2024学年第一学期长兴县龙山中学共同体期中素养检测
九年级数学试题卷
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟.
2.答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息.
3.所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的对称轴是（ ）
A.直线 B.直线
C.直线 D.直线
2.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上
B.从1、3、5、7、9这5张卡片中任抽一张是偶数
C.投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6
D.从装有一个黄球和三个红球的袋子中任取两球，至少有一个是红球
3.二次函数的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A.15° B.30° C.45° D.20°
5.二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A. B. C. D.
6.小明所在的班级有20人去体有场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号.采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（ ）
A.2 B.1 C.1 D.
7.如图，是的内接三角形，BD是的直径.若，的度数为70°，则等于（ ）
A.65° B.70° C.75° D.80°
8.巴黎奥运会上，一个运动员踢足球.若球的飞行高度y米与水平距离x米之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ）米
A.6 B.8 C.10 D.12
9.如图，在正方形纸片中，点M，N在AD上，将纸片沿BM，CN折叠，折叠后使点A和点D重合于点.的外接圆分别交BM，CN于点P，Q.若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为、.若，取、中的较小值记为；若，记.例如：当时，，，，此时.下列判断：
①当时，；
②当时，值越大，值越小；
③使得大于2的值不存在：
④使得的值是或.
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11.半径为4，点到点距离为3，则点在__________.（填“上”“内”或“外”）.
12.请写出一个开口向上且顶点坐标为（0，1）的抛物线的解析式__________.
13.生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息.九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为__________.
14.如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为__________.
15.一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是__________.
16.我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是__________.
三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分8分）如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，.
（1）将绕点顺时针旋转90°得到，作出旋转后的；
（2）在旋转过程中，点经过的路径为，求的长（结果保留）.
18.（本题满分8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的___________，___________；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
19.（本题满分8分）如图，已知抛物线经过点.
（1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围.
20.（本题满分8分）如图，的直径BC为6厘米，弦AC为3厘米，的平分线交于点.
（1）求的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留）.
21.（本题满分8分）如图，将球从点O的正上方3米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y米与运行的水平距离米满足关系式.
（1）若当小球运动的水平距离为1米时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度；
（2）若小球的正前方4米（米）处有一个截面为长方形的球筐，其中CD为2米，DE为1米，若要使小球落入筐中，求b的取值范围.
22.（本题满分10分）如图1所示，草坪上的喷水装置PA高1米，喷头P一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置PA的水平距离为4米处，达到最高点C，点C距离地面米.
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头P能旋转220°，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取3）.
23.（本题满分10分）请根据以下素材，完成探究任务.
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正三种样式 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或 “雅”服装1件，或“正”服装1件 ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元：如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系.
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
24.（本题满分12分）如图，已知内接于，点在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，，与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与交于点，设，，.
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
30° 40° 50° 60°
120° 130° 140° 150°
150° 140° 130° 120°
猜想：关于的函数表达式_________，关于的函数表达式_________.
（2）对（1）中的两个结论给出证明.
（3）若，，的面积为的面积的4倍，求半径的长.
2024学年第一学期长兴县龙山中学共同体期中素养检测
九年级数学参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B B A C B B D
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11.内 12.（答案不唯一） 13.5.4
14.或 15.2.25 16.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分8分）
解：（1）如图，即为所求作：
（2），，
由图可知：的长为.
18.（本小题满分8分）
解：（1），.
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6：
（3）（个）.
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；
19.（本小题满分8分）
解：（1）把代入得：解得，
，抛物线的顶点坐标为；
（2），抛物线开口向下，有最大值4，
当时，，当时，，
当时，的取值范围是.
20.（本小题满分8分）
解：（1）是的直径，，平分
，；
（2）如图，连接OA，
，，，
，，，
，，
，
，，
.
21.（本小题满分8分）
解：（1）小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，
抛物线的对称轴为：直线..解得：.
由题意得：抛物线上点的坐标为..
抛物线的解析式为：.
当时，.
答：小球达到的最大高度为；
（2）由题意得：点的坐标为，点的坐标为.
抛物线上点的坐标为，.
抛物线的解析式为：.
①抛物线经过点.
.解得：.
①抛物线经过点.
.解得：.
要使小球落入筐中，的取值范围为：.
22.（本小题满分10分）
解：（1）如图，依题意建立平面直角坐标系，点为抛物形水柱的顶点，
设抛物线解析式为，
将点代入，解得.
因此，抛物形水柱对应的函数关系式为；
（2）令，则，
喷水装置能喷灌的草坪的面积（平方米）.
答：它能喷灌的草坪的面积约为148.5平方米.
23.（本小题满分10分）
解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，
加工“正”服装的有人，
“正”服装总件数和“风”服装相等，，
整理得：，或；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
，
整理得：，
，
任务3：由任务2得，
当时，获得最大利润，，，
开口向下，取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
，
答：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润.
24.（本小题满分12分）
（1），，
（2）连接OB，
由圆周角定理可知：，
，，
，，，
是BC的中点，，是线段BC的垂直平分线，
，，，
，，
，，
、A、E、B四点共圆，，
，；
（3）当时，此时图形如图所示，
，，，
由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，，
的面积为的面积的4倍，，，
设，，
由（1）可知：，，，
由勾股定理可知：，，
，，.
在中，由勾股定理可知：，
，，，
在中，设半径为，由勾股定理可知：，
，半径的长为5.
