随机变量及其分布 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知随机变量X服从正态分布,则以下选项正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C. D.
2．甲罐中有5个红球,3个白球,乙罐中有4个红球,2个白球.整个取球过程分两步：先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用、表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件;再从乙罐中随机取出两球,分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件.则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
3．若随机变量,且,则( )
A. B. C. D.
4．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
5．红、黄、蓝被称为“三原色”，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，事件A表示“甲调配出红色”，事件B表示“甲调配出绿色”，事件C表示“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是( )
A.事件A与事件C是独立事件 B.事件A与事件B是互斥事件
C. D.
6．某厂生产的零件外直径（单位：cm），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为( )
A.上午生产情况正常 B.下午生产情况正常
C.上午生产情况异常 D.下午生产情况异常
7．已知随机变量X服从正态分布，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
8．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线，，如图，则下列说法正确的是( )
A.甲类水果的平均质量
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数
9．某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为( )
A. B. C. D.
10．某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败.已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为，投进区域③的概率是投进区域①的概率的四倍，每次投实心球的结果相互独立.记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为，则( )
A. B.
C. D.若，则p的取值范围为
11．已知，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有( )
X 0 1 2
P
A.的值最大 B.
C.EX随着p的增大而减小 D.EX随着p的增大而增大
12．某校体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次机会用完为止.设学生1次发球成功的概率为，发球次数为X.若X的数学期望，则p的取值可能是( )
A. B. C. D.
13．一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是( )
A.X的可能取值是3，4，5 B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为 D.X的数学期望是
14．设X是一个离散型随机变量，则下列能成为X的分布列中概率值的一组数据是( )
A.0，， B.，，，
C.p， D.，，…，
15．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯的统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4，0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则王同学( )
A.第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
16．若随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
17．一袋中装有10个大小相同的球，其中黑色6个，编号分别为1、2、3、4、5、6，白色有4个，编号分别为7、8、9、10，下列结论中正确的是( )
A.若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布
B.若一次性摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从超几何分布
C.若一次性摸取4个球，则取到2个白球的概率为
D.若一次性摸取4个球，则取到白球数大于黑球数的概率为
18．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.事件B与事件相互独立 D.，，两两互斥
19．已知事件A，B满足，且，则一定有( )
A. B. C. D.
20．设随机变量的分布列如表所示，则下列选项中正确的为( )
0 1 2 3
P m
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：AC
解析：A选项：,故A正确;
B选项：,故B错误;
C选项：由正态分布密度曲线知其关于对称,
利用对称性知,故C正确;
D选项：因为,
所以,,故D错误.
故选：AC.
2．答案：BCD
解析：对A：在事件发生的条件下,乙罐中有5红2白7个球,则,故A错误;
对B：在事件发生的条件下,乙罐中有4红3白7个球,则,故B正确;
对C：因,,,,
则,故C正确;
对D：因,,
则,故D正确.
故选：BCD.
3．答案：AC
解析：因为,所以,
整理得,解得,
则,,.
故选:AC
4．答案：ACD
解析：由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，
故；
从而，故选项A正确；
，，，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：ACD.
5．答案：BD
解析：根据题意知，事件A中两瓶颜料均为红色，事件C中两瓶颜料一瓶为红色，一瓶为蓝色，则A发生，C必定不能发生，.又，，事件A，C不为独立事件，为互斥事件，故A错误.由题意，得，故C错误.若调出红色，则需要两瓶颜料均为红色；若调出绿色，则需一瓶黄色和一瓶蓝色.调出红色和调出绿色不可能同时发生，事件A，B为互斥事件，故B正确.易得.若事件C发生，则甲有三种情况，分别为：甲取两瓶黄色；甲取一瓶黄色和一瓶红色或蓝色；甲取一瓶红色和一瓶蓝色.，故D正确.选BD.
6．答案：BC
解析：由题意得该零件外直径的平均值为10，方差为0.09，故标准差为，故零件外直径在区间即内为正常，所以上午生产情况异常，下午生产情况正常.故选BC.
7．答案：BC
解析：随机变量X服从正态分布，则，，，.故选BC.
8．答案：ABC
解析：由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称，所以，，，故A正确，C正确；因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图像对应的函数的最大值为1.99，即，所以，故D错误.选ABC.
9．答案：AD
解析：从12个产品中任意抽取4个，所包含的所有情况的总数为，其中恰好有1个二等品的情况有种，所以恰好有1个二等品的概率为.也可由对立事件计算，得概率为.故选AD.
10．答案：AC
解析：对于A，小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为，所以，则A正确.对于B，小张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关，其包含“第一次未投中区域①或②，第二次投中区域①或②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则，则B错误.对于C，第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，所以，则C正确.对于D，.令，得或.又，所以，则D错误.故选AC.
11．答案：BD
解析：当时，，，因此A错误.因为，所以，即，因此B正确.因为，，所以EX随着p的增大而增大，因此C错误，D正确.故选BD.
12．答案：AC
解析：由题意可知，，，则，解得或.由，得.故选AC.
13．答案：ACD
解析：记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：3A.A，2A1B，3A.A使用后成为B，故X的可能取值是3，4，5.，，，所以X最有可能的取值是4，.故选ACD.
14．答案：AC
解析：根据离散型随机变量的分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且，.对于A，因为，且满足，所以A选项中的数据能成为X的分布列中概率值的一组数据，故符合题意.对于B，因为，且不满足，所以B选项中的数据不能成为X的分布列中概率值的一组数据，故不符合题意.对于C，因为，且满足，所以C选项中的数据能成为X的分布列中概率值的一组数据，故符合题意.对于D，因为，所以D选项中的数据不能成为X的分布列中概率值的一组数据，故不符合题意.选AC.
15．答案：AC
解析：设事件表示“第一天去甲餐厅”，表示“第二天去甲餐厅”，表示“第一天去乙餐厅”，表示“第二天去乙餐厅”，则，，，，所以，所以A正确.，所以B不正确.因为，所以，所以，所以选项C正确.，所以D不正确.故选AC.
16．答案：AC
解析：因为，所以，
整理得，解得，
则，，.
故选：AC
17．答案：ABD
解析：一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，
对于A:取出的白球和取出黑球的概率分别为
和，符合二项分布，故A正确；
对于B:一次性地摸取4个球，则取出的球中白球的个数的分布列，符合超几何分布，故B正确；
对于C:一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误；
对于D:取出的白球数为3和4，故，故D正确；
故选:ABD.
18．答案：AD
解析：因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，，，，故A正确；
，，
，因为，，所以，所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确.
故选：AD.
19．答案：BC
解析：对于A
因为，所以，所以，
故A错误，
对于B，
因为，所以，所以，
故B正确，
对于C，
因为，所以，所以，
故C正确，
对于D，
因为，所以，所以，
若，则，
故D错误，
故选：BC.
20．答案：BCD
解析：依题意，解得，即，故D正确；
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确.
故选：BCD
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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