平面向量——2025届高考数学二轮复习模块精练【新教材新高考】
一、选择题
1．已知向量,不平行，向量与平行，则( )
A. B. C. D.
2．已知向量，，.若，则( )
A. B. C.-2 D.2
3．已知向量,满足,,则( )
A. B. C.2 D.
4．已知单位向量、满足,则( )
A.0 B. C.1 D.2
5．已知,是相互垂直的单位向量,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则( )
A.-13 B.-28 C.23 D.13
7．已知向量,,,若为实数,,则的值为( )
A. B. C. D.
8．已知向量，，若，则m的值为( )
A.2 B.1 C. D.
9．若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
10．已知，是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出的是( )
A.， B.，
C.， D.，
11．在平面直角坐标系xOy中,,,为抛物线上的三点,F为拋物线的焦点,且,则( )
A.
B.
C.存在三点A,B,C,使,,分别为一个三角形的三条边长
D.
三、填空题
12．已知D为所在平面内一点,且,连接,点E在线段上且.若,则______________.
13．已知，若，则________.
14．已知，若，则________.
15．已知平面向量，若向量与共线，则_________.
四、双空题
16．已知向量，，则与a的夹角为__________；若与互相垂直，则实数k的值是__________.
17．设，，则的最大值与最小值分别为______，______.
18．若|，则的取值范围为________，当取得最大值时，向量，的方向________.
19．以表示数集M中最小的数，表示数集M中最大的数，则__________，__________.
参考答案
1．答案：C
解析：因为向量与平行，所以.因为向量，不平行，所以解得，.
2．答案：C
解析：
3．答案：D
解析：由两边平方得,
化简得,
所以.
故选：D.
4．答案：C
解析：因为单位向量、满足,
所以,,
所以,
故选：C.
5．答案：A
解析：,是相互垂直的单位向量,故,,
故.
故选:A
6．答案：A
解析：因为,且与夹角的余弦值为,
所以
故选:A
7．答案：A
解析：由,得,
又,,,得,
,解得
故选：A.
8．答案：D
解析：根据题意知，，，
则，解之可得
故选：D
9．答案：C
解析：因为，是两个单位向量，
且在上的投影向量为，
所以，
所以，
，
，
所以，
即的夹角的余弦值为，
故选：C
10．答案：ABD
解析：对于A，因为，，故，即，故A正确；
对于B，因为，，则，故B正确；
对于C，，，由于，不共线，故，所以向量，不平行，故C错误.
对于D，，，故，此时，故D正确，
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：由题设可知,
,
所以,且,故A正确;
,所以,,同理可得,,,故B正确;
不妨设,,,则,,,代入,
得,所以,故C不正确;
由
,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：
如图,由题意可知,
由可得,又,所以,
故,
又,故,,
,
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,
可得
又因为,
可得,
解得,
所以,
所以.
故答案为:
14．答案：
解析：因为,
可得
又因为,可得
,解得,
所以,
所以.
故答案为:.
15．答案：
解析：已知平面向量,
由于,故,解得.
故答案为:
16．答案：；
解析：因为，，则，所以.又因为向量夹角的取值范围是，所以.因为与互相垂直，所以有，即，所以有，解得.
17．答案：204
解析：当，共线同向时，；
当，共线反向时，；
当，不共线时，，即，
所以最大值为20，最小值为4.
故答案为：20，4.
18．答案：；相同
解析：由知，当取得最大值时，向量，的方向相同.
故答案为：；相同.
19．答案：①.
②.
解析：构造函数，则，，.
，当时，，则在上单调递减，
而，故，所以.
又，，，所以，
故，.
故答案为：；.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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