立体几何初步——2025届高考数学二轮复习模块精练【新教材新高考】
一、选择题
1．如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线( )
A.与直线相交
B.与直线平行
C.与直线垂直
D.与直线是异面直线
2．已知梯形是直角梯形,按照斜二测画法画出它的直观图(如下图所示),其中,,,则直角梯形边的长度是( )
A.B.C.D.
3．已知正方体中,点E、F满足,则平面AEF截正方体形成的截面图形为( )
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
4．如图,圆锥底面半径为3,母线,,一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达B点,最短路线长度为( )
A. B.16 C. D.12
5．在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6．已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题不正确的是( )
A.，则
B.，则
C.，则
D.，则
7．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8．如图，已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积）,已知数据如图（注意：单位）,则平地降雪厚度的近似值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
10．已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，则
11．下列命题正确的是( )
A.已知平面a和直线，则平面a内至少有一条直线与直线l垂直
B.已知不同的平面,，不同的直线m,n，若,,,，则
C.已知直线a,b相交，直线a,c相交，则直线b,c可能异面
D.若直线l在平面外，则直线l与平面无交点
三、填空题
12．若一个球的半径为2，则它的体积为________.
13．如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,则点C到直线PA的距离为________.
14．在一个建筑工地上,有一个用来储存材料的圆台形容器.已知该园台形容器的上底面圆的直径是1.2米,下底面圆的直径是2.4米,母线长为1米,不考虑该圆台形容器壁的厚度,则该圆台形容器的容积是__________立方米.
15．《九章算术 商功》：“斜解立方（正方体），得两堑堵.”如图，在堑堵中，则异面直线与所成的角为__________.
四、双空题
16．某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图),则该几何体共有______个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该几何体的表面积是______.
17．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有___________个面，其棱长为___________.
18．如图，在正方体中，若M是线段AC的中点，则与平面ABCD夹角的正切值为__________；若M是线段AC上的任意一点，则与平面ABCD夹角的正切值的取值范围是_________.
19．底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为___________，斜高为___________.
参考答案
1．答案：D
解析：易知三棱柱为直三棱柱，
由图易判断与异面，AB错误；
因为,与相交但不垂直，
所以与直线不垂直，C错误；
由图可判断与直线是异面直线，D正确.
故选：D
2．答案：B
解析：
3．答案：B
解析：如图,
因为点E、F满足,
点E是线段上靠近的三等分点,点F是线段上靠近的三等分点,
延长AE,与交于点G,连接交于,
延长GF,交于点K,连接AK交于I,连接IF,HE,
则五边形AEHFI为所求截面图形.
故选:B.
4．答案：C
解析：把圆锥侧面沿母线剪开,展在同一平面内得扇形,连接,如图,
令扇形圆心角大小为,则,解得,
在中,,则,
所以一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达B点,最短路线长度为.
故选：C.
5．答案：D
解析：
6．答案：D
解析：若,由直线与平面垂直的性质可得,故A正确；
若,则内存在直线l与n平行,
又,则,可得,故B正确;
若,由垂直于同一直线的两平面互相平行可得,故C正确;
若,则m与n相交、平行或异面,故D错误.
故选:D
7．答案：A
解析：设圆半径为，球的半径为R，依题意，
得，，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，，
球O的表面积.
故选：A
8．答案：D
解析：取的中点F，连接，，由E为的中点，得，，
则是异面直线与所成的角或其补角，
正方形中，，在中，，
，，
于是，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：D
9．答案：C
解析：如图所示,可求得器皿中雪表面的半径为,
所以平地降雪厚度的近似值为.
故选：C.
10．答案：BC
解析：对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则，而，故，故B正确；
对于C，若，，则，而，故，故C正确；
对于D，若，，则或，m异面，故D错误，
11．答案：AC
解析：因为平面内有无数条直线与直线l垂直，所以A项正确；
平面与也可以相交，此时只需直线m,n同时平行他们的交线，所以B项不正确；显然C项正确；
直线l在平面外包括和l与相交，所以交点个数为0或1，所以D项不正确.
故选：AC
12．答案：
解析：由球的半径，
得，
故答案为：.
13．答案：
解析：因为平面ABCD,,平面ABCD,
所以,,
因为,
所以,
,
因为,
所以,
所以三角形是等腰三角形,取底边中点E,连接,
所以,
,
故答案为:
14．答案：
解析：由题意可得该圆台形容器的高为米,
则该圆台形容器的容积是立方米.
15．答案：
解析：由题意知斩堵为半个正方体，连接，则.
因为，，所以平面，所以，
所以异面直线与所成的角为.
16．答案：14；
解析：由题意知,截去的八个四面体是全等的正三棱锥,8个底面三角形,
再加上6个小正方形,所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是,那么石凳的表面积是
.
故答案为：14,.
17．答案：26；
解析：由“半正多面体”的特征可知上半部分有9个面，中间部分有8个面，下半部分有9个面，共有（个）面.如图，取半正多面体的截面正八边形ABCDEFGH.则由正方体的棱长为1，可知.由对称性可得，设半正多面体的棱长为x.过B，C分别作于点M，于点N，则，则，解得.
18．答案：；
解析：连接DM.易知与平面ABCD所成角为，.设正方体的棱长为1，若点M是AC的中点，则，则.若M是AC上的任意一点，则，所以.
19．答案：；3
解析：如图，正三棱锥中，O为底面的中心，D为AB的中点，正三棱锥的侧面为等腰直角三角形，，斜高，，，正三棱锥的高.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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