平面向量基本定理及坐标表示 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．若正方形ABCD中，O为正方形ABCD所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是( )
A.可以是平面内任意一个向量
B.若，则O在直线BD上
C.若，，则
D.若，则
2．下列各组向量中，不能作为一组基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
3．已知O为坐标原点，向量，，P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可能为( )
A. B. C. D.
4．数轴上点A，B，C的坐标分别为，1，5，则下列结论正确的是( )
A.的坐标是2 B. C.的坐标是4 D.
5．下列说法正确的是( )
A.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同
B.若（其中O为坐标原点），则点A的坐标为
C.若点A的坐标为，则以A为终点的向量的坐标为
D.平面内的一个向量a，其坐标是唯一的
6．已知一平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
7．下列选项中哪些是正确的( )
A.(i为虚数单位)
B.用平面去倠一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台
C.在中，若，则是钝角三角形
D.当时，向量，的夹角为钝角
8．设点M是所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若,则点M是边的中点
B.若,则点M在边的延长线上
C.若,则点M是的重心
D.若,且,则的面积是的面积的
9．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若.则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
11．设向量,,若与的夹角为锐角,则实数t的值可能是( )
A.-5 B.3 C.6 D.9
12．在所在的平面上存在一点P，，则下列说法错误的是( )
A.若，则点P的轨迹不可能经过的外心
B.若，则点P的轨迹不可能经过的垂心
C.若，则点P的轨迹不可能经过的重心
D.若，，则点P的轨迹一定过的外心
13．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为的重心，，，则( )
A. B.
C.的面积的最大值为 D.a的最小值为
14．下列命题中，不正确的是( )
A.若为单位向量，且，则
B.若，，则
C.
D.若平面内有四点A，B，C，D，则必有
15．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点（点A位于第一象限）,与C的准线交于D点,F为线段AD的中点,准线与x轴的交点为E,则( )
A.直线l的斜率为 B.
C. D.直线AE与BE的倾斜角互补
16．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
17．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则点M、B、C三点共线
C.若点M是的重心，则
D.若，且，则的面积是面积的
18．已知向量，，则下列说法正确的是( )
A.若，则t的值为-2
B.若，则t的值为
C.若，则在上的投影向量为-2
D.若，则
19．已知向量,,,则下列说法正确的是( )
A.与夹角的余弦值为
B.在上的投影向量为
C.若与的夹角为钝角,则
D.若与的夹角为锐角,则
20．下列说法中错误的是( )
A.,为实数,若,则与共线
B.若,,则
C.两个非零向量,,若,则与垂直
D.若,,分别表示,的面积,则
参考答案
1．答案：ABD
解析：对于A，由题意，又，，以为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知可以是平面内任意一个向量，故A正确；
对于B，由向量共线的推论知，若，则O在直线BD上，故B正确；
对于C，由题设，则，所以，故C错误；
对于D，由，则，作E为BC的中点，连接OE，则，即，且，如图所示，所以，故D正确.故选ABD.
2．答案：ACD
解析：对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知这两个向量不能作为一组基底；
对于B，因为，，所以，所以这两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于C，因为，，所以，可知这两个向量共线，故不可以作为一组基底；
对于D，因为，，所以，可知这两个向量共线，故不能作为一组基底.故选ACD.
3．答案：AC
解析：因为，，所以，
又因为点P是线段AB的三等分点，则或，
所以或，即点P的坐标为或.
故选AC.
4．答案：ABD
解析：的坐标为，故C不正确.A，B，D均正确.
5．答案：BD
解析：对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样，A错误，D正确；对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同，B正确；以点A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等，C错误.故选BD.
6．答案：ACD
解析：分别设点，，，第四个顶点为.
若，即，则
解得即；
若，即，则解得即
若，即，则解得即.故选ACD.
7．答案：AC
解析：对于A，由，，，，，
则，
所以
，
故A正确；
对于B，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误；
对于C，由，则根据正弦定理得，
所以，即，即，
由，则C为钝角，所以是钝角三角形，故C正确；
对于D，由，则，
所以向量，的夹角为钝角或平角，故D错误．
故选：AC.
8．答案：ACD
解析：A中：,即：
,则点M是边的中点
B.,则点M在边的延长线上,所以B错误.
C.设中点D则,,由重心性质可知C成立.
D.且,,设
所以,,可知B,C,D三点共线,所以的面积是面积的
故选择：ACD.
9．答案：ACD
解析：由，得
，即
得，又，故，
∴，即所以A正确；
，所以B错误；
，所以C正确；
由，可知
得解得：，，故，所以D正确．
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：对于A，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，A正确.对于B，因为，所以，不可以作为基底，B错误.对于C，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，C正确.对于D，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，D正确.
11．答案：BC
解析：,则.
当与同向时,,由于与的夹角为锐角,则且
故选：BC.
12．答案：ABD
解析：若，根据间量共线的推论知点P，B，C共线，即点P在直线BC上，在中，若，则BC的中点为的外心，故点P有可能为外心，选项A错；在中，若或，则点B或C为三角形垂心，故点P有可能为垂心，选项B错；若点P为的重心，必有，此时，选项C对；若，，结合，则点P在一个以AB，AC为邻边的平行四边形内（含边界），
若为锐角三角形，则其外心在内，则P必过外心；若为直角三角形，则其外心为斜边中点，则P必过外心；若为钝角三角形且，则其外心在外，即边BC的另一侧，
如图①，点P在平行四边形内（含边界），
此时，当外心在内（含边界），则P必过外心；当外心在外（如图②，m，n为AB，AC的中垂线），则P不过外心；
所以，，P的轨迹不一定过的外心，D错.故选ABD.
13．答案：BC
解析：O是的重心，延长交于点D，则D是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以a的最小值是，D错.
故选：BC.
14．答案：ABC
解析：对于A，，与同向或反向，或，A错误；
对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：ABC.
15．答案：ABD
解析：易知抛物线C的焦点为,准线为,
若直线l与x轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,不合乎题意,
若轴,则直线l与抛物线C的准线平行,不合乎题意,
设直线l的方程为,设点、,
联立,可得,即点,
因为点F为线段的中点,则,则,可得,
因为点A在抛物线C上,则,可得,
所以,直线l的方程为,即,
故直线l的斜率为,A对;
联立,解得或,
即点、,
易知点,所以,,,则,B对;
易知点,,,
故,C错;
,,则,
所以,直线与的倾斜角互补,D对.
故选：ABD.
16．答案：AC
解析：
17．答案：CD
解析：A选项，，
A错误；
B选项，假设点M、B、C三点共线，则，即，
整理得：，
故当时，即，与条件中的不一致，
所以点M、B、C三点不共线，B错误；
如图，取BC中点H，连接AH，若点M是的重心，则点M在AH上，且，则，则，C正确；
D选项，由于，而，所以，其中，不妨设，则Q点在直线BC上，由于与同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2：3，所以的面积是面积的，D正确.
故选：CD
18．答案：AB
解析：根据题意，依次解题思路选项：
对于A，向量，，若，则，解可得，A正确；
对于B，向量，，若，则，解可得，B正确；
对于C，若，则，则在上的投影向量为，C错误；
对于D，若，则，则有，则不一定成立，D错误．
故选：AB．
19．答案：ABD
解析：
20．答案：AB
解析：对于A选项,当时,与可以为任意向量,满足,但与不一定共线,故A错误;
对于B选项,如果,都是非零向量,,满足已知条件,但是结论不成立,故B错误;
对于C选项,若,所以,即,即,所以,所以与垂直,故C正确;
若,设,,可得O为的重心,
如图,设,,,
则,,,由,
可得,故D正确.
故选：AB.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
