2 ，求△ 的面积．
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17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中，四边形 是正方形，若 ， 分别是线段 ， 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 //平面 并说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知 是矩形， ⊥平面 ， = 2， = = 4， 为 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角．
19.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形， ⊥平面 D.点 是 的中点，过点 作平行于平
面 的截面，与直线 ， ， 分别交于点 ， ， ．
(1)证明： // ；
(2)若四棱锥 8的体积为3，求四边形 的面积．
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高二数学试卷答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D C B B B C B ABD BD AC
二、填空题
32
12. 5 13. 13 14. 3
三、解答题
15.解：(1)该组合体的表面积为
组合体 = 长方体 + 圆柱侧 = 2 × (8 × 8 + 4 × 8 + 4 × 8) + 2 × 2 × 8 = 256 + 32 ；
(2)该组合体的体积为
2组合体 = 长方体 + 圆柱 = 4 × 8 × 8 + × 2 × 8 = 256 + 32 ．
16.解：(1)由正弦定理可知 : : = sin : sin : sin ，
得 3sin = 3sin cos + sin sin ，
因为 3sin = 3sin( + ) = 3sin cos + 3cos sin ，
得 3cos sin = sin sin ，
∵ ， ∈ (0, ) ，∴ sin ≠ 0，∴ tan = 3，即 = 3．
(2)由 3sin = 2sin ，得 3 = 2 ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 28，
则 2 + 9 24
3
2
2 = 28 7，即 24 = 28，
解得 = 4， = 6，
△ 1 1 3故 的面积为 = 2 sin = 2 × 4 × 6 × 2 = 6 3．
17.解：(1)连接 ，如图，
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∵四边形 是正方形， 是 的中点，
∴ 是 的中点．
又 是 的中点，∴ / / ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ / /平面 ．
(2)存在，且点 为 的中点．
理由如下：
如图，取 的中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ / / ．
又 平面 ， 平面 ，
∴ / /平面 ．
又 //平面 ， ∩ = ，
∴平面 / /平面 ．
18.解：(1)由题意， = 22 + 22 = 2 2， = 22 + 22 = 2 2，
在 中， 2 = 2 + 2，
，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，
，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ，垂足为 ，
故 为 与平面 所成的角，
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在 中， = 4 2，在 中， = 2 2，
在 中， = 2 ，
sin∠ = = 1故 2，又 ，
，
故直线 与平面 所成的角为6．
19.(1)证明：∵ / / ， 平面 ， 平面 ，
∴ / /平面 ，
又平面 //平面 ， 平面 ，
∴ / /平面 ，
又 面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 / / ，
同理 / / ，
∴ / / ;
(2) 1 8解：由 = 3 4 = 3，
得 = 2，
∵平面 //平面 ，且平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ， // ，
又点 是 的中点，可知 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
所以 = 2， = 1， = 1，
又 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ，
∴ (1+2)×1 3四边形 的面积为
2 = 2．
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