2024年河南省初中学业水平考试全真模拟试卷(二)
数学
注意事项：
1.本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟.
2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷或答题卡上.
3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚.
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.的绝对值是（ ）
A.-2024 B.2024 C. D.
2.新华社1月17日公布：2023国内生产总值(GDP)126.06万亿元，按不变价格计算，比上年增长5.2%，增速比2022年加快2.2个百分点.其中数据“126.06万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D
3.如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
4.下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A.一批护眼灯的使用寿命 B.对“天舟七号”货运飞船零部件安全性的检查
C.对市场上一次性筷子的卫生情况的调查 D.了解河南省中学生目前的睡眠情况的调查
5.下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
7.如图是由8个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何 ”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人 该物品价格是多少 设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，，，，.将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，若经过2024次旋转，则此时点A的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，菱形中，点E为的中点，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.某校利用劳动课组织学生开展校园植树活动，七年级学生共植树a棵，八年级学生共植树b棵，九年级学生植树数比七、八年级植树总数的3倍少40棵，则九年级学生植树数为___________棵.
12.不等式组的解集是___________.
13.如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色，则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是___________.
14.如图，扇形中，，点C为的中点，过点C作(，，垂足分别为D，E，分别以，为轴折叠扇形，点A，B的对应点为M，N两点，若，则阴影部分的周长为___________.
15.如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为(，若为钝角三角形时，x的取值范围为___________.
图1 图2
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16.(10分)(1)计算：；
(2)化简：.
17.(9分)某校举行了“安全伴我行”知识竞赛，校团委在八、九年级各随机抽取50名学生的成绩进行抽样分析(满分10分)，竞赛成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 8 7 1.88
九年级竞赛成绩 8 a 8 1.56
根据以上信息，回答下列问题.
(1)填空________，_________；
(2)请你根据材料分析，哪个年级的成绩更好
(3)若成绩8分及以上为优秀，则哪个年级的优秀率更高
18.(9分)如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，(，双曲线经过点B.
(1)求双曲线的解析式；
(2)作的垂直平分线交于点M，交于点N，连接，.(尺规作图：不要求写作法，保留作图痕迹)
(3)求证：.
19.(9分)2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展.如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为(63°，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为390m，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度.(精确到整数，参考数据：，，)
20.(9分)欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书.
小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角.
小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系.
请帮助小明写出已知，求证，并证明.
已知：如图，中，_____________，点E为劣弧上一点，连接，.
求证：_________________.
21.(9分)某快车公司面向社会推出两种乘车方案，收费与行驶距离之间的函数关系如图所示，其中方案一收费方式对应，方案二的收费方式对应.
(1)求方案一和方案二的函数关系式；
(2)①请说出图中点A的实际意义，
②若小明每天上班需要乘坐这家公司的快车，家离公司6km，那么小明选择哪个方案最省钱 请说明理由；
(3)请求出两种方案收费相差3元时的行驶距离.
22.(10分)如图，抛物线的图象交x轴于，B两点，交y轴于点，直线的图象经过点A，交抛物线位于第四象限的图象于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一个动点，若点P与点C之间部分(含点P与点C)图象最高点和最低点纵坐标之差等于6时，求点P的坐标；
(3)连接，若内部(不含边)有7个整点(横、纵坐标都是整数的点叫做整点)，直接写出m的取值范围.
23.(10分)(1)如图1，等边三角形中，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转.的度数得到线段，连接，则线段与线段的数量关系为___________；
(2)如图2，等腰直角三角形中，，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接.
①求线段与线段的数量关系，并说明理由；
②若，请直接写出线段的长.
图1 图2
2024年河南省初中学业水平考试全真模拟试卷（二）参考答案
数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 9.D 10.B
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 12. 13.
14. 15.或
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16.解：（1）原式；………………5分
（2）………………3分
.……………………5分
17.解：（1）8，8.……………………4分
（2）九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀；
九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳，
则九年级的成绩更好.……………………6分
（3）八年级（8分）及以上的学生有（人），九年级（8分）及以上的学生有33（人），
八年级的优秀率为，九年级的优秀率为，
，九年级的优秀率高.……………………9分
18.（1）解：如图，过点作轴，垂足为点，
四边形为平行四边形，，，
点的纵坐标为，
，则，
点，
双曲线的解析式为……………………4分
（2）如图，为所作；……………………6分
（3）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
，
点，，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
.……………………9分
19.解：设，则，
在中，，
解得，…………………………3分
则，
四边形为正方形，
，，……………………5分
在中，，
，……………………7分
，
答：小山的高度约为.……………………9分
20.已知：直线切于点，过的直线交于点，………………2分
求证：.……………………3分
证明：如图，连接，延长交于点，连接，
由题意得，，
，，
，……………………6分
又四边形为圆内接四边形，
，
，
.…………………………9分
21.解：（1）方案一：设，
把点代入中，
得，，即，…………………………2分
方案二：由图象可知，当时，，
当时，设，
把点和点代入中，
得：，解得：，
，
；……………………4分
（2）①点的实际意义为当行驶距离为时，两种方案收费相同，均为12元；
②由图象可知，当行驶距离超过时，
，即方案二更省钱.
小明选择方案二更省钱；…………………………6分
（3）当时两种收费相同，
两种收费相差3元，分前和后两种情况，
①当时，离越近收费相差的越少，
当时，，，
，
要使两种收费相差3元，应小于2，
，
解得：；
②当时，，
解得：.
行驶距离在和时，两种方案相差3元.……………………9分
22.解：（1）抛物线的图象经过，两点，可得：，解得：.
抛物线的解析式为.……………………3分
（2）.
，
抛物线的顶点坐标为.……………………4分
当点在对称轴的左侧时，
此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为6，
此时点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为1，
令，则.
解得：（正数不合题意舍去）.
………………………………6分
当点在对称轴的右侧时，
此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为6，
此时顶点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为-3，
令，则.
解得：（负数不合题意舍去），
.
综上，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为6时，或.……………………8分
（3）的取值范围为……………………10分
【提示】由题意得：内部（不含边）有7个整点，
如图，则这7个整点为，，，，，，，
直线必经过点或经过与之间的点，不包括，
直线必经过点时，
，解得：..
直线经过点时，
，解得：.
.
综上，的取值范围为.
23.解：（1）结论：.………………2分
（2）①如图2中，连接.
图2
由题意得，，，
是等腰直角三角形，点，分别是边，的中点，
，
，
是等腰直角三角形，……………………5分
，
，
，
，
.…………………………8分
②的长为或.……………………10分
【提示】如图2中，在中，，，
，
，
由①可知，，
，
如图3中，当点在的延长线上时，同法可得，，
图3
综上所述，的长为或.
