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多边形 多边形的对角线、内角和与外角和 ★★★
与四边形的相关计算 求角度、求线段长、求面积、求交点坐标、求最值 ★★★★
平行四边形综合 与特殊的四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的相关证明、特殊四边形的中点四边形、特殊四边形的性质与判定 ★★★★★
1．正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 2．多边形的对角线 （1）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）规律总结： ①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形． ②n边形共有条对角线． 3．多边形内角和 n边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为． 4．多边形外角和 （1）多边形的外角和为360°． （2）外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数； ②已知正多边形的边数求外角的度数．
【典例1】 （2024 巧家县模拟）一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】
【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列得方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得：，
即这个多边形的边数为12，
故选：．
【典例2】 （2024 广水市一模）如图，已知，那么的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据任意多边形内角和都等于，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
，
，
故选：．
【典例3】 （2024 文山市模拟）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是，则
，
解得．
故选：．
【典例4】 （2023 雁塔区校级模拟）一个正多边形的中心角是，则过它的一个顶点有 条对角线．
【答案】2．
【分析】根据正多边形的内角是，可求得是正几边形，然后利用过边形的一个顶点有对角线计算即可．
【解答】解：设正多边形的边数为，且正多边形的中心角是，
，
，
过边形的一个顶点有条对角线，即（条，
故答案为：2．
【典例5】 （2024 凤阳县一模）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．
【规律总结】
（1）填写下表：
五边形内点的个数 1 2 3 4
分割成的三角形的个数 5 7 9
【问题解决】
（2）原五边形能否被分割成2023个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点；若不能，请说明理由．
【答案】（1）11，；
（2）原五边形能被分割成2023个三角形．内部有1010个点．
【分析】（1）由题意可归纳出五边形内点的个数为时，分割成的三角形的个数为；
（2）通过解方程可判断此题的结果．
【解答】解：（1）五边形内点的个数为1时，分割成的三角形的个数为，
五边形内点的个数为2时，分割成的三角形的个数为，
五边形内点的个数为3时，分割成的三角形的个数为，
五边形内点的个数为4时，分割成的三角形的个数为，
五边形内点的个数为时，分割成的三角形的个数为，
故答案为：11，；
（2）原五边形能被分割成2023个三角形，
由题意可得方程，
解得，符合实际，
原五边形能被分割成2023个三角形．内部有1010个点．
1．在平行四边形中，若出现顶角平分线，考虑用等腰三角形的性质求解． 2．在平行四边形中，两个相邻角的平分线交于一点，则这两条角平分线互相垂直． 3．在坐标系中求点坐标时，注意点的位置，必要时需构造直角三角形进行求解． 4．直角三角形中出现斜边的高时，考虑能否用等面积法进行求解． 5．折叠前后的两部分图形全等，对应角相等． 6．题中出现点落在矩形的对角线上或边上时，需注意是否要进行分类讨论求解．
【典例1】 （2024 焦作一模）如图，已知矩形的顶点，，若矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第75次结束时，矩形对角线交点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据求出，进而求出，每次旋转，8次一个循环，，第75次结束时，矩形的对角线交点与第3次的点的坐标相同，第3次点落在轴的负半轴上，由此可得结论．
【解答】解：四边形是矩形，，
，
，
每次旋转，8次一个循环，，
点在轴的负半轴上，
点的坐标为，．
故选：．
【典例2】 （2024 太白县一模）如图，正方形的边上有一点，连接交对角线于点，连接．若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用正方形的性质，由“”可证，依据全等三角形的对应角相等，可得，由三角形的外角性质可得到的度数．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
，
又，
，
，
，
，
，
故选：．
【典例3】 （2024 深圳模拟）如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为
A．24 B．30 C． D．
【答案】
【分析】先根据菱形的性质证明，在根据已知条件证明是等边三角形，求出，从而求出菱形周长即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：
，
故选：．
【典例4】 （2024 郸城县一模）如图，菱形中，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，．若，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接、、，与交于点，由菱形的性质可得当且仅当最小，即、、三点共线，且时，最大，此时，然后根据等边三角形的性质可得答案．
【解答】解：如图所示，连接、、，与交于点，
菱形中，与互相垂直平分，
点、点关于对称，
，
，
，
当且仅当最小，即、、三点共线，且时，最大，此时，
点为的中点，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：．
【典例5】 （2024 钱塘区一模）如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连结．若，的面积为2，则菱形的面积为
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】
【分析】过点作于点，证明，得，则，设，再由平行线的性质得，进而由锐角三角函数定义得，则，由三角形面积公式求出，然后由勾股定理求出，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点作于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
1．平行四边形 （1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据； （2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； （3）利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决． （4）平行四边形的判定方法可作为“画平行四边形”的依据． （5）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （6）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． （7）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形． 2．矩形 （1）判定矩形的常见思路 （2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．菱形 （1）菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． （2）菱形的面积=底×高=两条对角线乘积的一半． 4．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 5．中点四边形 （1）特殊四边形的中点四边形 ◆平行四边形的中点四边形为平行四边形． ◆矩形的中点四边形为菱形． ◆菱形的中点四边形为矩形． ◆正方形的中点四边形为正方形． （2）对角线特殊的四边形的中点四边形 ◆对角线相等的四边形的中点四边形为菱形． ◆对角线互相垂直的四边形的中点四边形为矩形． ◆对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形．
【典例1】 （2024 安州区二模）如图，平行四边形内一点，满足于，延长交于，且，，找出图中一条与相等的线段，并加以证明．
【答案】．证明见解析．
【分析】延长，交于，由平行四边形的性质可得到，由已知可推，已知，则可以利用来判定，从而得到．
【解答】解：．
证明：如图，延长交于，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【典例2】 （2024 莲湖区一模）问题提出
（1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点为点，求的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得出答案；
（2）由折叠得：，得出点在以点为圆心，长为半径的上运动，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
（3）延长至点，使，连接，求出．过点作交延长线于点，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）点，分别是，的中点，
，
，
，
故答案为：；
（2）在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，
，，
由折叠得：，
点在以点为圆心，长为半径的上运动，
如图①，作，连接交于点，
，
当点，，三点共线，即点和点重合时，取得最小值，最小值为的长．
在中，，
的最小值为；
（3）如图②，延长至点，使，连接，
点为的中点，点为的中点，
为 的中位线，
，
当最小时，最小，
由，可看作点在以点为圆心，长为半径的圆上，连接，
设与的交点为点；则的最小值为的长．过点作交的延长线于点，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
．
过点作交延长线于点，
，
在中，，，
，
，
，
的最小值，
点与点之间的最小距离为．
【典例3】 （2024 新抚区一模）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点，，三点共线），其中点与点重合（标记为点．连接，取的中点，过点作交的延长线于点．
问题（1）：试判断的形状，直接写出答案．
（2）深入探究：杨老师将图2中的绕点顺时针方向旋转，当点，，三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题．
①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明；
②“思考小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点顺时针方向旋转一周，当点，，三点共线时，请你直接写出的面积．
【答案】（1）是等腰直角三角形．证明见解答；
（2）①（1）中的结论仍然成立，即是等腰直角三角形．证明见解答；
②或．
【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形性质可证得，推出，，，即可证得结论；
（2）①延长，相交于点，设与相交于点，可证得，得出，再证得，，，即可推出是等腰直角三角形；
②分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，分别运用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：
如图，和是等腰直角三角形，
，，
点，，三点在一条直线上，，
，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
（2）①（1）中的结论仍然成立，即是等腰直角三角形．理由如下：
如图，延长，相交于点，设与相交于点，和是等腰直角三角形，
点是的中点，
，
，
；
在和中，
，
，
，
和是腰长相等的等腰直角三角形，
，且，
，
，
．
是和 的外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
是等腰直角三角形；
②当点在的延长线上时，过点作于，如图，
正方形的边长是4，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
由①知是等腰直角三角形，
；
当点在的延长线上时，过点作于，如图，
则，，
由①知是等腰直角三角形，
；
综上所述，当点，，三点共线时，的面积为或．
【典例4】 （2024 振兴区校级模拟）综合与实践
问题初探：数学活动课上，刘老师出示了一个问题：
（1）如图①，在菱形中，，点是中点，在的延长线上，，射线交于，连接，求证：．
下面是两位同学关于（1）问的证明思路．
①小明同学的思路是：连接，可以得到是等边三角形，再通过证明，以及是中点，得到，从而证明，从而得到结论．
②如图②，小敏同学的思路：同样连接，得到，，但接下来，小敏同学在上截取，通过证明得到是等边三角形，利用得到最后的结论．
你可以参考两位同学的思路完成（1）问的证明过程，也可以用自己的思路完成（1）问的证明过程．
实践探究：（2）刘老师改变了（1）问中的一个条件，就是将“点是中点”的这个条件改为“点是边上一点”，如图3，在其它条件不变的情况下，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，若，，则（2）问中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题：请求出的长．
【答案】（1）．理由见解答；
（2）成立，理由见解答；
（3）或．
【分析】（1）连接，，根据菱形，，可得是等边三角形，再由点是中点，可得，，进而可得是等边三角形，可得出，，结论可证；
（2）在上截取，构造全等三角形：，再证明是等边三角形，即可证得结论；
（3）分两种情况：或，过点作于点，构造直角三角形，运用解直角三角形或勾股定理求出，再证明，运用相似三角形性质列方程求解即可．
【解答】解：（1）．理由如下：
连接，，
菱形，，
是等边三角形，，
，
点是中点，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）成立．理由如下：
在上截取，
四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
；
（3）如图③过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
；
如图④，过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
；
综上所述，的长为或．
【典例5】 （2024 阿城区一模）综合实践
菱形中，点在对角线上，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角，连接．
【问题发现】
（1）如图（1），当点与点重合时，线段、、之间的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图2，当点在边上时，时，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，点在延长线上，为中点，当，，时，设，，求与之间的数量关系．
【答案】（1）；
（2）见解析过程；
（3）．
【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，即可求解；
（3）由勾股定理可求，由“”可证，可得，可得，由平行线分线段成比例可求的长，即可求解．
【解答】（1）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：在上截取，连接，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
是等边三角形，
，，
四边形是菱形，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在的延长线上截取，连接，过作交延长线于，
为中点，
，，
，，
，
，
，
，
（舍去），，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【典例6】 （2024 西安一模）【问题提出】
（1）如图1，点为的边上一点，连接，，，若的面积为4，则的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，在射线和射线上分别取点、，使得，连接、相交于点，连接，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿、修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5；
（2）；
（3）长度有最小值，．
【分析】（1）判定，即可得到的面积，进而得出的面积；
（2）判定，即可得出，取的中点，连接，，依据，即可得到的最小值为；
（3）判定，即可得到，进而得出，再判定，即可得到，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，依据，即可得到长度的最小值为．
【解答】解：（1），，
，
又，
，
又的面积为4，
的面积为9，
的面积为，
故答案为：5；
（2）矩形中，，，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
如图所示，取的中点，连接，，
则，，
，
即的最小值为；
（3）的长度存在最小值．
如图所示，连接，
，，
，
，
又，
，
即，
又，
，
，
如图所示，以为底边，在左侧作等腰三角形，使得，
则点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，且，
中，，，
，
，
长度的最小值为．
【典例7】 （2024 新乐市一模）如图，在等边中，，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接．
（1）证明：为定值；
（2）当时，证明四边形是菱形；
（3）当点与重合时，求的度数；
（4）当最短时，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据折叠的性质得到，求得，根据等边三角形到现在得到，于是得到结论；
（2）由，得到，根据三角函数的定义得到，求得，根据折叠的性质得到，，，推出是等边三角形，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（3）当点与重合时，根据三角形的内角和定理得到，根据折叠的性质得到，，求得；
（4）当最短时，，过作于，交延长线于，根据直角三角形的性质得到，，，设，则，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质得到，，设，则，，，根据勾股定理得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：将沿折叠，使点落在射线上的点处，
，
，
是等边三角形，，
，
，为定值；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
将沿折叠，使点落在射线上的点处，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
四边形为菱形；
（3）解：当点与重合时，如图：
，，
，
将沿折叠，使点落在射线上的点处，
，，
，
；
（4）解：当最短时，，过作于，交延长线于，如图：
，
，，，
设，则，
在△中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，
，
在△中，，
，
解得，
，，
在中，，
，，
，
在中，．
【典例8】 （2024 咸丰县模拟）如图1，在等腰中，，点在上（且不与点、重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，连接，求证：；
（3）如图3，将绕点继续逆时针旋转，当平行四边形为菱形，且在的下方时，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【分析】（1）依据，，即可证明是等腰直角三角形；
（2）连接，先证明，再证明是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当时，四边形是菱形，先求得，在中，，即可得到．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
在等腰中，，点在上（且不与点、重合），在的外部作等腰，使，
，
．
，
．
是等腰直角三角形；
（2）证明：连接，如图2，
四边形是平行四边形，
，
，
，．
，
．
，
．
，
．
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：当时，四边形是菱形，
设交于，依据，，可得垂直平分，
，
在等腰直角中，，
在中，，
由勾股定理得，
．
()
一、选择题（共10小题）
1．（2024 邱县一模）夹在两条平行线间的正方形、等边三角形如图所示，顶点、分别在两条平行线上．若、、在一条直线上，则与的数量关系是
A． B． C．． D．
2．（2024 湖北一模）如图，在菱形中，点是边上一动点，和不重合，连接，的垂直平分线交于点，交于点，在点由点到点的运动过程中，的大小变化情况是
A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变
3．（2023 兴义市校级模拟）如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，连接，若，则的值为
A． B． C． D．
4．（2024 霍邱县模拟）如图，在四边形中，，相交于点，且，点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列选项不正确的是
A．四边形是矩形
B．当点是的中点时，
C．当，时，线段长度的最大值为4
D．当点在边上，且时，是等边三角形
5．（2024 新城区二模）如图，在矩形中，，，过对角线的交点作，交于点，交于点，则的长是
A．3 B． C． D．
6．（2024 即墨区校级一模）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是
A． B． C． D．
7．（2024 蜀山区一模）如图，正方形中，，点，分别在边，上，点在对角线上，，，下列结论错误的是
A．若，则的最小值为4 B．若的最小值为4，则
C．若，则的最小值为5 D．若的最小值为5，则
8．（2024 泗县一模）如图，是正方形的对角线，点是上一点，连接，分别过点和点作，，垂足分别为点和点，与交于点，点是的中点，，连接，，下列结论错误的是
A．平分
B．当时，
C．当点是的中点时，点是的中点
D．点和点之间的最短距离为2.5
9．（2024 西华县一模）如图，已知平行四边形的顶点，，点在轴的正半轴上，在轴的正半轴上．连接，过点作，垂足为点，交于点，则点的坐标为
A． B． C． D．
10．（2024 振兴区校级模拟）在平面直角坐标系中，菱形的顶点坐标分别为，，，，将菱形沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，得到菱形，则顶点的坐标为
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2024 临渭区一模）如图，六边形是由正和正五边形组成的，则的度数是 ．
12．（2024 昆山市模拟）一个多边形的内角和与外角和的差为，则它的边数为 ．
13．（2024 顺昌县一模）如图，在菱形中，，，点，分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ．
14．（2024 平凉一模）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，则 ．
15．（2024 阳泉模拟）如图，在正方形中，是边的中点，连接，过点作于点，延长交于点，连接，则的值为 ．
16．（2024 焦作一模）如图，在矩形中，，，点为的中点，取的中点，连接，，当为直角三角形时，的值为 ．
17．（2024 平顶山一模）在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为，连接，，当，，三点共线时，的长为 ．
18．（2024 会泽县校级模拟）如图，菱形的对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
19．（2024 秦都区校级模拟）如图，在矩形中，，连接，点是上一点，过点作交于点，点在上，连接、，，若，，则的长为 ．
20．（2024 广水市一模）长相等的两个正方形、如图摆放，正方形的边、在坐标轴上，交线段于点，的延长线交线段于点，连，已知长为，，，在直线上找点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为 ．
三、解答题（共10小题）
21．（2024 灞桥区校级四模）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使，连接、．求证：．
22．（2024 连云港一模）如图，点是矩形对角线上的点（不与，重合），连接，过点作交于点．连接交于点，．
（1）求证：；
（2）试判断线段与的位置关系，并说明理由．
23．（2024 红花岗区一模）如图，在中，点是边的中点，和分别是和的角平分线．以为对角线向外作边和，相交于点，使，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，，求四边形的面积．
24．（2024 昆明模拟）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，平行线与间的距离为，求菱形的面积．
25．（2024 建邺区校级模拟）已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当满足 时，四边形为正方形．
26．（2024 巴东县模拟）在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，连接并延长到点，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
27．（2024 巧家县模拟）如图，中，，是边上的中线，分别过点，作和的平行线，两线交于点，且交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
28．（2024 深圳模拟）【综合与实践】
【问题背景】
在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形时，
①求证：；
②当是中点时， 度；
【深入探究】
（2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长．
29．（2024 梁山县校级一模）如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接．过点作，交射线点，以、为邻边作矩形．连接．
（1）连接，求证：．
（2）求证：矩形是正方形．
（3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
30．（2024 广水市一模）综合与实践
【问题背景】
如图1，在矩形中，，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．
【问题解决】
（1）填空：的长为 ；
（2）如图2，展开后，将△沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到△，与交于点，求线段的长．
【拓展探究】
（3）如图1，将△绕点旋转至，，三点共线时，请直接写出的长．
一、选择题（共10小题）
1．【解答】解：夹在两条平行线间的正方形、等边三角形如图所示，顶点、分别在两条平行线上，
，，
，、、在一条直线上，
，
即，
可得：，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：
连接交于，连接、，
四边形是菱形，
，
是的垂直平分线，
，，
、、、四点共圆，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形固定，
的度数固定，
即的度数不变，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：如图，连接，作于点，交于点，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
的值为，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：、，
四边形是矩形，故正确，不符合题意．
、点，分别是，的中点，
是的中位线．
又点是的中点，
．
，即，故正确，不符合题意．
、当点与点重合时，的值最大．
，
的最大值是8．
，即线段长度的最大值是4，故正确，不符合题意．
、当时，，
又，
，
，
，
，
不是等边三角形，故错误，符合题意；
故选：．
5．【答案】
【解答】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
，，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：作点关于的对称点，连接，如图，
四边形为正方形，
，
点在上，
点在对角线上，
，
当点，，在一条直线上时，取得最小值．
，
，
为等腰直角三角形，
．
若，，
，，
点，，在一条直线上，取得最小值，这时，四边形为矩形，
，
若，则的最小值为4，
的结论正确，不符合题意；
的最小值为4，
此时点，，在一条直线上，且，
四边形为矩形，
，
．
的结论正确，不符合题意；
，
，，
，．
，为等腰直角三角形，
，
．
点，，在一条直线上时，，
若，则的最小值为5．
的结论正确，不符合题意；
若的最小值为5，设，则，
，
或3.5，
或3.5．
的结论不正确，符合题意．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：四边形是正方形，点是的中点，
，，
，，则，
，，
，
，
，当时，，
则，故选项正确；
延长交于，
，
，，
点为的中点，
，
，
，，
，，
，即：为等腰直角三角形，
平分，故选项正确；
当点是的中点时，，
则，
，
，
，
，即：点为的中点，故选项正确；
取中点，连接，，，
则，，
，
，
由三角形三边关系可知：，当在线段时取等号，
即：点和点之间的最短距离为，故选项错误；
故选：．
9．【解答】解：设与交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
解得：，
点的坐标为，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：，将菱形沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，
顶点的坐标为，
即，
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．
【解答】解：是正三角形，
，
五边形是正五边形，
，，
，
，
故答案为：．
12．【答案】7．
【解答】解：设这是一个边形，则，
解得，
答：它的边数是7．
故答案为：7．
13．【答案】4．
【解答】解：如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，，可得，，，
四边形是菱形，
，，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
当，，三点共线时，此时取等于号，最小，
四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，三点共线，
当，，三点共线时，，重合，
，
，即最小值为4．
故答案为：4．
14．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，对角线，交于点，，
，，，
，
为的中点，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：延长与的延长线交于点，如下图所示：
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是边的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
即点为的中点，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
故答案为：
16．【答案】或．
【解答】解：，，，
，
，，
分情况解答：
①时，
则，
，
；
②时，
，
，
为正三角形，
，
，
则，
，
③，不存在，
故答案为：或．
17．【答案】1或9．
【解答】解：①当，，三点共线时，如图所示：
在矩形中，，，，
点关于直线的对称点为，
，，，
，
设，
则，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
的长为1；
②如图，由轴对称的性质得，，
由平行线的性质得，
，
，
在中，，由勾股定理得，
，
，
综上所述：的长为1或9，
故答案为：1或9．
18．【答案】．
【解答】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
菱形的面积．
故答案为：．
19．【答案】．
【解答】解：四边形是矩形，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．【答案】或．
【解答】解：在中，，，
则，
当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，存在以下两种情况：
①如图，当点在的负半轴上时，
，，
，
，
，
，点坐标为，
点坐标为；
②如图，当点在的延长线上时，
在中，，，
，，
又，
，，
与交于点，为等边三角形，
，
又，
，
则．
综上所述：的坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题（共10小题）
21．【答案】证明过程见解析．
【解答】证明：连接，设与交于点．连接，，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形，
．
22．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：．
理由：，
，
，
垂直平分，
即．
23．【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形的面积为4．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
和分别是和的角平分线，
，，
，
，
四边形是矩形．
（2）解法一：如图1，在上取一点，连接，使，
，，
，
，
，
，
，
，且，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
，
四边形的面积为4．
解法二：如图2，作于点，交的延长线于点，则，
，，
，
，
，
，
点是边的中点，，
，
，
，
，
，
四边形的面积为4．
24．【答案】（1）证明见解答；
（2）菱形的面积是．
【解答】（1）证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
，是边上的中线，
，
四边形是菱形．
（2）解：作于点，则，，
，，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
菱形的面积是．
25．【答案】（1）见解析；
（2）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形．证明见解析．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形．
证明：由（1）知，，
又，
，
四边形是平行四边形，
由（1）知，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：等腰直角三角形．
26．【答案】（1）见解析；
（2）12．
【解答】（1）证明：点为的中点，，
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，，
又四边形是菱形，
，
，
在中，，，．
设，，
．
解得，
，
．
27．【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，且．
在中，为边上的中线，
．
．
四边形是平行四边形．
．
．
，
．
平行四边形是菱形；
（2）解：中，为边上的中线，，，
．
，由勾股定理得．
四边形是平行四边形，
．
．
28．【答案】（1）①证明见解析；②67.5；（2）；（3）的长为或或2．
【解答】（1）①证明：四边形为正方形，
，．
在和中，
，
；
②解：连接，如图，
，
，
，，
．
，
．
是中点，
为的垂直平分线，
，
．
四边形为正方形，
，
．
故答案为：67.5；
（2）过点作，交于点，如图，
，为的中点，
为的中位线，
，．
设，则，
．
，
，
，
，
（负数不合题意，舍去），
．
．
（3）的长为或或2．理由：
四边形是矩形，，，
，，
，．
，
，
，
．
①当时，如图，
设，则，．
，
．
，，
，
，
，
解得：或．
或．
②当时，过点作，交的延长线于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
，，
．
，，
，
，
，
，
．
综上，的长为或或2．
29．【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）是定值．
【解答】（1）证明：连接，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过作于点，过作于点，如图所示：
正方形
，
且，
四边形为正方形
四边形是矩形，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
矩形为正方形，
（3）解：的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，
是定值．
30．【答案】（1）3；
（2）；
（3）的长为．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，
，
故答案为：3；
（2）由（1）得：，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，，
连接，如图所示：
由平移的性质得：，，，
，
，
；
（3）如图3.1，当共线时，过点作交的延长线于点，
由（2）得：，
由旋转的性质得：，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
如图3.2，当共线时，过点作交的延长线于点，则，，
，
；
综上所述，的长为．
()
