第二章 《直线与圆的位置关系》精选训练题
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短．
【详解】连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短；
又 ，，
，
，
的最小值 ．
故选B．
2．如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理和全等三角形的性质，根据切线性质，，可知，再根据为切线可知 ．
【详解】解：由题意得，连接、、，
由切线性质得，，，，，，
∴
又，
，，
，，
，
，
，
．
故选：A．
3．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可．
【详解】解：连接，
∵分别与圆O相切于A、B两点，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
4．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长到，使，连接，
是的内心，
，，
，，，
，
，
，
∴，
∵，
，
∵，，
，
，
，即点为的中点，
，
是的中位线，
，
故选：C．
5．如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．首先连接，，，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接，，，
∵在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，
∴，，
∵是的切线，
∴；
根据勾股定理知，
∵为定值，
∴当的值最小时，的值最小，当的值最大时，的值最长，
∴当时，线段最小，当与点重合时，线段最长，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴，
∴线段最小值，线段最大值．
∴，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
6．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，解直角三角形，设旋转后与相切于点D，连接，根据切线的性质和三角函数，求出，再分点D在射线上方和下方两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：如图，设旋转后与相切于点D，连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴当点D在射线上方时，，
当点D在射线下方时，，
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ）
A．7 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
【详解】解：连接．
∵是O的切线，
∴，
根据勾股定理知，
∵当时，线段最短，
又∵、，
∴，
∴，是的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．如图，，为射线上点，以点为圆心，长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转，旋转角为当射线与相切时，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】切线的性质和旋转的性质，设旋转后与相切于点，连接，则可求得，再利用角的和差可求得的度数．
【详解】如图，设旋转后与相切于点，连接，设与与交于点，连接，
，即，
，
∴
∴是等边三角形，
则
又∵，
，
当点在射线上方时，
，
当点在射线下方时，同理可得
，
故选：C．
9．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心、三角形面积，设内切圆的半径为，切点分别为、、，连接、、、、、，则，得出，即可得出结果．
【详解】解：设内切圆的圆心为，半径为，切点分别为、、，，，，
连接、、、、、，如图所示：
则，
∵三角形的三边长分别为3，4，5，，
∴为直角三角形，
，
，
即，
解得：，
故选：C．
10．已知：如图，E是相交两圆和的一个交点，且，为外公切线，切点分别为A，B连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线进行角之间的转化，本题需先连接，，可得；结合，可得，所以进一步推导得，则，利用三角形内角和可得的值．
【详解】解：连接，，延长与交于点H，连接，
∴，
∴，
∵为外公切线，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
11．如图，点是上两点，连接并延长交切线于点，连接、、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由切线的性质得，求出，再由等边对等角得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解： 切于，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
12．如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，
∵点I为的内心，
∴以为半径的圆I是的内切圆，
∴，，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
13．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，求出，进而求出的长，的长度即的最小值．此时最小，且等于的长．连接，，，利用垂径定理，得出，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长．
连接，，，
，
，
是弧的中点，
，
，
由轴对称可知，，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，确定点的位置是本题的关键．
14．如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案．本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键．
【详解】解：连接，，，，，．
根据题意可知，且，，，
∵
∴
∴是直角三角形
∴
∴，
即，
解得．
设，
则，，，得，
解得，
．
在中，，
，，
是的垂直平分线，
．
，
即，
解得，
．
故选：C．
15．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E，
连接，则，，
又∵，
∴此时．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴，
∴，
∴直线要和圆相交，则．
故选D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径是 步．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，在，三边长为a，b，c（斜边），如果内切圆半径为r，由面积法可得,熟记公式是解题的关键．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后根据等面积法即可确定出内切圆半径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为，
设该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径为r，
则，
解得
即该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径是3步．
故答案为：3．
17．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：与切于，
，
由题意可知：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为边中点，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
18．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出斜边上的高，可知当时，所作的圆与斜边相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
过点作，则，
即，
解得，
当时，所作的圆与斜边相切，
∴当时，所作的圆与斜边有两个公共点，
故答案为：．
19．如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质．首先根据平行线的性质和，可证，，根据可证，，从而可证，根据可知点在以中点为圆心以为直径的圆上，且当与相切时最大，根据勾股定理求出的长度，从而得到此时的值．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
于点，
，
点在以中点为圆心以为直径的圆上，
如下图所示，
以点的中点为圆心，线段为半径作，
当与相切时最大，
设的半径为，
则有，，
，，
在中，，
．
故答案为： ．
20．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，且与点O的距离为，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切．
【答案】4
【分析】本题考查了切线的性质，角所对直角边是斜边的一半，由的圆心在射线上，根据题画出图形，再根据切线的性质和角所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵的圆心在射线上，
∴如图，当移动到与直线相切于点，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
此时，
故答案为：．
21．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】此题考查了圆与直线的位置关系、反比例函数图象的位置关系的一道综合题，熟练运用分类讨论的思想和准确把握动圆与坐标轴相切时点P的坐标特征是解此题的关键．分两种情况进行讨论：与x轴相切或与y轴相切，分别求解即可．
【详解】解：∵与坐标轴相切，
∴分两种情况讨论：
①当与x轴相切时，
则点P的纵坐标为2，
∴
，
∴点P的坐标为．
②与y轴相切时，
则点P的横坐标为2，
∴
∴
∴点P的坐标为，
综上，点P的坐标为：或，
故答案为：或．
22．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足为交于此时垂线段最短，最小值为求出当与B重合时，的延长线与交于点 最大值．
本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定的最小值与最大值的位置．
【详解】解： 中，，
设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足，交于连接，延长与相交于点F，过F作于点G，如图1， 此时垂线段最短，最小值为，则四边形为矩形，平分
．
设则
由勾股定理得，
解得：
即
如图2，当与B重合时，连接，延长与交于点
此时为最大值，
，
∴的最大值与最小值的和为：
，
故答案为：．
23．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴半径的长为6，
故答案为：．
三、解答题
24．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等，掌握切线的判定方法及弧长的计算公式是解题的关键．
（1）连接，由，可得，进而可得，结合可证，即可得出是的切线；
（2）由，可得，设，则，结合，在中，由三角形内角和定理列式计算出，再根据弧长公式求解．
【详解】（1）证明：连接，
如图所示：
∵，
∴是等腰三角形，
∴ ，
在中，∵，
∴，
由①②得：，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长度．
25．在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由的平分线交于点，得，进而得到，即，根据的等边对等角得到证明结论；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，即可求出，然后利用勾股定理求出半径长．
【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴，
∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵为直径，
∴为切线；
（2）解：连接，
∵
∴
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴在中
∴
半径为．
【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
26．“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．
(1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）；
(2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使，
①猜想与的位置关系并证明；
②点C到的距离为________（结果保留根号）；
(3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答；
（2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出．
②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答；
（3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：当时，三点在一条直线上，
∵直径，
，
∵为等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①．
∵半圆与相切于点，
，
∵半圆的中点为点，
，
∵，
，
∵为等边三角形，
，
，
，
．
②过点作于点于点，如图，
，
，
，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∴点到桌面的距离为，
故答案为：．
（3）解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为．
∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动，
∴滚动过程中始终与桌面相切，
∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径，
∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，
由（2）①知：，
∴圆心移动的距离．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
27．如图，在四边形中，，的外接圆交于点E．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若E是的中点，且，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定、垂径定理、三角函数及圆周角定理，熟练掌握切线的判定、垂径定理、三角函数及圆周角定理是解题的关键；
（1）过点A作于点F，由题意易得过圆心O，则有，然后问题可求证；
（2）连接，交于点H，由题意易得，，，则可求出半径为5，然后根据圆周角定理及三角函数可进行求解．
【详解】（1）证明：过点A作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴过圆心O，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，交于点H，如图所示：
∵E是的中点，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
解得：，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，．
(1)求的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)连接，过点E作于点H，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角即可求解；
（2）如图，连接，，由圆周角定理得，再由，，得，，进而求得，即可证明结论；
（3）先证是等腰直角三角形，得，由勾股定理求得，结合，得，可得，，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴．
∵是的平分线，
∴．
（2）证明：如图，连接，．
∵，
∴
∵，，
∴，，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
在中，．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
29．如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径长．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】
（1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得；
（2）连接，由题意可得，即可证，可得，则可证是的切线；
（3）过点作于点，由角平分线的性质可得，可证可得，根据勾股定理可求的半径长．
【详解】（1）
证明：连接
，
，，
四边形是圆内接四边形，
，且，
；
（2）
证明：连接
为直径，
，
又，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（3）
解：过点作于点，
又，，
，
在和中，
(AAS)，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，，
的半径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
30．【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）
【答案】（1）见解析
（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米
（3）
【分析】（1）由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此视角最大，站在此处观赏最理想；
（2）连接，，，，作于点，利用圆周角定理得到，证明为等边三角形，推出米，结合等边三角形性质得到米，再证明四边形为矩形，利用矩形的性质求解，即可解题；
（3）根据等腰三角形性质结合题意得到，由（2）同理可知，四边形为矩形，结合矩形性质得到，再结合勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：（1），
，
，
，
视角最大，站在此处观赏最理想．
（2）连接，，，，作于点，
由题知，米，，
，
，
为等边三角形，
米，
，
米，
，
四边形为矩形，
米，
米，
距地面的距离为（米)，
即点C距地面的距离为1.2米．
（3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，
米，
，，
米，
米，
由（2）同理可知，四边形为矩形，
米，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理．
31．如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，求的半径和的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为5，的长为2
【分析】（1）连接，根据已知条件证明即可解决问题；
（2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
又，
，
，
平分；
（2）解：如图，取中点，连接，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
∴的长是．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握切线的性质．
32．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N．
(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；
（2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
为的中点，是中点，
，
是的直径，
，
，
∵，
，
又
，
，
是切线
，
，
，
是切线；
（2）如图所示，当点在上时，连接，交于点，
，
，
，
，
直径，
，
∴，
，
；
当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点，
四边形是矩形，
在中，，
∵，
∴，
，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
33．如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线；
（2）由勾股定理得，而，，所以，求得，则，如图，过点E作交于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
解得，
∴
如图，过点E作交于点F，
∴在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
在中， ，
∴，
∴（负值舍去），
∴的长是．
【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理，三角形的面积等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
34．如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)t为何值时，四边形为矩形？
(2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？
(3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）四边形为矩形，也就是，分别用含t的代数式表示，列方程求解即可；
（2）利用切线的性质定理以及勾股定理得出，进而求出即可；
（3）主要考虑有四种情况，一种是P在上；一种是P在上时．一种是P在上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
根据题意，当时，四边形为矩形．
此时：，
解得．
答：t为时，四边形为矩形；
（2）解：如图所示：当切圆于点E，过点Q作于点F，
，
则，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）或
故t为时，直线与以为直径的圆相切；
（3）解：当时，与外切．
①如果点P在上运动．如图3
只有当四边形为矩形时，．
由（1）得；
②如果点P在上运动，如图
此时，则，，
∴与外离；
③如果点P在上运动，且点P在点Q的右侧，如图．
可得，，当时，与外切．
此时，，
解得；
④如果点P在上运动，且点P在点Q的左侧，如图．
当时，与外切．
此时，，
解得 ，
∵点P从A开始沿折线移动到D需要，点Q从C开始沿边移动到D需要，而，
∴当t为，，时，与外切．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，矩形的判定与性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
35．如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点，的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）令求得点的横坐标即可解答；
（）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点作轴，垂足为，可得；由题意可得，从而求解；
本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：令，则，解得，，
∴，；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
设，
∵，
∴，
如图，连接，则，过点作轴，垂足为，
∴，
∴由勾股定理得：，
即以切线长为边长的正方形的面积为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
36．如图，抛物线交x轴于和B两点，交y轴于点．
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)直线与抛物线交于两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，求m的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)或1或
【分析】此题是二次函数的综合题，主要考查了切线的性质，用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与一次函数的关系．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解，要注意分类讨论，不要丢解．
（1）将A，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可；
（2）分为①当以为直径的圆和x轴相切时，②当点A或B在直线上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①当以为直径的圆和x轴相切时，符合题设条件，
设的中点为点S，则轴，
设点的横坐标为，联立与，
即，
则，
由直线的解析式知，其与x轴的夹角为，
则，
点S的横坐标为，
∴点S的坐标为，
，则，
即，解得；
②当点A或B在直线上时，也符合题设条件，
将点代入，
得或，解得或．
综上，或1或．
37．【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长；
【答案】（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；
【详解】解：如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
38．如图，在中，以点为圆心，长为半径作，分别交，于点，，的延长线交于点，连接，，已知是的切线．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和弧长公式．
（1）连接，如图，根据切线的性质得到，再证明，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）由得到，再根据平行四边形的性质得到，，，接着证明，则利用得到，然后求出的度数后用弧长公式计算．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的切线，
，
四边形为平行四边形，
∴，
，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∴的长度．
39．如图，，，点C在y轴的正半轴上，，．．点P从点出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)以点P为圆心，为半径的随点P的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【答案】(1)
(2)1或4或5.6．
【分析】（1）由，为直角，得到为等腰直角三角形，又，利用等腰直角三角形的性质知，然后由点在轴的正半轴可以确定点的坐标；
（2）分三种情况考虑：①当与边相切时，利用切线的性质得到垂直于，可得出，由，得到，可得出，由，得到，用求出运动的路程，即可得出此时的时间；②当与相切于点时，与重合，可得出运动的路程为的长，求出此时的时间；③当与相切时，利用切线的性质得到，得到此时为切点，由，且，，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到此时的时间，综上，得到所有满足题意的时间的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
又点在轴的正半轴上，
点的坐标为；
（2）解：由题意知，若与四边形的边相切时，有以下三种情况：
①当与相切于点时，有，
从而，得到，此时；
②当与相切于点时，有，即点与点重合，此时；
③当与相切时，由题意，得，
点为切点，如图，，，
于是，即，
解得：，
的值为1或4或5.6．
【点睛】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
40．如图，内接于，点D是弧的中点，过点D作分别交、延长线于P、Q，连接．
(1)求证：是的切线：
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，弧与弦之间的关系等等：
（1）如图所示，连接，由垂径定理的推论可得，即可证明，由此即可证明结论；
（2）如图所示，连接，由平行线的性质得到，进一步证明，即可证明，得到，再证明，即可得到，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点D是弧的中点，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
41．如图（1），已知在中，，为底边上的高，且．将沿箭头所示的方向平移，得到．如图（2），交于，分别交、于、．以为直径作，设的长为，的面积为．
(1)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)连接，求与相切时的值；
(3)设四边形的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)当时，与相切；
(3)时，的值最大，最大值是12．
【分析】本题结合矩形的性质以及三角形的相似考查了二次函数的应用，利用数形结合的思想来求解是本题的基本思路．
（1）本题的关键是求出的长，已知了、的长，可在直角三角形中，用勾股定理求出的长，根据即可得出的表达式，有了的长即圆的直径可根据圆的面积公式得出，的函数关系式．
（2）与圆相切，那么，根据（1）得出的的表达式可表示出的长，然后根据与相似，可得出关于、、、的比例关系式，以此来确定的值．
（3）在（1）、（2）中已经得出了和的表达式，即可根据矩形的面积公式求出，的函数关系式．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：
，
四边形是矩形
若与相切，则
，
，
即
解得
因此，当时，与相切；
（3）解：
时，满足，的值最大，最大值是12．
42．国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：
如图，四边形是的内接四边形，是的直径，直线经过点，．试说明直线与相切．
小明添加了适当的辅助线后，得到了图的图形，并利用它解决了问题．
(1)请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；
(2)图2中，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，切线的判定，直角三角形的两锐角互余，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定，直角三角形的两锐角互余及直角三角形的性质是解题的关键．
（1）过作直径，连接，证明，得，即，，根据切线的判定即可得证明；
（2）过点作，垂足为点，由，得，利用直角三角形的性质得直径，又，，得 ， ，从而求得 ，进而利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）证明：过作直径，连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵点是半径的外端，
∴直线与相切；
（2）解：过点作，垂足为点，
∴，
∵，
∴，
∴直径，
∵，，
∴ ， ，
∴，
∴ ，
∵是直径，
∴，
∴．
43．如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接．
(1)如果圆与直线相切，求圆的半径长；
(2)如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围；
(3)如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意画出草图，记圆与直线相切于点，连接，利用勾股定理得到，设，则，利用三角函数得到，据此建立方程求解，即可解题；
（2）作于点，根据线段，线段，得到，，，再利用三角函数表示出，，，，再结合勾股定理，即可解题．
（3）根据题意画出草图，设，则，，，由（2）同理可得，，再结合圆周角定理和三角函数求解，即可解题．
【详解】（1）解：记圆与直线相切于点，连接，如图所示：
，
，，，
，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
圆的半径长为；
（2）解：作于点，
线段，线段，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
整理得 ；
（3）解：设，则，，，
由（2）同理可得，
，
为直径，在上，
，
，
，
解得．
经检验是方程的解．
．
【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，列函数解析式，分式方程的应用，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键．
第二章 《直线与圆的位置关系》精选训练题
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
3．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
5．如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ）
A．7 B．3 C． D．
8．如图，，为射线上点，以点为圆心，长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转，旋转角为当射线与相切时，则（ ）
A． B． C．或 D．或
9．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．已知：如图，E是相交两圆和的一个交点，且，为外公切线，切点分别为A，B连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点是上两点，连接并延长交切线于点，连接、、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径是 步．
17．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
18．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ．
19．如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
20．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，且与点O的距离为，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后与直线相切．
21．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ．
22．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ．
23．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
三、解答题
24．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）．
25．在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径长．
26．“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．
(1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）；
(2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使，
①猜想与的位置关系并证明；
②点C到的距离为________（结果保留根号）；
(3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离．
27．如图，在四边形中，，的外接圆交于点E．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若E是的中点，且，，求的长．
28．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，．
(1)求的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)连接，过点E作于点H，若，，求的长．
29．如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的半径长．
30．【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）
31．如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，求的半径和的长．
32．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N．
(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离．
33．如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
34．如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)t为何值时，四边形为矩形？
(2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？
(3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？
35．如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点，的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径．
36．如图，抛物线交x轴于和B两点，交y轴于点．
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)直线与抛物线交于两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，求m的值．
37．【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长；
38．如图，在中，以点为圆心，长为半径作，分别交，于点，，的延长线交于点，连接，，已知是的切线．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长（结果保留）．
39．如图，，，点C在y轴的正半轴上，，．．点P从点出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)以点P为圆心，为半径的随点P的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
40．如图，内接于，点D是弧的中点，过点D作分别交、延长线于P、Q，连接．
(1)求证：是的切线：
(2)若，求的长．
41．如图（1），已知在中，，为底边上的高，且．将沿箭头所示的方向平移，得到．如图（2），交于，分别交、于、．以为直径作，设的长为，的面积为．
(1)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)连接，求与相切时的值；
(3)设四边形的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
42．国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：
如图，四边形是的内接四边形，是的直径，直线经过点，．试说明直线与相切．
小明添加了适当的辅助线后，得到了图的图形，并利用它解决了问题．
(1)请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；
(2)图2中，若，，求的长．
43．如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接．
(1)如果圆与直线相切，求圆的半径长；
(2)如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围；
(3)如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长．
