浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题
1．（2024高一上·杭州期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以函数在上为增函数，
又，，即，
所以零点所在的大致区间.
故答案为：A.
【分析】本题考查零点性存在性定理.根据对数函数的单调性可得：在上为增函数；根据反比例函数的单调性可得：函数在上为减函数，综合可得函数在上为增函数.分别求出各区间端点的函数值，可知，，故零点所在的大致区间.
2．（2024高一上·杭州期末）设函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由，得，
由为偶函数，得，
则“”是“”为偶函数的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，充分必要条件的判定.由，可得；为偶函数，可得，所以”可推出“为偶函数，为偶函数”可推出，根据充分必要条件的定义可判断答案.
3．（2024高一上·杭州期末）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，，，排除A；
由偶函数定义，可得为偶函数，由题中图象可知函数是奇函数，排除C；
当时，，排除D；
因为为奇函数，当时，，
当时，，所以选项B均符合题中所给的特征.
故选：B.
【分析】利用题中函数在上先正值，后负值的变化情况，从而排除选项A；利用题中所给图象可知，函数是奇函数，从而排除选项C；利用当时，题中给的函数值为负值，从而排除D；进而得出选项B均符合以上要求.
4．（2024高一上·杭州期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.
故选：C.
【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，从而列出方程组，进而解方程组得出其所在扇形的圆心角大小.
5．（2024高一上·杭州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：当时，
.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，二倍角的余弦公式.可变形为：，根据三角函数的诱导公式可得：；又知，利用二倍角的余弦公式可得：，代入数据可求出答案.
6．（2024高一上·杭州期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的周期为，
由图象可得，令，可得：，
所以，即，又因为，
所以，，
又因为，所以，所以，
则，为定值.
故选：B.
【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式求出函数的周期，再由函数的图象估计出的取值范围，再结合函数零点的求解方法，从而求出函数的零点，由此确定，的值，再结合已知条件化简可得不为定值的量.
7．（2024高一上·杭州期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.本题利用1还原法求解：先将中的乘以1，再将1利用进行替换可得：，括号展开化简可得：，利用基本不等式可求出最值.
8．（2024高一上·杭州期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由题知，由，得到，
令，由对勾函数的图象与性质知，或，且图像如图，
则，即，
又方程恰有三个不同的实数解，，，且，
所以有两根，且，
故，得到，代入，
得到，解得或，
由，得到，由，得到，所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查函数与方程的综合应用.先由，变形可得，采用换元法令，式子可变形为：，即.又知方程恰有三个不同的实数解，，，且，可转化为有两根，且，代入方程可得，求出的值，的值代入，可求出的值：或，.再将换元回来可求得：，，进而得出本题的答案.
9．（2024高一上·杭州期末）下列命题正确的是（ ）
A．设是第一象限角，则为第一或第三象限角
B．
C．在中，若点满足，则是的重心
D．
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；三角形五心；象限角、轴线角；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，因为是第一象限角，所以，
则，则为第一或第三象限角，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，取中点，
则，
又因为，所以，
所以在中线上，且，
所以为的重心，故C正确；
对于D，因为，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据象限角的概念可判断出选项A；根据辅助角公式化简即可判断出选项B；取中点，得出，根据重心的性质可判断选项C；根据，从而结合向量数乘运算的性质即可判断选项D，进而找出命题正确的选项.
10．（2024高一上·杭州期末）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的值域为
C．函数是周期函数
D．函数是减函数
【答案】B,C
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、当，则，
当，则，
故函数的值域为，A错误；
B、当，则，，
当，则，，
即函数的值域为，B正确；
C、，
故函数是周期函数，C正确；
D、由函数是周期函数，故函数不是减函数，D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查函数的值域，函数的周期性，函数的单调性.分和两种情况进行讨论：当，根据题目的定义可得；当，根据题目的定义可得，所以函数的值域为；根据题目的定义可得：，故函数是周期函数；因为函数是周期函数，根据函数单调性的定义可得：函数不是减函数；
11．（2024高一上·杭州期末）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．在上的值域为
C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D．在上单调递减
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：函数满足，
可得的图象关于对称，故，即，
对任意，都有，可得在处取得最小值，
即，可得，
则，化简得，
因为，当取最小值时，，可得，
则且，得，所以.
对于A，令，，解得，
则图象的对称中心为，故A正确；
对于B，当时，，可得，
所以在上的值域为，故B不正确；
对于C，将的图象向左平移个单位长度得到
的图象，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
【分析】由题意可得的图象关于对称，再利用在处取得最小值，从而得出，的值，则可得出函数解析式，再结合换元法和正弦函数图象的对称中心，从而判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象求值域的方法，从而判断出选项B；由正弦型函数的图象变换判断出选项C；利用x的取值范围和构造法，再结合换元法和正弦函数图象的单调性，从而判断出函数在上的单调性，进而找出正确的选项.
12．（2024高一上·杭州期末）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A． B．的最大值为
C．最大值为9 D．
【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对于D，，，
则
，故D错误；
对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，故C正确；
对于B，因为，
所以，
即，
所以，所以，
因为，所以当时，取得最大值，故B错误.
故选：AC.
【分析】利用平面向量基本定理，将分别用表示，从而结合数量积的运算法则，进而判断出选项A和选项D；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算，再结合三角型函数的图象求最值的方法，从而即可判断选项B和选项C，进而找出正确的选项.
13．（2024高一上·杭州期末）函数 的定义域为 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】函数 的定义域为
故答案为：
【分析】结合周期，即可得出答案。
14．（2024高一上·杭州期末）若，，，则，，三数中最小数为 .
【答案】b
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，，，
所以三数中最小数为.
故答案为：.
【分析】本题考查指数函数、对数函数的单调性比较大小.因为，所以，根据指数函数的单调性可得：，根据对数函数的单调性可得：，通过比较三个数的范围可得出答案.
15．（2024高一上·杭州期末）在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设的斜率为，点到直线的距离为，
则，的直线方程为，
由点到直线的距离公式得.
故填：.
【分析】利用两点求斜率公式得出直线的斜率，从而求出直线方程，再利用点到直线的距离公式求出答案.
16．（2024高一上·杭州期末）对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，，所以，
所以，因为，所以，
所以，此时区间长度时一定满足，
故下研究时，此时，
因此满足题意的反面情况或，
解得或，因此满足题意的范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查集合间的基本关系.根据集合A，利用正弦函数的图象和性质可求出集合：，根据可求出，据此可得，根据题目条件可推出，因此，此时区间长度时一定满足；再考虑时，，可得：，因此满足题意的反面情况或，解出不等式可求出实数的取值范围；
17．（2024高一上·杭州期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵角的终边与单位圆的交点为，∴，
∵∴，∴.
（2）解：原式.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】本题考查任意角三角函数定义，同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式.
（1）已知角的终边与单位圆的交点为，根据三角函数的定义可得：，又知，所以，再根据三角函数的平方关系可得：，代入数据可求出的值；
（2）式子，利用三角函数诱导公式化简可得：原式，将和代入式子可求出答案.
18．（2024高一上·杭州期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.
（1）设，，求的值；
（2）若，求的大小.
【答案】（1）解：∵，，∴
（2）解：
∵∴.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据数量积的定义得出的值.
（2）根据数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的大小.
（1）∵，，∴；
（2）∵，
∴.
19．（2024高一上·杭州期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若，的周长为，面积为，求的最大值.
【答案】（1）解：因为，
故，
即，
由正弦定理得出，
整理得到，则，
又因为，故.
（2）解：由（1）知，则，
所以，即，
因为，，
所以，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示和数量积的坐标运算，再结合正弦定理的边角变换与余弦定理，从而由三角形中角A的取值范围，从而得出角A的大小.
（2）利用（1）中结论和三角形面积公式和周长公式，从而将表示为的表达式，再利用基本不等式求最值的方法，从而求得的最大值，进而得出的最大值.
（1）因为，
故，
即，
由正弦定理得，，
整理得到，则，
又，故.
（2）由（1）知，则，
所以，即，
因为，，
所以，
又，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值为.
20．（2024高一上·杭州期末）如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；
（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.
【答案】（1）解：过作，垂直于，，垂足分别为，，
则，，
，，
所以，养殖观赏鱼的面积为由可得，则，
当且仅当，即时取等号，故时，.
（2）解：由，可得，
则，，，由题意，
则
，
则，
再结合，则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）过作，垂直于，，垂足分别为，，利用三角函数的定义和三角形的面积公式，从而求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求最值的方法得出最小面积，并求出对应的的值.
（2）由题意得出，则，再结合同角三角函数基本关系式和一元一次不等式求解方法以及角的取值范围，从而由交集的运算法则得出角的取值范围.
（1）过作，垂直于，，垂足分别为，，
则，，，，
养殖观赏鱼的面积，
由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小.
（2）由，可得，
则，，，由题意，
则，
则，结合，则.
21．（2024高一上·杭州期末）设，函数，.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个零点，，试证明：.
【答案】（1）解：，令，即，时，，，即，或即或时，无解；
即时，仅有一解；
即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点
（2）解：有两个零点时，令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，则，
则，则，
由可得，，则，
由在递减，可得，则.
令，即证：；
即证：显然成立，故原式成立.
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查函数零点的定义，函数零点与方程根的关系.
（1）令，采用换元法令，可得，分；；三种情况讨论方程解的个数情况，进而讨论讨论函数的零点个数；
（2）有两个零点时，则方程有两个解，令，，则，为两解，利用根与系数关系可得，结合三角函数单调性：在递减，可证明，令，则将原命题转化为证明，即显然成立，进而原命题成立得证.
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题
1．（2024高一上·杭州期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·杭州期末）设函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·杭州期末）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·杭州期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024高一上·杭州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·杭州期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·杭州期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
8．（2024高一上·杭州期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2024高一上·杭州期末）下列命题正确的是（ ）
A．设是第一象限角，则为第一或第三象限角
B．
C．在中，若点满足，则是的重心
D．
10．（2024高一上·杭州期末）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的值域为
C．函数是周期函数
D．函数是减函数
11．（2024高一上·杭州期末）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．在上的值域为
C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D．在上单调递减
12．（2024高一上·杭州期末）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A． B．的最大值为
C．最大值为9 D．
13．（2024高一上·杭州期末）函数 的定义域为 ．
14．（2024高一上·杭州期末）若，，，则，，三数中最小数为 .
15．（2024高一上·杭州期末）在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为 .
16．（2024高一上·杭州期末）对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是 .
17．（2024高一上·杭州期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
18．（2024高一上·杭州期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.
（1）设，，求的值；
（2）若，求的大小.
19．（2024高一上·杭州期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若，的周长为，面积为，求的最大值.
20．（2024高一上·杭州期末）如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；
（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.
21．（2024高一上·杭州期末）设，函数，.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个零点，，试证明：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以函数在上为增函数，
又，，即，
所以零点所在的大致区间.
故答案为：A.
【分析】本题考查零点性存在性定理.根据对数函数的单调性可得：在上为增函数；根据反比例函数的单调性可得：函数在上为减函数，综合可得函数在上为增函数.分别求出各区间端点的函数值，可知，，故零点所在的大致区间.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由，得，
由为偶函数，得，
则“”是“”为偶函数的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，充分必要条件的判定.由，可得；为偶函数，可得，所以”可推出“为偶函数，为偶函数”可推出，根据充分必要条件的定义可判断答案.
3．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，，，排除A；
由偶函数定义，可得为偶函数，由题中图象可知函数是奇函数，排除C；
当时，，排除D；
因为为奇函数，当时，，
当时，，所以选项B均符合题中所给的特征.
故选：B.
【分析】利用题中函数在上先正值，后负值的变化情况，从而排除选项A；利用题中所给图象可知，函数是奇函数，从而排除选项C；利用当时，题中给的函数值为负值，从而排除D；进而得出选项B均符合以上要求.
4．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.
故选：C.
【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，从而列出方程组，进而解方程组得出其所在扇形的圆心角大小.
5．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：当时，
.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，二倍角的余弦公式.可变形为：，根据三角函数的诱导公式可得：；又知，利用二倍角的余弦公式可得：，代入数据可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的周期为，
由图象可得，令，可得：，
所以，即，又因为，
所以，，
又因为，所以，所以，
则，为定值.
故选：B.
【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式求出函数的周期，再由函数的图象估计出的取值范围，再结合函数零点的求解方法，从而求出函数的零点，由此确定，的值，再结合已知条件化简可得不为定值的量.
7．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.本题利用1还原法求解：先将中的乘以1，再将1利用进行替换可得：，括号展开化简可得：，利用基本不等式可求出最值.
8．【答案】A
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由题知，由，得到，
令，由对勾函数的图象与性质知，或，且图像如图，
则，即，
又方程恰有三个不同的实数解，，，且，
所以有两根，且，
故，得到，代入，
得到，解得或，
由，得到，由，得到，所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查函数与方程的综合应用.先由，变形可得，采用换元法令，式子可变形为：，即.又知方程恰有三个不同的实数解，，，且，可转化为有两根，且，代入方程可得，求出的值，的值代入，可求出的值：或，.再将换元回来可求得：，，进而得出本题的答案.
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；三角形五心；象限角、轴线角；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，因为是第一象限角，所以，
则，则为第一或第三象限角，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，取中点，
则，
又因为，所以，
所以在中线上，且，
所以为的重心，故C正确；
对于D，因为，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据象限角的概念可判断出选项A；根据辅助角公式化简即可判断出选项B；取中点，得出，根据重心的性质可判断选项C；根据，从而结合向量数乘运算的性质即可判断选项D，进而找出命题正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、当，则，
当，则，
故函数的值域为，A错误；
B、当，则，，
当，则，，
即函数的值域为，B正确；
C、，
故函数是周期函数，C正确；
D、由函数是周期函数，故函数不是减函数，D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查函数的值域，函数的周期性，函数的单调性.分和两种情况进行讨论：当，根据题目的定义可得；当，根据题目的定义可得，所以函数的值域为；根据题目的定义可得：，故函数是周期函数；因为函数是周期函数，根据函数单调性的定义可得：函数不是减函数；
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：函数满足，
可得的图象关于对称，故，即，
对任意，都有，可得在处取得最小值，
即，可得，
则，化简得，
因为，当取最小值时，，可得，
则且，得，所以.
对于A，令，，解得，
则图象的对称中心为，故A正确；
对于B，当时，，可得，
所以在上的值域为，故B不正确；
对于C，将的图象向左平移个单位长度得到
的图象，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
【分析】由题意可得的图象关于对称，再利用在处取得最小值，从而得出，的值，则可得出函数解析式，再结合换元法和正弦函数图象的对称中心，从而判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象求值域的方法，从而判断出选项B；由正弦型函数的图象变换判断出选项C；利用x的取值范围和构造法，再结合换元法和正弦函数图象的单调性，从而判断出函数在上的单调性，进而找出正确的选项.
12．【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对于D，，，
则
，故D错误；
对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，故C正确；
对于B，因为，
所以，
即，
所以，所以，
因为，所以当时，取得最大值，故B错误.
故选：AC.
【分析】利用平面向量基本定理，将分别用表示，从而结合数量积的运算法则，进而判断出选项A和选项D；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算，再结合三角型函数的图象求最值的方法，从而即可判断选项B和选项C，进而找出正确的选项.
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】函数 的定义域为
故答案为：
【分析】结合周期，即可得出答案。
14．【答案】b
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，，，
所以三数中最小数为.
故答案为：.
【分析】本题考查指数函数、对数函数的单调性比较大小.因为，所以，根据指数函数的单调性可得：，根据对数函数的单调性可得：，通过比较三个数的范围可得出答案.
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设的斜率为，点到直线的距离为，
则，的直线方程为，
由点到直线的距离公式得.
故填：.
【分析】利用两点求斜率公式得出直线的斜率，从而求出直线方程，再利用点到直线的距离公式求出答案.
16．【答案】
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，，所以，
所以，因为，所以，
所以，此时区间长度时一定满足，
故下研究时，此时，
因此满足题意的反面情况或，
解得或，因此满足题意的范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查集合间的基本关系.根据集合A，利用正弦函数的图象和性质可求出集合：，根据可求出，据此可得，根据题目条件可推出，因此，此时区间长度时一定满足；再考虑时，，可得：，因此满足题意的反面情况或，解出不等式可求出实数的取值范围；
17．【答案】（1）解：∵角的终边与单位圆的交点为，∴，
∵∴，∴.
（2）解：原式.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】本题考查任意角三角函数定义，同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式.
（1）已知角的终边与单位圆的交点为，根据三角函数的定义可得：，又知，所以，再根据三角函数的平方关系可得：，代入数据可求出的值；
（2）式子，利用三角函数诱导公式化简可得：原式，将和代入式子可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵，，∴
（2）解：
∵∴.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据数量积的定义得出的值.
（2）根据数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的大小.
（1）∵，，∴；
（2）∵，
∴.
19．【答案】（1）解：因为，
故，
即，
由正弦定理得出，
整理得到，则，
又因为，故.
（2）解：由（1）知，则，
所以，即，
因为，，
所以，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示和数量积的坐标运算，再结合正弦定理的边角变换与余弦定理，从而由三角形中角A的取值范围，从而得出角A的大小.
（2）利用（1）中结论和三角形面积公式和周长公式，从而将表示为的表达式，再利用基本不等式求最值的方法，从而求得的最大值，进而得出的最大值.
（1）因为，
故，
即，
由正弦定理得，，
整理得到，则，
又，故.
（2）由（1）知，则，
所以，即，
因为，，
所以，
又，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值为.
20．【答案】（1）解：过作，垂直于，，垂足分别为，，
则，，
，，
所以，养殖观赏鱼的面积为由可得，则，
当且仅当，即时取等号，故时，.
（2）解：由，可得，
则，，，由题意，
则
，
则，
再结合，则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）过作，垂直于，，垂足分别为，，利用三角函数的定义和三角形的面积公式，从而求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求最值的方法得出最小面积，并求出对应的的值.
（2）由题意得出，则，再结合同角三角函数基本关系式和一元一次不等式求解方法以及角的取值范围，从而由交集的运算法则得出角的取值范围.
（1）过作，垂直于，，垂足分别为，，
则，，，，
养殖观赏鱼的面积，
由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小.
（2）由，可得，
则，，，由题意，
则，
则，结合，则.
21．【答案】（1）解：，令，即，时，，，即，或即或时，无解；
即时，仅有一解；
即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点
（2）解：有两个零点时，令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，则，
则，则，
由可得，，则，
由在递减，可得，则.
令，即证：；
即证：显然成立，故原式成立.
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查函数零点的定义，函数零点与方程根的关系.
（1）令，采用换元法令，可得，分；；三种情况讨论方程解的个数情况，进而讨论讨论函数的零点个数；
（2）有两个零点时，则方程有两个解，令，，则，为两解，利用根与系数关系可得，结合三角函数单调性：在递减，可证明，令，则将原命题转化为证明，即显然成立，进而原命题成立得证.
