高二数学半期
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：，那么这组数据的上四分位数为（ ）
A．37.5 B．38 C．39 D．40
4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，
设，则x，y，z的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点,则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列结论错误的是（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线，则（ ）
A．若，则或 B． 若，则
C．若不经过第二象限，则 D． 点到直线的最大距离为
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．已知，，则点到直线的距离为
C．若对空间中任意一点有，则，，，四点共面
D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，G为面对角线
上一个动点，则下列选项中正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值．
B．无论点G在线段的什么位置，都有平面平面
C．线段存在G点，使平面平面．
D．G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为___________.
13．如图，已知二面角的大小为，已知A，B两点在棱上，
线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．
已知，，则的长度为________．
14．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个
正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面
体内部能容纳的最大的球半径是 ．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，.
(1)求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率；
(2)求三人中至少有一人获得决赛资格的概率.
16．（本小题满分15分）
某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三 四 五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的众数 平均数和分位数（分位数精确到0.1）；
(3)在第四 第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
17．（本小题满分15分）已知直线经过点，
(1)若点到直线的距离为，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程.
(3)直线与，轴的正半轴交于A，B两点，求的最小值．
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥．中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值：
(3)点为的四等分点（靠近），求直线与平面所成的角的余弦值．
19．（本小题满分17分）
如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．
(1)证明：；
(2)若点在棱上，且平面，求线段的长；
(3)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．高二半期数学参考答案
一、单项选择题：DBCC ACDC
二、多项选择题：9．BD 10．AC 11．ABD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解：（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，
由题意可知事件A、B相互独立.因为两轮选拔之间相互独立，
所以，.………………………………………………4分
则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：
所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率.……………………7分
（2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，则.…………………………9分
因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”
所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为
…………………13分
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为第三 四 五组的频率之和为0.7，
所以，解得，……………………………………2分
所以前两组的频率之和为，即，所以.…………4分
（2）众数为
平均数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为.………………………………8分
（3）第四 第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，
则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为，……………………………10分
则从这5人中选出2人，有共10种结果，…………………………………………………………………………………12分
两人来自不同组有共4种结果，……………………………14分
所以两人来自不同组的概率为.………………………………………………15分
17．（本小题满分15分）
解：（1）当直线斜率不存在时，，此时点到直线的距离1，符合要求；…2分
当直线斜率存在时，设，即，
则有，解得，故；
综上所述，直线的方程为或；………………………………………………5分
（2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线的方程为…………………………………7分
当直线在两坐标轴上截距不为0时，由已知设直线的方程，因为直线过点，所以，此时直线的方程为
综上所述，直线的方程为或；………………………………10分
（3）如图，设，则，，
即，
由，则，
故当时，有.………15分
18．解：（1）因为，，，所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面；……………………………………………………………………5分
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，令，则，即，
设平面的法向量为，，
由，令，则，，即，
则，
二面角的正弦值为； ……………………………11分
（3）由点为靠近点的的四等分点，故，
则，
又平面的法向量为，
故直线与平面所成的角的正弦值为：
，
即直线与平面所成的角的余弦值为.……………17分
19．（本小题满分17分）
解：（1）连接，因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面，因为平面，所以；……………5分
（2）取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，
所以，即，由于平面，以为原点，
分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，
设，则，，
，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，即，
由平面，则，即有，
解得，即；…………………………………………………………………11分
（3）假设点存在，设点的坐标为，其中，可得，
设平面的法向量，则，
令，即，所以，
又由平面的法向量为，所以，解得，
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即，
故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为.…………17分
