浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题
1．（2024高一上·金华期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】利用特殊角的三角函数的定义，从而得出答案.
2．（2024高一上·金华期末）已知集合，，若，则实数可以为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，知，C不可能；
由，知且，否则中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能；
当时，，符合题意，因此实数可以为7.
故答案为：D.
【分析】本题考查集合的交集运算，根据集合元素的互异性可得：，根据集合的交集运算可得：且，据此可选项正确答案.
3．（2024高一上·金华期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令函数，显然在上单调递减，，
因为任意，不等式恒成立，于是，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.不等式恒成立，可转化为：，应用二次函数的性质即可求解.
4．（2024高一上·金华期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：根据力的平衡，的合力为，如图所示：
由于，且的夹角为，
则为等边三角形，则，
则与重物重力之间的夹角为.
故答案为：C.
【分析】本题考查向量的平行四边形法则.结合物理相关知识，作出图形，根据图形可得的合力为，利用三角形和向量夹角的知识可推出为等边三角形，结合图形可求出与重物重力之间的夹角.
5．（2024高一上·金华期末）“”是“函数的定义域为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数的定义域为
则恒成立，即，解得，
故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义域为可得恒成立，根据可求出的取值范围，再利用充分条件和必要条件的定义可判断出答案.
6．（2024高一上·金华期末）已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为（ ）
A．46 B．48 C．52 D．64
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：根据函数，是正数，且存在唯一的实数，满足，可得，即，由，则，
所以，故，
故答案为：B.
【分析】本题考查利用不等式的性质求最值.已知函数，是正数，且存在唯一的实数，满足，结合二次函数的图象可得，据此可求出，利用，变形可得：，进而求出的最小值.
7．（2024高一上·金华期末）某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（ ）
参考数据：，，，
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题有，设小时后污染物含量不超过，
则，解得，即至少经过29小时能达到排放标准.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数模型的应用，指数式的与对数式的互化.将指数式转化为对数式，可求出的范围，进而求出答案.
8．（2024高一上·金华期末）若实数，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：设，则为偶函数，
设，则因为在上均为增函数，
故，故，
故在上为增函数，且为偶函数.
又，则，
即，当且仅当时取等号.
故，故.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的单调性.先构造函数，根据复合函数的单调性可得：在上为增函数，且为偶函数.又知，可变形为：，进而可转化为：，结合偶函数性质可得出答案.
9．（2024高一上·金华期末）在中（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】余弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、在中，由余弦函数单调性可得，A正确；
B、若为钝角，为锐角，则，B错误；
C、，C正确；
D、，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查余弦函数的单调性，三角函数的诱导公式.对A，大前提在中，所以，根据余弦函数的单调性判断；对B，举反例为钝角，为锐角，判断正切值得符号可判断；对CD，根据三角形内角和为可表示出：，，再结合三角函数的诱导公式可判断.
10．（2024高一上·金华期末）已知（）（ ）
A．当时，的值域为 B．当时，
C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数
【答案】B,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，，此时的值域为，故A错误，
B、当时，在上单调递增，所以，B正确，
C、当时，，，所以是偶函数，C正确，
D、当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误，
故答案为：BC.
【分析】本题考查幂函数的性质和函数的奇偶性.将代入解析式，根据反比例函数的性质可求出值域；将代入解析式，根据幂函数的单调性可判断出在上单调递增，当时，先求出和的解析式，再结合函数奇偶性的定义可进行判断.
11．（2024高一上·金华期末）已知函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．
B．函数在上为增函数
C．是的一个对称中心
D．函数的图像关于轴对称
【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，又最小正周期为，故，则，A错误；
B、，当时，，为正弦函数的单调递增区间，B正确；
C、，故不是的一个对称中心，C错误；
D、为偶函数，图像关于轴对称，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用降幂升角公式和辅助角公式将解析式化为：，利用最小正周期公式可求出；对B，由可得：，结合正弦函数的单调性可进行判断；对C，根据即可进行判断；对D，求出的解析式，再利用函数的奇偶性即可进行判断.
12．（2024高一上·金华期末）已知函数，则（ ）
A．函数是周期函数
B．函数有最大值和最小值
C．函数有对称轴
D．对于，函数单调递增
【答案】B,C
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，
C、因为，
所以，函数的图象关于直线对称，C正确；
D、因为，，故函数在上不单调，D错误；
B、因为函数的图象关于直线对称，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值即可，
设，
当时，，
令，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以，函数在上单调递增，
当时，，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由对称性可知，函数在上为减函数，
故函数在处取得最大值，且，
故函数在处取得最小值，且最小值为，
当时，则，则函数在上为减函数，
对任意的、，且，则，，
则，由不等式的基本性质可得，
即，所以，函数在上单调递减，
又因为当时，函数取得最大值，
故函数仅在处取得最大值，
对任意的，，，
若，则，
若，则，则，则，
所以，.
综上所述，对任意的，，
又因为函数在上单调递减，
故当时，在处取得最小值，
综上所述，函数既有最大值，也有最小值，B正确；
A、由C选项可知，函数仅在处取得最大值，
若函数是以为周期的周期函数，则，与题意矛盾，
故函数不可能是周期函数，A错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查函数的周期性，最值，对称性和单调性.利用诱导公式可将解析式化简为：，通过计算可知：，利用函数对称性的定义可判断出函数的图象关于直线对称；先判断函数在上的单调性，结合函数最值的定义可可求出函数的最值；利用特殊值法再区间取两个特殊值，计算函数值：，，故函数在上不单调，进而判断D选项；利用反证法：先设函数是以为周期的周期函数，再结合B选项中的结论：函数仅在处取得最大值，所以，推出矛盾，进而判断A选项.
13．（2024高一上·金华期末） 0（填＞或＜）．
【答案】＞
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：，故2对应的角度终边在第二象限，则；
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数符号的判断.因为，所以，故2对应的角度终边在第二象限，然后根据正弦函数在每个象限的符号分析可得出结论.
14．（2024高一上·金华期末）函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大．
【答案】8
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以当，即时，取最大值，
所以时，取最大值，
又游客流量越大所需服务工作的人数越多，
所以时，游客流量最大．
故答案为：8.
【分析】本题考查余弦函数的性质.已知，可求出的范围，再根据余弦函数性质可得出：，取得最大值，解方程可求出最大值时的值.
15．（2024高一上·金华期末）已知函数则方程的所有根之积为 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：令，由可得，
当时，由，即，则，即方程无解；
当时，由，可得或.
（1）当时，当时，由可得，
解得，，
当时，由可得，；
（2）当时，当时，由可得，
，方程无解，
当时，由可得，，
因此，方程的所有根之积为.
故答案为：.
【分析】本题考查分段函数的应用.采用换元法令，由可得，进而讨论当时，方程的根的情况；讨论当时，方程的根的情况，解得：或；再分段讨论或可求出方程的根，再将所有根全部相乘，可得出答案.
16．（2024高一上·金华期末）若函数的值域为，则实数的最小值为 ．
【答案】-2
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：根据题意，函数的定义域为，
因为的值域为，
所以在上恒成立，
当时，则，则，
此时必有，变形可得，
当时，则，则，
此时必有，变形可得，
综合可得：在上恒成立，
设，，
则，
因为，所以且，
由基本不等式可得，
即，所以，
因为在上恒成立，
所以，解得，
故实数的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.已知函数的值域为，故原问题可转化为：在上恒成立，通过分离常数可得：在上恒成立，令，利用基本不等式求出最值，进而求出K的最小值.
17．（2024高一上·金华期末）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：结合题意可得：
（2）解：结合题意可得：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则化简求值.
（2）由指数幂的运算法则和完全平方和公式、立方差公式，从而化简求值.
（1）结合题意可得：
；
（2）结合题意可得：
.
18．（2024高一上·金华期末）已知向量，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
【答案】（1）解：由题意，设．
，，
，或．
（2）解：，，
，即，，
设与的夹角为，则，
又因为，，与的夹角为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）设，再结合向量的模长的坐标求解公式，从而得出的值，进而得出向量的坐标.
（2）根据两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的运算法则得出的值，再根据数量积求向量的夹角公式和向量夹角的取值范围，从而得出与的夹角.
（1）由题意，设．
，，
，或．
（2），，
，即，．
设与的夹角为，则．
又，，与的夹角为．
19．（2024高一上·金华期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期与对称轴方程；
（2）当且时，求的值．
【答案】（1）解：由题设可得，
所以，函数的最小正周期是，
由，可得，
所以，函数的对称轴方程为，
最小正周期为，对称轴方程为.
（2）解：由得，即，
因为，所以．
若，则与矛盾，
则，
从而得出，
于是
．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，再结合正弦型函数的对称性可得出函数的对称轴方程.
（2）由已知条件和函数的解析式，从而可求出的值，再利用和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而推出矛盾得出的取值范围，再结合同角三角函数的基本关系求出的值，最后由两角和的正弦公式可求得的值.
（1）解：由题设有，
所以，函数的最小正周期是，
由，可得，
所以，函数的对称轴方程为.
（2）解：由得，即，
因为，所以．
若，则与，矛盾
则．
从而．
于是
．
20．（2024高一上·金华期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记．
（1）求的长（用表示）；
（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．
【答案】（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2）解：，
，
，，
，即时，，
因此，当时，的面积的最大值为．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）过，作的垂线，垂足分别为，，再结合三角函数的定义和，从而用表示出AB的长.
（2）由三角形的面积公式和辅助角公式，从而将三角形的面积转化为三角型函数，再结合角的取值范围和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的面积的最大值，并求此时角的大小．
（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2），
．
，，
，即时，，
因此，当时，面积的最大值为．
21．（2024高一上·金华期末）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性（不必给出证明）；
（2）当时，求的值域；
（3）若存在，，使得，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
因为为减函数，为增函数，
故在上单调递减.
（2）当时，，
当且仅当时取等号，
所以，函数的值域为．
（3）解：令，
则问题等价于存在，，使得，
令，因为在有两个零点，
故，即，解得，
由韦达定理和根的定义可知：，，
，
又因为，故的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再根据函数的单调性判断方法，从而讨论出函数的单调性.
（2）根据a的值求出函数的解析式，再结合基本不等式求最值的方法得出函数的值域.
（3）令，则问题等价于存在，，使得，令，因为在有两个零点，再根据零点存在性定理和韦达定理以及a的取值范围，从而得出的取值范围．
（1）当时，，因为为减函数，为增函数，
故在上单调递减；
（2）当时，，当且仅当时取等号；
所以的值域为．
（3）令，则问题等价于存在，，使得
令，因为在有两个零点，
故，即解得．
由韦达定理和根的定义可知：，．
又因为，故的取值范围为．
22．（2024高一上·金华期末）二次函数的最大值为，且满足，，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：．
【答案】（1）解：令，由可得，
所以，函数为偶函数，
又因为二次函数的最大值为，
可设，其中，
则，解得，
所以，.
（2）证明：因为，即，
所以，其中，
由，化简可得，
即，
令，
由判别式，可知在上有解，
①当时，，
此时；
②当时，，
此时；
③当时，的对称轴是，
因为，
，
，
由零点存在定理可知，
函数在区间、上各有一个零点，
不妨设函数在区间、内的零点分别为、，
此时，
综合①②③，成立．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义判断出函数的奇偶性，再结合二次函数的最值设出二次函数，从而代值得出实数a的值，进而得出函数的解析式.
（2）由可得，令，分、、三种情况讨论，在第一种和第二种情况下，直接验证即可；在第三种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合三种情况可证出成立.
（1）解：令，由可得，
所以，函数为偶函数，
又因为二次函数的最大值为，可设，其中，
则，解得，所以，.
（2）解：因为，即，所以，其中．
由，化简可得
即．
令，
由判别式，可知在上有解，
①当时，，此时；
②当时，，此时；
③当时，的对称轴是，
因为，
，
，
由零点存在定理可知，函数在区间、上各有一个零点，
不妨设函数在区间、内的零点分别为、，
此时．
综合①②③，成立．
浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题
1．（2024高一上·金华期末）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·金华期末）已知集合，，若，则实数可以为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
3．（2024高一上·金华期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·金华期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．（2024高一上·金华期末）“”是“函数的定义域为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高一上·金华期末）已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为（ ）
A．46 B．48 C．52 D．64
7．（2024高一上·金华期末）某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（ ）
参考数据：，，，
A． B． C． D．
8．（2024高一上·金华期末）若实数，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·金华期末）在中（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
10．（2024高一上·金华期末）已知（）（ ）
A．当时，的值域为 B．当时，
C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数
11．（2024高一上·金华期末）已知函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．
B．函数在上为增函数
C．是的一个对称中心
D．函数的图像关于轴对称
12．（2024高一上·金华期末）已知函数，则（ ）
A．函数是周期函数
B．函数有最大值和最小值
C．函数有对称轴
D．对于，函数单调递增
13．（2024高一上·金华期末） 0（填＞或＜）．
14．（2024高一上·金华期末）函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大．
15．（2024高一上·金华期末）已知函数则方程的所有根之积为 ．
16．（2024高一上·金华期末）若函数的值域为，则实数的最小值为 ．
17．（2024高一上·金华期末）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（2024高一上·金华期末）已知向量，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
19．（2024高一上·金华期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期与对称轴方程；
（2）当且时，求的值．
20．（2024高一上·金华期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记．
（1）求的长（用表示）；
（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．
21．（2024高一上·金华期末）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性（不必给出证明）；
（2）当时，求的值域；
（3）若存在，，使得，求的取值范围．
22．（2024高一上·金华期末）二次函数的最大值为，且满足，，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】利用特殊角的三角函数的定义，从而得出答案.
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，知，C不可能；
由，知且，否则中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能；
当时，，符合题意，因此实数可以为7.
故答案为：D.
【分析】本题考查集合的交集运算，根据集合元素的互异性可得：，根据集合的交集运算可得：且，据此可选项正确答案.
3．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令函数，显然在上单调递减，，
因为任意，不等式恒成立，于是，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.不等式恒成立，可转化为：，应用二次函数的性质即可求解.
4．【答案】C
【知识点】向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：根据力的平衡，的合力为，如图所示：
由于，且的夹角为，
则为等边三角形，则，
则与重物重力之间的夹角为.
故答案为：C.
【分析】本题考查向量的平行四边形法则.结合物理相关知识，作出图形，根据图形可得的合力为，利用三角形和向量夹角的知识可推出为等边三角形，结合图形可求出与重物重力之间的夹角.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数的定义域为
则恒成立，即，解得，
故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义域为可得恒成立，根据可求出的取值范围，再利用充分条件和必要条件的定义可判断出答案.
6．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：根据函数，是正数，且存在唯一的实数，满足，可得，即，由，则，
所以，故，
故答案为：B.
【分析】本题考查利用不等式的性质求最值.已知函数，是正数，且存在唯一的实数，满足，结合二次函数的图象可得，据此可求出，利用，变形可得：，进而求出的最小值.
7．【答案】B
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题有，设小时后污染物含量不超过，
则，解得，即至少经过29小时能达到排放标准.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数模型的应用，指数式的与对数式的互化.将指数式转化为对数式，可求出的范围，进而求出答案.
8．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：设，则为偶函数，
设，则因为在上均为增函数，
故，故，
故在上为增函数，且为偶函数.
又，则，
即，当且仅当时取等号.
故，故.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的单调性.先构造函数，根据复合函数的单调性可得：在上为增函数，且为偶函数.又知，可变形为：，进而可转化为：，结合偶函数性质可得出答案.
9．【答案】A,C,D
【知识点】余弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、在中，由余弦函数单调性可得，A正确；
B、若为钝角，为锐角，则，B错误；
C、，C正确；
D、，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查余弦函数的单调性，三角函数的诱导公式.对A，大前提在中，所以，根据余弦函数的单调性判断；对B，举反例为钝角，为锐角，判断正切值得符号可判断；对CD，根据三角形内角和为可表示出：，，再结合三角函数的诱导公式可判断.
10．【答案】B,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，，此时的值域为，故A错误，
B、当时，在上单调递增，所以，B正确，
C、当时，，，所以是偶函数，C正确，
D、当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误，
故答案为：BC.
【分析】本题考查幂函数的性质和函数的奇偶性.将代入解析式，根据反比例函数的性质可求出值域；将代入解析式，根据幂函数的单调性可判断出在上单调递增，当时，先求出和的解析式，再结合函数奇偶性的定义可进行判断.
11．【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，又最小正周期为，故，则，A错误；
B、，当时，，为正弦函数的单调递增区间，B正确；
C、，故不是的一个对称中心，C错误；
D、为偶函数，图像关于轴对称，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用降幂升角公式和辅助角公式将解析式化为：，利用最小正周期公式可求出；对B，由可得：，结合正弦函数的单调性可进行判断；对C，根据即可进行判断；对D，求出的解析式，再利用函数的奇偶性即可进行判断.
12．【答案】B,C
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，
C、因为，
所以，函数的图象关于直线对称，C正确；
D、因为，，故函数在上不单调，D错误；
B、因为函数的图象关于直线对称，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值即可，
设，
当时，，
令，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以，函数在上单调递增，
当时，，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由对称性可知，函数在上为减函数，
故函数在处取得最大值，且，
故函数在处取得最小值，且最小值为，
当时，则，则函数在上为减函数，
对任意的、，且，则，，
则，由不等式的基本性质可得，
即，所以，函数在上单调递减，
又因为当时，函数取得最大值，
故函数仅在处取得最大值，
对任意的，，，
若，则，
若，则，则，则，
所以，.
综上所述，对任意的，，
又因为函数在上单调递减，
故当时，在处取得最小值，
综上所述，函数既有最大值，也有最小值，B正确；
A、由C选项可知，函数仅在处取得最大值，
若函数是以为周期的周期函数，则，与题意矛盾，
故函数不可能是周期函数，A错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查函数的周期性，最值，对称性和单调性.利用诱导公式可将解析式化简为：，通过计算可知：，利用函数对称性的定义可判断出函数的图象关于直线对称；先判断函数在上的单调性，结合函数最值的定义可可求出函数的最值；利用特殊值法再区间取两个特殊值，计算函数值：，，故函数在上不单调，进而判断D选项；利用反证法：先设函数是以为周期的周期函数，再结合B选项中的结论：函数仅在处取得最大值，所以，推出矛盾，进而判断A选项.
13．【答案】＞
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：，故2对应的角度终边在第二象限，则；
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数符号的判断.因为，所以，故2对应的角度终边在第二象限，然后根据正弦函数在每个象限的符号分析可得出结论.
14．【答案】8
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以当，即时，取最大值，
所以时，取最大值，
又游客流量越大所需服务工作的人数越多，
所以时，游客流量最大．
故答案为：8.
【分析】本题考查余弦函数的性质.已知，可求出的范围，再根据余弦函数性质可得出：，取得最大值，解方程可求出最大值时的值.
15．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：令，由可得，
当时，由，即，则，即方程无解；
当时，由，可得或.
（1）当时，当时，由可得，
解得，，
当时，由可得，；
（2）当时，当时，由可得，
，方程无解，
当时，由可得，，
因此，方程的所有根之积为.
故答案为：.
【分析】本题考查分段函数的应用.采用换元法令，由可得，进而讨论当时，方程的根的情况；讨论当时，方程的根的情况，解得：或；再分段讨论或可求出方程的根，再将所有根全部相乘，可得出答案.
16．【答案】-2
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：根据题意，函数的定义域为，
因为的值域为，
所以在上恒成立，
当时，则，则，
此时必有，变形可得，
当时，则，则，
此时必有，变形可得，
综合可得：在上恒成立，
设，，
则，
因为，所以且，
由基本不等式可得，
即，所以，
因为在上恒成立，
所以，解得，
故实数的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.已知函数的值域为，故原问题可转化为：在上恒成立，通过分离常数可得：在上恒成立，令，利用基本不等式求出最值，进而求出K的最小值.
17．【答案】（1）解：结合题意可得：
（2）解：结合题意可得：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则化简求值.
（2）由指数幂的运算法则和完全平方和公式、立方差公式，从而化简求值.
（1）结合题意可得：
；
（2）结合题意可得：
.
18．【答案】（1）解：由题意，设．
，，
，或．
（2）解：，，
，即，，
设与的夹角为，则，
又因为，，与的夹角为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）设，再结合向量的模长的坐标求解公式，从而得出的值，进而得出向量的坐标.
（2）根据两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的运算法则得出的值，再根据数量积求向量的夹角公式和向量夹角的取值范围，从而得出与的夹角.
（1）由题意，设．
，，
，或．
（2），，
，即，．
设与的夹角为，则．
又，，与的夹角为．
19．【答案】（1）解：由题设可得，
所以，函数的最小正周期是，
由，可得，
所以，函数的对称轴方程为，
最小正周期为，对称轴方程为.
（2）解：由得，即，
因为，所以．
若，则与矛盾，
则，
从而得出，
于是
．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，再结合正弦型函数的对称性可得出函数的对称轴方程.
（2）由已知条件和函数的解析式，从而可求出的值，再利用和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而推出矛盾得出的取值范围，再结合同角三角函数的基本关系求出的值，最后由两角和的正弦公式可求得的值.
（1）解：由题设有，
所以，函数的最小正周期是，
由，可得，
所以，函数的对称轴方程为.
（2）解：由得，即，
因为，所以．
若，则与，矛盾
则．
从而．
于是
．
20．【答案】（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2）解：，
，
，，
，即时，，
因此，当时，的面积的最大值为．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）过，作的垂线，垂足分别为，，再结合三角函数的定义和，从而用表示出AB的长.
（2）由三角形的面积公式和辅助角公式，从而将三角形的面积转化为三角型函数，再结合角的取值范围和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的面积的最大值，并求此时角的大小．
（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2），
．
，，
，即时，，
因此，当时，面积的最大值为．
21．【答案】（1）解：当时，，
因为为减函数，为增函数，
故在上单调递减.
（2）当时，，
当且仅当时取等号，
所以，函数的值域为．
（3）解：令，
则问题等价于存在，，使得，
令，因为在有两个零点，
故，即，解得，
由韦达定理和根的定义可知：，，
，
又因为，故的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再根据函数的单调性判断方法，从而讨论出函数的单调性.
（2）根据a的值求出函数的解析式，再结合基本不等式求最值的方法得出函数的值域.
（3）令，则问题等价于存在，，使得，令，因为在有两个零点，再根据零点存在性定理和韦达定理以及a的取值范围，从而得出的取值范围．
（1）当时，，因为为减函数，为增函数，
故在上单调递减；
（2）当时，，当且仅当时取等号；
所以的值域为．
（3）令，则问题等价于存在，，使得
令，因为在有两个零点，
故，即解得．
由韦达定理和根的定义可知：，．
又因为，故的取值范围为．
22．【答案】（1）解：令，由可得，
所以，函数为偶函数，
又因为二次函数的最大值为，
可设，其中，
则，解得，
所以，.
（2）证明：因为，即，
所以，其中，
由，化简可得，
即，
令，
由判别式，可知在上有解，
①当时，，
此时；
②当时，，
此时；
③当时，的对称轴是，
因为，
，
，
由零点存在定理可知，
函数在区间、上各有一个零点，
不妨设函数在区间、内的零点分别为、，
此时，
综合①②③，成立．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义判断出函数的奇偶性，再结合二次函数的最值设出二次函数，从而代值得出实数a的值，进而得出函数的解析式.
（2）由可得，令，分、、三种情况讨论，在第一种和第二种情况下，直接验证即可；在第三种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合三种情况可证出成立.
（1）解：令，由可得，
所以，函数为偶函数，
又因为二次函数的最大值为，可设，其中，
则，解得，所以，.
（2）解：因为，即，所以，其中．
由，化简可得
即．
令，
由判别式，可知在上有解，
①当时，，此时；
②当时，，此时；
③当时，的对称轴是，
因为，
，
，
由零点存在定理可知，函数在区间、上各有一个零点，
不妨设函数在区间、内的零点分别为、，
此时．
综合①②③，成立．
