保密★启用前
准考证号 姓名
（在此卷上答题无效）
部分中学2025届高中毕业班上学期期中质量检测
名辕联曼
MIX； MAO I.IAN MEXC
数学试题 2。2,
本试卷共4页,19小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
2 .作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
3 .非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂
改液.
4 .考试结束后，考生上交答题卡
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合4={-2,-1,0.1,2},5 =卜成＜2，＜8],则4口3 二
A. {-1,0,1} B. {0,1,2} C. {1,2,3} D.{-1,0,1,2}
2 .设m” R,则“/ >/”是今>3科的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3 .若复数z满足i（z - i”2 + i,贝!!团二
A. V1 B. 2 C. \/5 D. \/W
4,若直线y = s与曲线y = e"相切，则a =
A. 2 B. e C. 2e D. e2
5. 已知a,。均为锐角，若sin（Q+G） = ；,sin（a- ）Aa
1 tana 1 tana 一
A. tanatan^ = y B. tanatanp = 7 C. —=y D. ------ =7
tan^B
6 .已知孙y均为正实数，若％+ y=l,则竺山的最小值为
xy
A. 4 B. 9 C. 12 D. 14
7 .已知平面向量c,若|q|=|61=|a-61=|c-2a|=1,则6 c的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
8 .已知函数/（%） = （--Ge，）ln（%+l）的图象经过四个象限，则°的取值范围为
A.（0, e） B.（0, e-1） C.（4晓,e） D.（0,4e-2）
数学试题第1页（共4页）
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 . t己瞎差数歹乂册｝的前几项和为3,若30=922。= 20。，贝。
A. a1=1 B. ｛%｝是递增数列
C.当n=4时,民取得最小值 D.若S. > 0,则n的最小值为11
10 .已知函数/(%)=5抽2^ + ℃0§2”满足/(%)守
A. a = 1
cj(%)在区间
D.若函数〃九%)(人>0)在区间(0 5 2严)上恰有两个极值点，则入e
11 .已知函数/(%)的定义域为R,满足/(% + 丫)=/(%)/(1-0+/。)/(1-%),/(1)=1,则
2025
A./(0)=0 B./(x)=/(2-%) CJ(%)是偶函数 D. /(/c)=l
k=l
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 .已知数列｛册｝为等比数歹L若g产1,% = -]，则数列｛&[｝的前6项和为
13 .已知函数/G) = G-a)31n包的图象关于直线4= 1对称，则a + b= ▲.
14 .在平面四边形A5CD中，若48=4。=11。= 23。1。，8。,则4，的最大值为_4一
四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 . (13 分)
已知椭圆C：m+《=l(a>6>0)的右焦点为F(l,0),离心率为浮.
a 0 2
(1)求C的方程；
(2)已知点直线/过尸且与C交于A,B两点，若= 求，的方程。
16 . （15 分）
记A4BC的内角4,Z ,C的对边分别为叫鼠。,已知妇2空4二生吧 .
a c
(1)求 c;
⑵若丽 瓦=2④( 。，求△/!"面积的最大值.
17 .(15 分)
如图，三棱柱中，点儿在底面ABC的射影为0,ABUC，44=43=4,4C = 3,
40 = 2\/J,E是的中点.
⑴证明：。 〃平面羽 C;
⑵若直线45与平面班C所成角的正弦值为空，求三棱柱4BC-4BC的体积.
18 . (17 分)
已知函数/G)=ae…Tnx - 1
(1)当a = 0时,求函数FG)=f G)+%的最小值;
(2)若/(动》0,求国
(3)证明：/(%)+]#-(! ]20.
19 . (17 分)
若有穷数列4必,。2,…，册5 W N*#》2)满足:①01 = 1;②* -aj=q",则称人为Eq数列.
(1)已知4是当数列，写出2的所有可能值；
(2)已知人是段数列，对任意给定的心将%的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数
列黑｝ .
⑴证明:当一 3时，鼠｝是等差数列；
3)求鼠｝中所有项的和.
名校联盟
SCHOOL ALUANCE 资源共享 助推教育
部分中学2025届高中毕业班上学期期中质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B C A C D B D D
1. 答案: B
解析: B = {x|-l
解析: M > n o m > n , 3"' > 3" u> 加 > 〃，故选 C ,
3. 答案: A
解析: 复数z满足「(z-i) = 2 + i, WJz = —+ i = l-i,所以忖=产不了=后，故选4.
4. 答案: C
解析: y = 2e",设切点为PQoU，则在该点处的切线方程为> = 2e2Rx-x°) + e2”。，
2e2x0 = a
所以 A， X° = 2 ,故选。 解得
(l-2x0)e =0 a = 2e
5. 答案：D
7
sin a cos + cosasin B = sin a cos p
解析：依题意得 ;解得，
245
sin a cos p - cos a sin =—, cos a sin /3 16
24
IM1, sin a cos ;0 7 24 …tana _ n.
两式相比得----- ：—-= T7X~T 即 n = 7 ,故选D .
cos asm p 24 1 tan p
6. 答案：B
2x-y + 2 _2x-y + 2(x + y) _4x + y _(x + y)(4x + y) _ 4x +
解析: 乙+ 522
xy xy xy xy y x
4x y 1 2
当且仅当一=1,即％ = 时取等，故选5
y x 3
7. 答案：D
解析: 忖=w=卜一可=1,可得/_可=■"町=4 -2a-b +b )所以。 ' =』,
2
b - c = b -(c -2a + 2a)=坂 — 5-2小+1=2 ,故选D.
8. 答案：D
解析：/(x)图象经过四个象限，即x>0时，/")有止有负，xvO时，/(工)有止有负,
X-1
所以歹=一在(-1,0)和(0, +⑹均至少各有一个变号零点，
x2-aex =0oa = x2e~x,设9(工)=丫守,xg(-1, + oo), g'(x) =-x(x-2)e-'
当一 l
高三数学 第1页(共4页)
W
名校联盟
SCHOOL ALLIANCE 资源共享 助推教育
所以g⑺在(TO), (2,+8)上递减，(0,2)递增;
作出> = g(x)图象，由图可知， G(0,4e-2),故选Q.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全
部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
选项 BD ABD ABD
9 . 答案：BD
解析：. JOG； %。)= 20"+弓)=2oo ,所以勺=11,公差d = 2,故选项B正确;
又％o=q+9d,则％=-9,故选项A错误；
S“=叫+帅;)"="_1加,所以S5最小，故选项C错误；
S“>o,解得〃 >10,故选项D正确；
所以选BD.
10 .答案：ABD
解析：/(x) = sin2x + cos2x = V1 + <32 sin (2x+ q)), /(月可>11)，即几x (%) = /(；
即71==也+也q,解得。=1,故选项A正确；
2 2
小)的对称中心为[为。兀,O]X Z,取々 = -2,即为,*o],故选项B正确;
当、v2x + ：v~^,即■时，/(%)单调递减, 故选项C错误；
/(2x) = sin^22x + ^ ,设 / = 22x + ~e (卞2力兀+ ， 3 71 5兀
由，= sm/图象可知, 2^71+ — G
4 TST
<5 9-
即久 ，选项D正确；
6_
所以选430.
11 答案：ABD
7T
解析：解法1：函数模型/(x) = sin]x满足条件；
解法 2：令 x = y = 0,得/(0)=〃0)，⑴+ /(0)/(1),即"0) = 0,故选项 A 正确;
令7 = 1,得小 + 1) = /("(0)+ 〃1)〃1)=〃~),即/(x) = 〃2 — x),故选项 B 正确
令-1,则 /(y—l)=〃T/)—y) + /(y)〃2),又 〃2)= 40) = 0
所以/。-1)=/(一1)/。一)),即
再令 X = l,得 = 1),即 〃一1) = ±1
若〃—1) = 1,则/⑴为偶函数，取x = —；T，得〃0)=d_』出+ /4W
又/4=/4=小沙则呜2即心血
取 得 与/。)=1 矛盾，
所以/(T) = T,此时〃 x) = 〃-l)〃T)= -/(T)，即〃 X)是奇函数故选项C错误；
高三数学 第2页(共4页)
更警然震 资源共享 助推教育
所以/（x） = -〃t） = -/（x+2）,所以7（x + 4）= _/（2 + x） = 〃x）,故/（x）周期为 4,
"1） = 1, /（2）= /（0）= 0, /（3）=/（-1）= -/（1） = -1, /（4）= 0,
2025 4
所以八轨一3）+ 〃软一2）+ /（4/一1）+/（较）=0, 2/仕）=506 /优）+ /（1） = 1 ,
k=l k=l
故选项D正确；所以选4BQ.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案：黑
32
i .[1Y
解析：公比9=-；,所以㈤=/r，则数列｛同|｝的前6项和为 （2）二包.
2 2 j_l 32
2
13..答案：-1
解析：/⑴定义域为｛小（工+ 6）＞0｝关于x = l对称，所以6 = -2,则/（x） = （x-〃）％g,
依题意 /(x) = /(2-x), (x-df)3ln^-^-=(2-x-^)3ln—^-=-(2-x-6z/ln ---,
X 2 —X X
所以(x-a)3 =—(2 — x-a)3 = (x + a — 2)3 ,所以一 o = a — 2,即 〃 =1,所以 ° + 方=一1.
14.答案：2 +6/，9 + 46
解析：设 ZABD = 6 ,贝！]BZ) = 2cos(9, BC = 4cos6>,
△XBC中，余弦定理可得2。2=胡2+BO —23N-8C.cosZz4BC ,
即 AC2 =1 + 16cos2-8cos6^cos+ |^ = 8cos26> + 9 + 4sin26> = 4^sin 0。+ 夕)+9尊 + 4
所以 4。*9 + 4指= 2 + 5
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15解：（1）依题意得c = l, ...............................................................................................................................1分
Xe = - = —,贝"后，b2=a2-c2 = 2-l = lf ...................................................................................3 分
a 2
所以。的方程为1V~2 + V=1； ....................................................................................................................... 4分
（2）已知网L。）,
①当直线/斜率不存在时，显然不满足条件，舍去；........................................5分
②当直线/斜率存在时，设直线的方程为y =左（工-1） , 4（4乂），B（x2,j/2）,
y = k(x-l),
联立直线与椭圆方程 x2 , 化简得(1 + 2k2)x2 - 4k2》+ 2/ - 2 = 0
y+r = 1
、乙
A = 8(^ 4k22+l)>0 2k2 -2…:由中2 7分1 + 28
4左 2 一2〃
y. +y. =k(x. +x.)-2k = k----------- 2k =----------
1 2 1 2 1+28 1+2/
(2 ”2 -k 、
所以48的中点坐标为G 丁r,不R , ............................................... 8分
k J. + J
当％ = 0时，满足条件，此时48的中垂线为x = 0 , ................................................................................9分
当々W0时，\MA\ = \MB\,得到MG所在的直线与直线/垂直，
-k 1
].r\ i2 q _3k — 1 — 2k2 —] i
kMG=1^ --=----- 771-------=不，整理得28—3次+ 1 = 0 ,解得々=1或上=彳，.......... 12分
乙 K C O K 2
-----------；—U
1 + 2F
综上，直线/的方程为y = °或%一y-1 = o或x-2〉— 1 = 0,… 1 , , .................. 13分
高三数学 第3页（共4页）
w
名校联盟
SCHOOL ALLIANCE 资源共享 助推教育
16.解：(1)解法1：
2
分
由正弦定理得：csinB =2sin4cosc+ 2sinCcos4 = 2sm(4+ C),
又因为 4 + 3 + C = ，sm(4 + C) =sinB , ......................................... 4 分
5
所以csinB = 2sinB ,又因为sinBwO, ............................................. 分
6
所以c = 2.................................................................................................... 分
解法2：
,b2+c2-a2 a2+b2-c2
由余弦定理可得" 最一，一 7 ，-.............. 2 分
a c
八—/日 仅 2+。2_储)(a2+b2_c2\ 5
化简可得 --------- -------------』即bc = , ............... 分
b b
6
所以c = 2. .................................................................................................... 分
(2)解法1：
7
BA - BC = 2CA CB o c cosB = 2b cosC，............................................. 分
8
ccosB =2bcosC o sin Ceos B = 2sinBcosC , .................................... 分
所以 3sinCcosB =2sinBcosC + 2sinCcosB =2sin {B +C )=2sinZ , 0 分
1
由正弦定理可得3ccosB = 2。，............................... 分
2
所以 a = 3cosB,....................................................................................... 分
S = —acsinB = 3sinBcosB = —sin2B^—,当 5=工时取等 . 5分
2 2 2 4 '
解法2：
7
BA BC = 2CA -CB <=>c cosB = 2b cosC ， ......................................... 分
c cos B_ = 2_.b cos C 人 - — T-m―i-/pq a~ + c~ — b~ 2a~ + 2Z " - 2c , 余弦定理可得--------- =------------
2a
9
即 〃 + 3b2 = 3c2 =12 ..................................... , , ............ " ■ , 分
由余弦定理可得储=/ +。2 -奶ccos4 = 62 +4-4bcos4 ,
贝！J有 12 = a1 + 3b2 =4Z>2 + 4 — 4bcos4，
化简可得-bcos4 = 2 ,
即 cos4 = J^ 2
分
b
所以 S = —bc sin A = 6sin4 = b y/-b4 + 5b2-4 ,
2
当/=:时，Sa 3
15分
2
解法3：
7
BA - BC = 2CA -CB。c cosB = 2b cosC， 分
_ _7 * > -rtg—rZH / +。2 —b2 2a2 + 2Z>2 — 2c2
ccosB = 2bcosC , 余弦定理可得--------- =------------- ,
2a a
即 a2 + 3b2 = 3c2 -12 ,
由余弦定理可得从=储+。2 -2accosB = a2 +4-4 cosB ,
贝!］有 12 =储+3" =4储+12-12icos3，
2
化简可得a = 3cos3,........................................................................................ 分
所以 S = LcsinB = asinB = 3sinBcosB = -sin2B^-,当 B =工时取等 5分
2 2 2 4
解法4：
7
BA *BC = 2CA CB o c cosB = 2b cosC，........................... 分
T _r/H ci~ + c~ - b~ 2cr + 2Z _ _ 2c~
c cos B = 2b cos C , 余弦定理可得--------- =-------------
2a a
高三数学 第4页(共4页)
00
名校联盟
SCHOOL ALLIANCE 资源共享 助推教育
即 a2 + 3b2 = 3c2 = 12 ,.................................................. ........................................................... 9 分
如图过点C作底边48的高CO,不妨设4D=l + d, BD = \-d , CD = h,
则有62=(1 + /)2+为2,储二(1一")2+用2,
贝IJ3/ + 储=3(1 + J)2 + 3/ +(1-dy +h2 =12 ,
1 9
整理可得〃 2+(4 +万)2=1,
9 3 1
所以力2忘了，即〃W7,当且仅当d = -时取等，
4 2 2
1 3
则有S = —c 〃W— .................................................................................... ..................................................... 15分
2 2
解法5：
BA BC = 2CA CB。c cosB = 2b cosC ， ................................................................................... ...........7 分
ccosB = 2bcosC , 余弦定理可得--------- =------------- ，
2a a
即/+3/=3c2=12 , ...................................................................................................................................... 9 分
所以 S =,而sin。= Lb Jl-cos2。=—ApV -(" — —)2
2 2 2 \ 2
a2 =12-3b2 代入化简可得 S = J—/+ 5^ — 4，
5 Sa=；3当时， ..................................................................................................... ......................... 15分
解法6：
BC = 2G4 CB o ccosB = 2Z)cosC.......................................................................................................... 7 分
正弦定理可得 sin Ceos 3 =2sinBcosC 即 tanC = 2 tan B..................................... ....................................8 分
易知B,。均为锐角，如图，做边BC上的高4D,则有50+402 =奶2 = 4
则 tanC = 2tanBn 助= 2CD , ....................................................................................4............................ 11 分
则也c 彳产丁。； 3，
当且仅当BD = 4D ,即5 =工时取等.....................@...... D............C.............15分
解法7：
BA BC = 2CA CB <=> c cosB = 2b cosC， ...................................................................................................... 7 分
ccosB =2Z>cosC ,正弦定理可得sinCcosB =2sinBcosC 即 tanC = 2tan无，................. 8 分
b _ c on 2sin4
由正弦定理可得或 即 q =---
--7, b2 =si-n--B-- ----
sin B sin C sin C sin C
1 . 2sin4sinB
8 = —ab =----------------
2 sinC
2 sin A sin B
sin(4 + B)
_ 2sin4sin5
sin A cos B + sin 4 cos B
2 tan 力 tan B
tan A + tan B
tan B + tan C 3tanJ5
又 tan 4 = -tan(B + C)=
tanBtanC -1 2tan2B-l
2c x__3__ t_a_n_2_ _B__
则5= 2嗽 B—1 . 6t：n6 w^ =g.,当^ =工时取等.......................... 15 分
---3--t-a1-n-B--- --+ tan B 2 tan" B + 2 4tanB 2 4
2tan2B-l
17. (1)证明：连接3。并延长交ZC于点。，连接。4、D4,
依题意4。，平面4BC , Z0,B0u平面48C ,
高三数学 第5页（共4页）
名校联盟
SCHOOL ALLIANCE 资源共享 助推教育
所以 40_LZ。、Afi V BO , ...................... 1分
又44 = 4#,所以△404 二 A40B,即 02 = 05,所以 NCUB = N034,
又 AB_L4C,即 NB4C = 90。，所以 N043 + N0AD = 90。，Z0BA + Z0DA = 90° ,
所以 Z0DA = ZOAD ,
所以40 =。。，即49=。。=。3,所以。为3。的中点，............ /.卜夫二…4分
又石为43的中点，所以0片/例刀，................................. …/… …5分
又。石■平面 441c0 , 4。u 平面 441co， 入/ /
所以 OEH 平面 AA.C.C ................................................................................ ......................................................6 分
(2)过点4作Nz//04，如图建立空间直角坐标系4-手，........法七二............ 7分
以 OB = CM =7AA： 一402 = 2 ,设48 = 2a,4D = 2b ,则有"+/=4, .......................................... 8 分
0(〃也0), B(2a,0,0), 4卜也2月)，C(0,3,0), ,
则 =1万,万,百)，AB = (2tz,0,0), AC =(0,3,0), ........................................................................... 9 分
设平面4EC的法向量为〃 = (x,y,z),
,n - AE = —x + —y + y/3z = 0,A t 厂 厂广 / 厂 \ 、
则 J _ 2 2 令 x = 2,贝i」y=0, z = Ya，所以 〃 =(2,0,-扃)， 11 分
n - AC = 3y = 0,
所以 cos(6,43)= -^^— =——, ..................................................................................................... 13 分
' 'J4 + 3/2。 5
解得。=0，AB = 2a/2，......................................................................................... 14 分
所以三棱柱ABC 一4用6的体积P 二|4。| S*. = 2抬'x 3 x 26=6々； 15分
(2)过点片作跳7/。4交于点F，则跖_L平面45。
又 ZCu 平面 4BC, EF LAC ,
过户点作质〃AB交4c于点H,则FH LZC,
又后尸，用u平面BFH , EFRFH =F ,
所以4C_L平面班H,又即u平面跖H,
所以4c ,
BE BF 1 1 HF DF 3
因为丽=访，所以昉=产=产，则/=而R
3
设= 则//F = ：a, HE = + 3 ， 8分
4
设点B到平面ACE的高为h，
则直线45与平面反4。所成角的正弦值为」乙=巫，即〃=巫
…TO分
AB
所以 Vbace = ghS/HE =1g 3彳 3=3 11分
14分
所以三棱柱4BC-43c的体积厂二|4。的必=2抬\33、2& = 6痣 ..................... 15分
18. 解：(1)当 Q = 0 时，F(x) = /(x) + x = x-lnx-l, xg(0,+co),
高三数学 第6页(共4页)
资源共享 助推教育
1 V -1
则 F(x)=l ——=— ，..................................................................................................................................1 分
X X
当 0
所以产(X)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增，..................................... 3分
所以小(工)=尸(1) = 0; ...................................................................................................................................4分
(2)解法 1： f\x) = aex-a-^-f 工 (0,+8),
①当。=0时，/(1) = -1<0 , 舍去； .....................................................5分
②当〃>0时，f\x) = aex-a + ^>0y即/(%)在(0,+oo)单调递增，
由(1)可得x — 121nx,即所以尸(x)=流i—二4―乂、— L
x e x e x
所以广⑴二优 —9。，/'(x) = t7e^-- = —ex--=^2~ertl ,
x efl x ca x ca x
所以/:杉)>o,所以训e(L+8)使得/(4) = 0,即..................... 8分
所以当 0
即/(X)在(0,4)上单调递减，在(鼻,+8)上单调递增；
所以几G) = /(%) = aeS-lnXo-l='-lnXo-lR , ........... ............. ...................................9 分
xo
显然》=---山5-1单调递减，且％ =1时，，y = 0
Xo
所以L-lnx。-12。，解得0%
_ 1 ea
又 Qe*° “ =—,即 一 =x0eXo g(0,e],
xo a
所以 e"TWa,即aWlno + 1 由(1)得 a21na + l,所以4 = lno + l,此时，a = \
综上。=1.......................................................................................................................................................... 12分
解法 2： 4x)20oae-“，(lnx + l)eT , .................................................................................................... 5 分
设加(％) = (lnx +l)e-“，xe(0,+oo), 7w*(x) = ^―-Inx-l^je x
易得Mx) = ：_lnx_l在(0,内)单调递减，且"(1) = 0, ......................................................................... 7分
所以当 Ovxvl,时相'(x)>0,当 x>l 时，M(x)vO,
即加(%)在(0,1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减；
所以加|弧(工)=^^1) = -，即优-"，葭， ............................................... 10分
即 a2e所1,即 In a^a —1,
又由(1)可知由(1)可得Q-lNlna,则Q-l = lna,
止匕时 a = L,, ........................................................................................................................ .......... ................ 12 分
(3)①当〃 =0时，由(1)可得/(%)+ %>0,成立；.................................... 13分
②当o>0时，
当X2。时，
f (x) + |x-tz| = aex~a - \nx + x-a-l = a (e…-1)+ (x- lnx-1),
由(])知x,lnx + ],则/(工)+ ,_4》〃(0。_1)20 ； ........................................................... 15 分
当 xvq 时,f (x) + |x - | = aex~a - ]nx + a-x -1 = ex~a+lna - lnx + a- x-1 ,
由(1)知 x2lnx + l,即 e 支2x + 1,所以 ei+maex - a + InQ + l，
高三数学 第7页(共4页)
S慢u凭替热 资源共享 助推教育
贝！J /(x) + |x - | -a + ]na + l-lnx + a - x -l=]na-]nx > 0 ；
综上所述，/(x) + |x-df|^O............................................................................................................................17 分
19.解：(1) \ak+1-ak\=lf 设 4+1-4=绘，与 w{—U},
所以 / =4 + % -4 + …+。4 一%=1+4 +e2 + ，
对外,k = 1,2,3,中1的个数进行分类，
可得见 {—2,0,2,4}............................................................................................................................................. 5 分
(2)① |4厂*=2〃，设〃"
所以 4 = q + & - q _*---- 卜 ％ _ aHl = 1+ 4 2]+ a 2 4----- F6“」2”1 ,
不妨假设(q)，(q)是可中的所有可能中的任意两个，
假设(q)=l + “2+a2 + ... + 2 2\(4)=1 + %2'以22 + ,一 + 以2\
不妨假设4=小…也应也一产吼，
所以(q)—(q) =(1+22+22 +…+葭2埼—(1+02+〃？+， +如？』)，
不妨假设忆尸1也t=t,则
(aJ — (q) 2(1 - 2】一 2z------- 2k-2 + 2M)- (1+ 21 + 22 + + 2^ - 2口),
=(―+3 + 21)—Qi — 1-21)=4 .........................................................................................8 分
即为 =1+4>+222+ .. + 4_21中的2鹏种表示中，其取值互不相等，.......................9分
即数列｛c,J中共有2心项，
易得 R =1 — 2 — 22-------2”t = —2" + 3 ,
c 2 -1, =1 + 2 + 2 +…+ 21=2”-17 ,
所以-4 = 2H+1 -4 . .................................... ............................................................... .. .................. ........ 11 分
又%T 一6 =c*T —+c2T 一。2”一1 十 …+02 一。1 24+ 4+ -+ 4= 4x(2H-1- 1)= 2H+1- 4 ,
所以｛%｝中= 4恒成立，......................................................... 13分
所以｛c,J是以q=-2"+3为首项，4为公差的等差数列；................................. 14分
②当〃 =2时，匕”｝只有两项，分别为—1,3,故和为2, .....................................................................15分
当"23,由①可得，其所有和为：2"T(G+%-J = 2"t，
综上，｛或｝中的所有项的和为2"，.............................................................................................................. 17分
解法2：
(2)①当〃 =3时，q的所有可能取值为7,-1,3,-5,
所以数列｛5｝共四项，为-5,-1,3,7,
所以｛曦｝构成以-5为首项，4为公差的等差数列，且共有4项；
猜测对于〃三3, ｛嗫｝构成以1一2-2 — 2^=3-2"为首项，4为公差的等差数列，
且共有2鹏项；.........................................................................7分
下用数学归纳法证明：
当力=3时，显然成立；
假设当〃二人 上 23 时成立，即&e｛4 = 3 — 2、4(J — l)J = 123「 ,2i｝；
当〃=后 +1 时，Lx - ％ | = 2”,
所以为 ｛4 = 3 —2、4。—1) + 2 — + W — D — ,
记 4 = ｛4= 3 — 2# + 4(J — l) + 2；J = L2,3, qi｝ & = ｛4=3-2"+ 4(j — 1)-21 = 1,2,3, ，
下证明4nB = 0.
4中的最小元素为3_2"+2"=3，5中的最大元素为3-2无+4(2修-1)-2=-1，
所以4U3共有2后个元素，即｛%｝共有2 项，
显然4中的元素从小到大排列构成以3为首项4为公差的等差数列，共21项，
高三数学 第8页(共4页)
— —4 MU.
SCHOOL ALLIANCE 资源共享 助推教育
3中的元素从小到大排列构成以3-》为首项，-1为末项，4为公差的等差数列，共项,
所以4UB元素从小到大排列构成以3-2'为首项，4为公差的等差数列，共于项，
即当勿=左+ 1时，｛5｝构成以3-2%为首项，4为公差的等差数列，且共有》项，假设成立;
综上，当“23, ｛5｝构成以3-2〃为首项，4为公差的等差数列，且共有2收项........... 14分
②对任意= 1 + "2+髭2 +…+叽2"」,
都存在=1-42-22 + 一/"」与之对应，则（q）+（%）=2,
即何｝中任意一项c ,都存在另外一项J使得c*j=2,
又匕“｝共有项，则其所有和为= … ............. ..................... 17分
高三数学 第9页（共4页）
