张掖中学2023-2024学年高三级第一学期期中学业质量检测卷
数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前n项和为，=5，则=（）
A．5 B．25 C．35 D．50
3．已知函数极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设，，，则大小关系是( )
A． B．
C． D．
5．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于定义在上的任意奇函数，均有（）
A． B．
C． D．
7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为( )。
A、 B、 C、 D、
8．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知递减的等差数列的前项和为，，则（）
A． B．最大
C． D．
10．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
11．（2020·山东省高二期中）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
12．（2020·盐城市大丰区新丰中学高二期中）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=____.
14．对任意都有.数列满足：，则__________.
15．已知一元二次方程的一个根为，那么另一根为_______；的值为__________．
16．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为
，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面成角的正弦值为。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设，，若，求实数的取值范围．
18．（12分）已知二次函数，非空集合．
（1）当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围；
（2）当时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值．
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱中，，，。
(1)证明：；
(2)若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，求的长；若不存在，说明理由。
20．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，
，平面平面。
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值。
22．已知.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）若，求函数的单调递增区间；
（3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围.数 学 答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
【答案】【答案】1-5ABBAD
6-8DAC
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9【答案】ABD10【答案】ABD11【答案】BCD 12【答案】BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13【答案】2
14【答案】
15【答案】，
16【答案】
16【答案】①②③⑦
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17【答案】．
【解析】∵，解得，∴，
由题意得，
当时，，
，；
当时，满足条件；
当时，，
，，
综上，实数a的取值范围是．
18【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）作出二次函数的图象如图所示，
当，二次函数的最小值为，则的取值范围为．
（2）选择方案①，
由图像可知，当时，，此时，
，此时．
选择方案②，
当时，，此时或，
，此时．
选择方案③，
当时，，此时，
，此时．
19【解析】(1)证明：连接，∵为平行四边形，且，
∴为菱形，， 2分
又∵，∴平面，∴，又∵，
∴平面，∴ ； 4分
(2)解：∵，，，∴，
∴、、两两垂直，以为坐标原点，
、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 5分
则、、、、，设，
则，，，
易知，平面，则平面的一个法向量， 7分
设是平面的一个法向量，则，
∴，得， 9分
∴，解得，
∴在棱上存在点，当时，得二面角的大小为。 12分
20【答案】（1）极大值为，极小值为.（2）
21.【解析】(1)取的中点，连接，∵，，∴，
∴四边形是平行四边形， 2分
∴，又，∴， 3分
令，则，，
∴，∴， 4分
又平面平面，平面平面，
∴平面，又平面，∴； 5分
(2)取的中点，连接、，则易知，，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴，∴、、两两垂直， 6分
故可以以、、所在直线分别、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
∴、、， 7分
设平面的法向量为，则，即，
∴，令，则，∴为平面的一个法向量，9分
设直线与平面所成的角为，
则， 11分
∴直线与平面所成角的正弦值为。12分
22【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】
（1）由题意结合极值的概念可得，解得后，验证即可得解；
（2）求导得，按照、、、分类讨论，求得的解集即可得解；
（3）转化条件得，令，，求导确定的单调性和值域即可得解.
【详解】
（1），
∵函数在处取得极值，，解得，
当时，.
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴当时，函数在处取得极小值；
（2），
，
令，则或，
①当时，令可得，
∴函数的单调递增区间为；
②当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
③当时，在上恒成立，
∴函数的单调递增区间为；
④当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
（3），，
，，
整理可得，
令，，
，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴当时，取得极小值即最小值为，
即，
解得（舍去）或，
的取值范围为.
【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题.
