北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试
一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．周长相等的圆是等圆
B．过任意三点可以画一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．三角形的外心是三角形角平分线的交点
3．如图，直线，，则的长为（ ）
A．6 B． C．4 D．8
4．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．3
5．如图是一个边长为的正方形组成的网络，与都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，中，A、B两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
10． 如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB=4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连结AM，则AM∥FB；②连结FE，当F、E、M共线时，AE=4-4；③连结EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE=4-4；④连结EF，设FC、ED交于点O，若FE平分∠BFC，则O是FC的中点，且AE=2-2，其中正确的个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．已知a：b：c=3：4：5，则= ．
12．如图所示，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，平放在离树根部的地面上，然后他沿着树根和镜子所在直线后退，当他退了时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的目高为，则树的高度是 ．
13．若两个相似五边形的相似比为则它们的面积比为 ．
14．如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ．
15．两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为 cm2
16．如图，是中边上一点，连接，有如下条件：①，②，③，④，其中能判定的条件是 （填序号）．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上（网格中小正方形的边长为1）．
(1)画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点，，的坐标；
(2)以点为位似中心，在网格中将放大为原来的2倍，得到．
18．已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2 bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证：关于x的一元二次方程ax2 bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．
19．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
20．如图，在四边形中，交于点F．点E在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．如图，已知正方形中，E，G分别是的中点，连接．线段CE分别交，于点F，H．
(1)求的值；
(2)求的值．
22．如图1，在矩形中，，点分别是边上的动点（不与，重合），． 将沿直线对折，点对应点为点，连接．
(1)如图2，当点落在对角线上时，则的长为__________；
(2)如图3，当时，求的长；
(3)若直线交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A A B A C B A
11．
12．
13．9:25
14．/125度
15．27
16．①②③
17．（1）如图：（1，1），（4，2），（3，4）
（2）
18．（1）解：解：由kx=x+2，得（k-1）x=2．
依题意k-1≠0．∴ .
∵方程的根为正整数，k为整数，∴k-1=1或k-1=2．
∴k1= 2，k2=3．
（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴ 0 =a-b+kc， kc=b-a．
∴ .
（3）证明：方程②的判别式为Δ=（-b）2-4ac= b2-4ac． 由a≠0，c≠0，得ac≠0．
证法一：
（i）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．
（ii）若ac>0，由（2）知a-b+kc=0，故b=a+kc．
Δ=b2-4ac= （a+kc）2-4ac=a2+2kac+（kc）2-4ac=a2-2kac+（kc）2+4kac-4ac
=（a-kc）2+4ac（k-1）．
∵方程kx=x+2的根为正实数，∴方程（k-1）x=2的根为正实数．
由x>0， 2>0，得k-1>0．
∴ 4ac（k-1）>0． ∵（a-kc）2 0，
∴Δ=（a-kc）2+4ac（k-1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根．
证法二：
（i）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．
（ii）若ac>0，∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点，
∴Δ1=（-b）2-4akc =b2-4akc 0．
（b2-4ac）-（ b2-4akc）=4ac（k-1）． 由证法一知k-1>0，
∴b2-4ac> b2-4akc 0．
∴Δ= b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．
综上，方程②有两个不相等的实数根．
证法三：由已知，，∴
可以证明和不能同时为0（否则），而，因此．
19．解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
20．（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，对顶角相等，
∴，
∴．
21．（1）解：（1）是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
；
（2）是的中点，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
．
22．（1）解：由折叠的性质得：，即，
，
，
，
解得：，
故答案为：4；
（2）解：由折叠和矩形的性质可得，
当时，，
∴此时点，，三点共线，
，
，
，
设，则，，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
，即，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
（3）解：①当点与点重合时，点与点重合，如图4，
此时，与全等，符合条件．
．
②当时，如图5，
∵，
∴
∴，
，
设，则，
，，，，
，
由折叠的性质得：，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
③当时，如图6，
同理可得，
，
，
由折叠的性质得：，，
设，则，
，，，，
，
同②得：，
，
解得：，
；
综上所述，在点的运动过程中，存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似，的长为8或或．
答案第1页，共2页
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