江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级上学期期中考试
数学 试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9
2.如图，一只松鼠先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法中错误的是（ ）
A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线垂直的矩形是正方形
4.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为m，则下面所列方程正确的是（ ）
A. (32-)(20-)=32×20-570 B. 32+2×20=32×20-570
C. (32-2)(20-)=570 D. 32+2×20-2=570
5.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 4
6.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为，PO的长为，与的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件____________，使得矩形ABCD为正方形.
8.若3a-7b=0，则 =____________.
9.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光.现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为___________.
10.已知a和b是方程+2024-4=0的两个解，则a2+2023a-b的值为___________.
11.如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE//CB，且DE=DC，连
接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF=___________.
12.在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，点E在BC上，CE=4，若点P是菱形ABCD
四条边上，异于点E的一点，CE=CP，则DP的长为___________.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. (1)解方程：-2=3.
(2)如图，△ABC∽△CBD，若AB=6，BD=9，求BC的长.
14.如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图
痕迹）.
（1）如图1，过点B作AC的垂线；
（2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线.
15.在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”“布”.将这3张小纸条做成3支签，
放在不透明的盒子中搅匀.
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是___________.
（2）甲、乙两人通过抽签分出胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜
“石头”.甲先从盒子中任意抽出上支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支
签，求甲取胜的概率.
16.若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，
加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感
17. 如图，已知DE//BC， FE//CD，AF=3，AD=5，AE=4.
（1）求CE的长；（2）求AB的长.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为dm
的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒.
（1）无盖方盒盒底的长为_____________dm，宽为_____________dm（用含的式子表示）.
（2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长.
19.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中
点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G.
（1）证明：△BEF∽△BCO；
（2）证明：△BEG≌△AEG.
20.已知关于的一元二次方程-(m+1)+3(m-2)=0的根为1，2.
（1）若1=4，求2及m的值；
（2）若一个等腰三角形的一边长为5，另两边恰好是此方程的两个实数根，求m的值.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量出大楼的高度。如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）.已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，又BD=23米，FB=2米.
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米
22.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C 出发沿 CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（0
（2）四边形BEDF能够成为正方形吗 如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.
六、解答题（本大题共12分）
23.如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上
一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF.
【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】（2）若AB=2，AD=3，DF=BF，求DE的长；
【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=BF，求的值.乐平市2024年下半年九年级数学形成性评价（一）
参考答案
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．D． 2．D． 3．B． 4．C． 5．C． 6．C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．AB＝AD（答案不唯一）． 8．． 9．．
10．2028． 11．3． 12．8﹣4或4或4．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）x1＝3，x2＝﹣1． （2）BC＝3（负值已舍）．
14．解：（1）如图1，
（2）如图2，
15．解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
16．解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有
（1+x）2＝144，
故1+x＝±12，
∴1+x＝12或1+x＝﹣12，
∴x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去），
144×（1+11﹣5）2＝7056（人）．
答：第四轮传染后共有7056人患流感．
17．解：（1）∵FE∥CD，
∴，即，
解得，AC，
则CE＝AC﹣AE4；
（2）∵DE∥BC，
∴，即，
解得，AB．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）无盖方盒盒底的长为（12﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）．
故答案为：（12﹣2x）；（6﹣2x）．
（2）依题意，得：（12﹣2x）（6﹣2x）＝40，
整理，得：x2﹣9x+8＝0，
解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．
答：剪去的正方形的边长为1dm．
19．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵点F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴∠BOC＝∠BFE＝90°，
又∵∠EBF＝∠CBO，
∴△BEF∽△BCO．
（2）证明：∵BO⊥AC，AF⊥BC，
∴CG⊥AB，
∴∠BGE＝∠AGE．
又∵AC＝BC，
∴BG＝AG．
在△BEG和△AEG中，
，
∴△BEG≌△AEG（SAS）．
20．解：（1）把x＝4代入方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0得16﹣4（m+1）+3（m﹣2）＝0，
解得m＝6，
方程化为x2﹣7x+12＝0，
（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝4，x2＝3；
（2）x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0，
[x﹣（m﹣2）]（x﹣3）＝0，
x﹣（m﹣2）＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝m﹣2，x2＝3，
当m﹣2＝3时，解得m＝5，此时等腰三角形三边长为3、3、5，符合三角形三边的关系；
当m﹣2＝5时，解得m＝7，此时等腰三角形三边长为5、5、3，符合三角形三边的关系；
综上所述，m的值为5或7．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．解：（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．
∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，
∵AB＝2.5米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴，
∴，
∴CH＝12.5（米），
∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．
（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，
∵AR∥GT，
∴，
∴，
∴x＝2.5，
∵2.5﹣2＝0.5（米），
∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
22．解：（1）∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．
在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4t cm，
∴DFCD＝AE＝2t，
∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t＝2t，解得：t＝10，
即当t＝10时，四边形AEFD是菱形；
（2）四边形BEDF不能为正方形，理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝4t，
∴DF＝2t＝AE，
∴AD＝4t，
∴4t+4t＝60，
∴t时，∠EDF＝90°
但BF≠DF，
∴四边形BEDF不可能为正方形．
六、解答题（本大题共12分）
23．解（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABE＝∠DAF，
∴∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DFBF，AB＝2，AD＝3，
∴，
∴GDAB2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴△ABE∽△DAG，
∴，
∴，
∴AEAB2，
∴DE＝AD﹣AE＝3，
∴DE的长是．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADH＝90°，
设AB＝AD＝2m，
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DFBF，
∴，
∴HDAB2m＝m，
∴AHm，
∴AFAHAHmm，
∴，
∴的值为．
