五校联考高三期中数学试卷
（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）
2024.11
一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.已知集合，，则______
2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______
3.曲线在点处的切线方程为______
4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______
5.二项式的展开式中，常数项为______
6.关于x的方程的解集为______
7.已知，，，则的最小值为______
8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺
9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______
10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为______
11.在中，a、b、c分别是A、B、C的对边，若，则______
12.若关于x的方程在上有两个不等的实根，则实数a的取值范围是______
二.选择题（本大题共4题，满分20分）
13.设，则是的（ ）条件
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
14.在中，，M为中点，，则（ ）
A. B. C.9 D.16
15.已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）
①；②的图象关于对称；③；④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）
A.当时，数列单调递减
B.当时，数列单调递增
C.当时，存在正整数，当时，
D.当时，存在正整数，当时，
三.解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X为其中达到90分及以上的学生的人数，求X的概率分布及数学期望.
18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.
（1）求函数的表达式；
（2）求关于x的不等式的解集.
19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E，F分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l.
（1）求证：直线平面；
（2）若直线l上存在一点Q（与B都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值.
21.已知函数的表达式为.
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：.
参考答案
一.填空题
1. 2. 3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.4048 10.
11.2023 12.
二.选择题
13.B 14.A 15.B 16.D
三.解答题
17.解：（1）
成绩在区间的比例为：；
成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；
因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；
（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，
，
则X的概率分布为：；
所以X的数学期望为.
18.解：
（1）当时，；当时，；
当时，，；
因此；
（2）当时，，因此有在上严格增；
而当时，因此有在上严格增；
原不等式可化为：；
而是定义在上的严格增函数，所以；
因此不等式的解集为.
19.解：（1）证明：
，平面平面，平面平面平面；
又E、F分别为、的中点，；平面；
（2），以C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过C垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
而，不在平面上，平面，
平面，，
设Q点坐标为，，，，即，则Q点坐标为；
设平面的法向量，
即，即，取，可得；
设平面法向量为，则，取，可得；
，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20.解：（1），则，
则曲线C是以和为焦点，4为长轴的椭圆；
设椭圆方程为，则，，，曲线；
（2）设，，
则，即；
为定值；
（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；
当直线l的斜率不存在时：设，
代入E中有，则
当直线l斜率存在时：设，，，
代入E的方程：，
则，；
；
而l与椭圆C有公共点，代入得：，由有，记，则，
综上，面积的最大值为.
21.解：（1）时，，则
令，则，则在上严格减，上严格增，
则，即在上严格增，
因此函数的增区间为；
（2），
记，则，
若，则，即时，
在上严格增，，满足要求；
若，则，时，
则在上严格减，故当时，，不满足要求；
若，则，在上严格减，
则，不满足要求；
综上，a的取值范围是.
（3）由（2）可知时，
则，取，
则，即；
，
即.
