台江区2024-2025学年第一学期期中适应性练习
九年级数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.
1.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
2.若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ）.
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
3.解方程，可用配方法将其变形为（ ）.
A. B. C. D.
4.下列图形中，的是（ ）.
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，则的坐标是（ ）.
A. B. C. D.
6.将抛物线向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是（ ）.
A. B. C. D.
7.如图，绕点顺时针旋转，旋转角是，那么下列说法错误的是（ ）.
A.平分 B. C. D.
8.为响应国家垃圾分类的号召，保护自然环境，某市今年第一季度进行宣传，第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类.已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
9.二次函数的部分对应值列表如下：
… 0 1 3 5 …
… 7 7 …
则一元二次方程的解为（ ）.
A.3或 B.或5 C.或6 D.2或
10.如图，二次函数的图象经过点，，.现有四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，取最大值；
③当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点，，当时，的取值范围是；
其中推断正确的是（ ）.
A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______.
12.二次函数的顶点坐标是______.
13.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则的度数是______.
14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为______m.
图1 图2
15.若，，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______.
16.如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于，两点，若点、点关于原点对称，则的最小值______.
三、解答题：（共9小题，满分86分）
17.解下列方程：（8分，每小题4分）
（1）；
（2）.
18.（8分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为何值，该方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是2，求另一个根及的值.
19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，，.
（1）将点向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是______.
（2）将绕点顺时针旋转得到，其中点与点对应，点在线段上，请在图中画出；
（3）经过，，三点______确定一个圆.（填写“能”或“不能”）
20.（8分）小明同学利用“描点法”画二次函数的图象时，列出的部分数据如表一所示.
… 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
（1）求出该二次函数的解析式和的值；
（2）画出该二次函数的图象；
（3）某同学说该抛物线会经过点，请你判断他的说法是否正确，并说明理由.
21.（8分）如图，在中，，点为边上一点.
（1）尺规作图：在边上找一点，使得.
（2）在（1）的条件下以点为圆心，为半径作，分别与，交于，点，且.求证：与相切.
22.（10分）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在线段上，的延长线与交于点，连接、，，.
（1）求证：；
（2）猜想线段、的数量关系，并证明你的猜想.
23.（10分）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统.从喷水口喷出的水柱成抛物线形.如图1是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处. 图1
素材2 若准备在庭院内沿围墙建花坛种植花，花坛高，宽，长方形是花坛截面.如图2调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上，达到给花坛喷灌的效果. 图2
问题解决
任务1 确定喷灌器的位置 求喷灌器与围墙的距离.
任务2 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的取值范围.
24.（12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，.
（1）求二次函数的表达式和点的坐标；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，轴分别交于点，，
（1）的面积是的面积的2倍，求点的坐标；
（2）记，的面积分别为，，求的最大值.
25.（14分）如图1，，是直径，，与交于点.
图1 图2
（1）求证：弦；
（2）如图2，点在上，且.
①求证：；
②若，，求的半径.
台汇区2024-2025学年第一学期期中适应性练习
九年级数学试卷参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.
BABDC CDDCB
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 12. 13.40 14.2 15.1 16.6
三、解答题：（共9小题，满分86分）
17.解下列方程：（8分，每小题4分）
解：（1）；
，
（2）
，
，
18.（8分）
解：（1）∵
∴无论为何值，该方程总有实数根
（2）∵方程的一个根是2
∴
解得
设方程的一个根为，另一个根为
∴
∴
∴另一个根为1，的值是3
19.（8分），解：（1）
（2）
画图正确
如图所示，为所求
（3）不能
20.（8分）解：（1）二次函数图象经过点，，，得
解得，，
∴二次函数解析式
当时，
∴
（2）二次函数图象如图所示
（3）说法错误，理由如下：
∵时，函数值取得最小值
∴函数值不可能等于，
∴该抛物线不会经过点
21.（8分）（1）解：
点即为所求
（2）证明：如图，连接，，
由的作图可知：垂直平分，
∴
∵是半径
∴也是的半径
∵
∴，
∴
∵弧弧
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴与相切
22.（10分）证明：（1） ∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∴
（2）.
证明： ∵是等边三角形，
∴，
在和中
∴，
∴
∴，
∴.
23.（10分）解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为.
令，得，
解得：，，
∴，
∴，
∴喷灌器与围墙的距离为；
（2）如图所示：
∴，，
∴，
设，
把代入得，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
设，
把代入得，，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
即喷水口距离地面高度为.
24.（1）解：（1）二次函数的图象经过，.
解得，
∴二次函数的表达式
当时，
解得，
∴点的坐标
（2）①点是第一象限内抛物线上的一个动点
设的坐标为
∴
设直线的解析式为
∴
解得，
∴直线的解析式为
∴点的坐标
∴
∵的面积是的面积的2倍
∴
∵，
∴
∴
解得，（舍去）
当时，
点的坐标
（2）由（1），，
∴直线：
∴，，
又∵直线的解析式为
∴
又
∴
∴
∴当时，取最大值，最大值为
25.（1）证明：（1）连接，
∵，是直径，
∴弧弧
∵弧弧
∴弧弧，
∴，
∵，
∴
（2）（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵弧弧，
∴
∴；
②设的半径为r
∵
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
由（1）得，且是直径，
∴是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴
解得，（不合题意，舍去），
∴的半径为8
