2024年秋季八年级期中教学素质联合拓展活动
数学试题
满分150分，考试时间：120分钟．
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1．下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
5．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．15或18
7．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．有下列四个式子：①；②；③；
④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在中，，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且．若以A、P、Q为顶点的三角形与全等，则AP的长为（ )
A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不正确
10．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．实数的平方根是______．
12．已知等腰三角形的一个角是100°，则底角的度数是______．
13．一个长方形的面积为，若一边长为a，则与其相邻的另一边长为______．
14．分解因式：______．
15．已知，则______．
16．如图，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点．且，连接BF，CE，有下列说法：①和的面积相等；②；③；④，其中，正确的说法有______．（填序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题8分）计算：．
18．（本小题8分）先化简，再求值：，其中．
19，（本小题8分）如图，点A，F，C，D在同一直线上，．
求证：；
20．（本小题8分）阅读下面的材料，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数部分是1，小数部分是．请解答下列问题：
（1）的整数部分是______，小数部分是______．
（2）已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值．
21．（本小题8分）如图：某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）绿化的面积是多少平方米？（用a，b的代数式表示）
（2）若a，b满足时，且绿化成本为40元/m2，则完成绿化工程共需要多少元？
22．（本小题10分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形可分割，这条线段叫做这个三角形的分割线．
例如图1，从的顶点A引一条线段AD，若、都是等腰三角形，则可分割，线段AD即为的分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究．
（1）她发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，用尺规作图画出它们的分割线；（不写作法，但保留作图痕迹）
（2）她猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请证明：若不正确，请举一个反例．
23．（本小题10分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为acm的大正方形，2块是边长为bcm的小正方形，5块是长为acm，宽为bcm的相同的小长方形，且．
（1）观察图形，可以发现式子可以因式分解为______．
（2）若图中阴影部分的面积为242cm2，大长方形纸板的周长为78cm，求图中空白部分的面积．
24．（本小题12分）阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，∴，因此，代数式有最小值．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式的最小值为______．
（2）试比较与的大小关系，并说明理由；
（3）已知：，求代数式的值．
25．（本小题14分）如图，中，，若点E为射线CB上一动点，连接AE，将线段AE绕着点A逆时针旋转90°得到AF．
（1）如图1，当点E在线段CB上运动时，
①若，则______度（直接写出答案）；
②过F点作交AC于D点，求证：；
（2）当E点在射线CB上，连接BF与直线AC交于G点，若，求的值．
八年级数学期中试卷参考答案
【答案】
1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．C
8．C 9．C 10．A
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．解：；
18．解：原式，当时，原式．
19．证明：∵，
∴，即，在和中，
∴，∴
20．（1）2 （2）∵，∴的整数部分是3，∵a为的算术平方根，为的整数部分，∴，∵，∴．
21．解：（1）长方形面积：，正方形面积：，
∴绿化面积：，答：绿化的面积是平方米．
（2）∵，∴，∴时，∴，∵绿化成本为40元/m2，∴绿化成本为：（元），答：完成绿化工程共需要2520元．
22．解：（1）我选择图2（图3）作图如下：
则线段即为所求的分割线．
（2）猜想正确，理由如下：
在，作直角边AC的垂直平分线分别交直角边、斜边于E、D，连接，则CD是的分割线。
由垂直平分线性质得：，∴，是等腰三角形，∵在中，，∴，∵，∴，∴
∴是等腰三角形，故和都是等腰三角形，线段为的分割线。
23．【小题1】
【小题2】
解：∵阴影部分的面积为242cm2，大长方形的周长为78cm，∴，即，∴空白部分的面积为．答：图中空白部分的面积为120cm2．
24．解：（1）1；
（2）．
理由如下：
，∴；
（3），
．
25．解：（1）①．
②证明：由旋转知，又，
，在和中，
，
即；
（2）当点E在线段CB上时（如图2），
，在和中，
，
即，当点E在CB延长线上时，
过F作的延长线交于点D，如图3，，
，
由，（同上可证）
，
综上所述，当点在射线CB上时，的值为：或．
