2024年中考数学综合练习：圆
一、单选题
1．如图，⊙O的半径为4，点A，C，B，D在⊙O上，，将扇形绕点O顺时针旋转后得扇形，若，则的长为( )
A. B. C. D.
2．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若，，则BD的长是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3．如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，则∠BAD的度数为( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
4．如图，为⊙O的直径，分别与⊙O相切于点，当时的大小为( )
A. B. C. D.
5．如图，在中，，，分别以点B，C为圆心，长为半径在右侧画弧，两弧交于点D，与，的延长线分别交于点E，F，则阴影部分的面积和为( )
A. B. C. D.
6．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图.是⊙O的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，.已知，碗深，则⊙O的半径为( )
A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm
7．如图，正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8．如图，扇形圆心角为直角，，点C在上，以，为邻边构造、边交于点E，若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9．如图，在中，，，，⊙O的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作⊙O的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是( )
A. B.3 C. D.4
10．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面如图①，餐桌两边和平行且相等，如图②，小华用皮尺量得，，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加( )
A. B.
C. D.
11．已知点A，B，C在⊙O上，，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D.若，，则的长为( )
A. B. C. D.
12．齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察，登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”.我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图），若有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为( )
A. B. C. D.
13．左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动.图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图.
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当，时，可得到形状唯一确定的；
④当，时，可得到形状唯一确定的；
其中所有正确结论的序号是( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④
二、填空题
14．如图，，为⊙O的两条弦，D，G分别为，的中点，的半径为2.若，则的长为________.
15．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为______（结果保留）.
16．如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是______.
17．如图，中，是腰上的高，点是线段上一动点，当半径为3的与的一边相切时，的长是______.
18．如图，OA是⊙O的半径，BC是的弦，于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若，，则线段AE的长为______．
19．如图，在矩形中，连接，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，已知，则图中阴影部分的面积为_______.（结果保留）
20．如图，分别以正六边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，.若，则阴影部分图形的周长为______.（结果保留）
三、解答题
21．如图，在中，，的平分线交边于点D.以上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.
（1）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）若，.
①求⊙O的半径；
②设⊙O与边的另一个交点为E，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积.（结果保留根号和）
22．如图，在⊙O中，弦与直径交于点，弦的延长线与过点A的⊙O的切线交于点.连接，，，且.
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
23．如图，扇形和扇形的圆心角均为，其中扇形保持不动，扇形绕点O旋转，已知，.
（1）如图1：连接，
①若与所在圆相切，求的度数；
②当的面积最大时，求的长；
（2）如图1：连接，当点C落在上时，直接写出扇形与扇形重合部分的面积.
24．已知内接于，，点D是上一点.
（1）如图①，若，为的直径，，连接，求的度数和的长度；
（2）如图②，连接，M是延长线上一点.
①尺规作图，过M作⊙O的一条切线，切点为E（E在右侧），（不写作法，保留作图痕迹）
②连接，若，请你猜想与的数量关系，并说明理由.
25．已知：如图1，中，，，动点P从点C出发沿线段以的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段以的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t，以点Q为圆心，长为半径的圆Q与射线、线段分别交于点D、E.
尝试：当是等腰三角形时，求t的值；
探究：设，求与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
拓展：如图2，连接，当t为何值时，线段与⊙Q相切？
延伸：如图2，若⊙Q与线段只有一个公共点，求t的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：∵，将扇形绕点O顺时针旋转后得扇形，，
∴，，
∴，
∵⊙O的半径为4，
∴，
故选：C.
2．答案：C
解析：、为⊙O的切线，
，
、为的切线，
，
.
故选：C.
3．答案：D
解析：连接BD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠C=15°，
∴∠BAD=90°-15°=75°.
故选：D.
4．答案：B
解析：连接，如图所示，
分别与⊙O相切于点，
，
，，
，
，
，
故选：B.
5．答案：B
解析：在中，，
根据题意，可得，
为等边三角形，
，
，
阴影部分的面积为，
故选：B.
6．答案：A
解析：是⊙O的一部分，D是的中点，，
，.
设⊙O的半径为，则.
在中，，
，
，
，
即⊙O的半径为.
故选：A.
7．答案：A
解析：连接AD，作于点P，于点Q，
正六边形各内角为120°，
，
设各边长为a，则，
，
，，
，
，
，
，
故选：A.
8．答案：A
解析：连接，
在中，，
，
，
故选：A.
9．答案：A
解析：连接，过O作，此时即为最小的，半径不变当最小时也最小，
，，
，
，
由勾股定理可得，，
解得：，
，
，
是的一条切线，
，
，
故选：A.
10．答案：D
解析：将圆形补全，设圆心为O，连接，过点O作于点E，
由题意可得出：，
是⊙O的直径，
，，
，
餐桌两边和平行且相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米.
故选：D.
11．答案：C
解析：取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作于F点，如图：
四边形ABEC内接于，
，
点D在⊙O上的对应点为点E，
根据折叠的性质有：，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的长为：.
故选C.
12．答案：D
解析：过点O作于点C，
该六边形为正六边形，
，，
为等边三角形，
，
，
，
根据勾股定理可得：，
，
地基的面积，
故选：D.
13．答案：D
解析：如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故①错误，不符合题意，
；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故②正确，符合题意，
；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③正确，符合题意，
；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意，
；
综上所述，结论正确的是②③④，
故选：D.
14．答案：
解析：连接，，，
，
，
的半径为2，
，
D，G分别为，的中点，
，
故答案为：.
15．答案：
解析：，，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，，
圆锥侧面展开图的面积为：，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
16．答案：
解析：取AB中点D，如图，
由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴OB=，cos∠DOB=，
∵OA=OB，
∴∠BOD=∠AOB，
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=∠DOB，
∴cos∠ACB= cos∠DOB=，
故答案为：.
17．答案：5或
解析：过点A作于H，过点D作于M，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴,
①当⊙O与边相切时，连接切点N与圆心O，则，
∴，
∴，
∴
即，
∴；
②当⊙O与边相切时，过圆心O作于E，则，
∴.
故答案为：5或6.6.
18．答案：
解析：OA是⊙O的半径，BC是的弦，于点D，.
又，
.
AE是⊙O的切线，
.又，
.
19．答案：
解析：如图，设与弧交于点F，连接，作于H，
由题意得，，
四边形是矩形，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
是等边三角形，
，，
图中阴影部分的面积，
故答案为：.
20．答案：
解析：如图：连接、，过B作于点H，
正六边形的边长为2，
，，
，
，，
在中，
，
，
同理可证，，
，
的长为：，
同理可求得的长为：，
∴图中阴影部分的周长为：，
故答案为：.
21．答案：（1）相切，理由见解析
（2）①2
②
解析：（1）相切，理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）①在和中，
，，
，，
，
，
，
解得，即⊙O的半径是2；
②在中，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
.
22．答案：(1)见解析
(2)4
解析：（1）证明：是⊙O的直径，是⊙O的切线，
.
，.
又，
，
.
，
，
；
（2）如图，过点作于点，
，，
，
.
∵，
∴，
∴.
，，，
，
，即点是的中点.
，，
点是的中点，
是的中位线，
.
23．答案：（1）①
②
（2）或
解析：（1）①若与所在圆相切，
则，
，
在中，，，
，
，
的度数为.
②，当时，点C到的距离最大，
当的面积最大时，，
，
，
即当的面积最大时，的长为：.
（2）当点C落在上时，过点O作于点M，则，
，，
，
在中，
，
，
若点C在上，如图所示：
则，
扇形与扇形重合部分的面积为，
若点C在上，如图所示：
则，
扇形与扇形重合的部分的面积为，
综上所述，当点C落在上时，扇形与扇形重合的部分的面积为或.
24．答案：（1）；
（2）①见解析
②.
解析：（1），
，
为圆O的直径，
，
，
，
，
；
（2）①分别以点O，M为圆心：以大于的长为半径画弧，两弧交于点G、H，作直线，交于点N，以N为圆心，长为半径画圆，交圆O于点E，连接，则即为的圆O的切线；
②连接、、，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆O的切线，
，
，
.
25．答案：尝试：t的值为或5或8
探究：
拓展：，线段与⊙Q相切
延伸：当或时，⊙Q与线段只有一个公共点
解析：尝试：①当时，如图1，，过点A作于点N，过点P作于点M，
，，，
.
，，
.
，，
.
，
，
；
②当时，如图2，
，
；
③当点P到达点B时，此时，
.
.
综上，当是等腰三角形时，t的值为或5或8.
探究：，
.如图3，过点A作于点N，连接，
，，，
.
是的直径，
.
，
，
，
，
即.
拓展：，，
.
如图4，过点A作于点N，则.
线段与相切，
.
.
，
，
，
.
解得，
经检验，是分式方程的解，
当时，线段与相切.
延伸：①出发后到与圆相切时，与线段只有一个公共点，
.
②当点P与点E重合后，点P在内，此时与线段只有一个公
共点，
点P与点E重合时，，
解得，
.
综上，当或时，与线段只有一个公共点.
