人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元练习题
一、填空题
1．如图，在平行四边形 中，已知 ， ， 平分 交 边于点 ，则 ．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝ .
3．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是 ．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
二、单选题
5．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等
D．对角线互相垂直
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
8．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
9．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
11．下列命题中是真命题的是（ ）
A．正六边形的内角和是360°
B．点（﹣2，3）与（2，3）关于y轴对称
C．的算术平方根是4
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
12．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
⑴AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） 中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
14．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，若AB＝6cm，BC＝8cm．则的长是（ ）
A．5cm B．3cm C．2.5cm D．4cm
三、解答题
15．如图，在四边形ABCD中，AB=CD=3，AD=BC=4，AC=5，求证：四边形ABCD是矩形．
16． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点B作交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AOBF为矩形；
（2）若，求菱形ABCD的面积．
17．如图，中，点D是上一点，点E是的中点，过点C作，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，如果点D是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是菱形？证明你的结论．
18．探究：
如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
（1）求证：∠ANC=∠ABE．
（2）应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
四、综合题
19．如图，E、F是 ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF，请你以点F为一个端点与图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并说明它与图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）．
（1）连结 ；
（2）猜想： = ；
（3）证明：
20．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC.
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为 时，四边形BCEF是菱形.
21．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N， ， .
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知 ，连接BN，若BN平分 ，求CN的长.
22．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；
（3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2．在任意△ABC中，c2=a2+b2+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．
23．如图 ，在 中， ，过点 的直线 ， 为 边上一点，过点 作 ，交直线 于点 ，垂足为点 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）如图 ，当点 是 中点时，连接 .
①四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当 时，四边形 是正方形.（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】3
【解析】【解答】如图所示：
∵ 平分 ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【分析】由角平分线的性质可得∠ADE=∠CDE，由平行四边形的性质可得AD∥BC，所以∠ADE=∠DEC，∠CDE=∠CED，根据等角对等边及已知条件可得CD=CE=AB=5，所以BE=BC-CE=AD-CE=3.
2．【答案】3
【解析】【解答】解：如图，延长AD，BC交于点P，
∵CE⊥BC，∴ ，
又∵∠BEC＝∠DEC，CE=CE，
∴ ，
∴PC=BC，
∵AB∥DC，
∴CD是 的中位线，
∴.
故答案为：3.
【分析】延长AD，BC交于点P，易证△BCE≌△PCE，得到PC=BC，易得CD是△ABP的中位线，据此求解.
3．【答案】(﹣2，4)
【解析】【解答】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A(2，1)，B(0，5)，
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM(AAS)，
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是(﹣2，4)；
故答案为：(﹣2，4)．
【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．
4．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∵，即，
，
在中，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积和= 三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积
=
．
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，根据正方形的性质可得∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°，由同角的余角相等可得∠FAC=∠ABC，证明△FAH≌△ABN，得到S△FAH=S△ABN，根据面积间的和差关系可得S△ABC=S四边形FNCH=S3，由题意可得S空白=S正方形ABGF-S3=16，则AB2-S△ABC=16，结合三角形的面积公式以及勾股定理、完全平方公式可得BC·AC的值，然后根据S阴影=三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积进行计算.
5．【答案】A
【解析】【解答】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
6．【答案】D
【解析】【解答】A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）由矩形的判定可知：对角线相等且平分的四边形是矩形；
（2）由菱形的判定可知：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
（3）由正方形的判定可知：对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形；
（4）由平行四边形的判定可知：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等，
故答案为：B．
【分析】根据正方形和菱形的性质逐项判断即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图在 矩形中，，由矩形的性质勾股定理可得：，由根据矩形的对角线互相平分可得：，又因为 点、分别是、的中点 ，所以由中位线定理得：.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可求得：，又利用矩形的对角线互相平分得到：，然后在利用中位线定理求解即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图设交于点O，
菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
，
解得
故答案为：C
【分析】设交于点O，先利用勾股定理求出BC的长，再结合，将数据代入求出即可。
11．【答案】B
【解析】【解答】解：A.正六边形的内角和是（6-2） ×180°=720°，故是假命题；
B.点（﹣2，3）与（2，3）关于y轴对称，是真命题；
C.=4的算术平方根是2，故是假命题；
D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故是假命题；
故答案为：B.
【分析】根据n边形的内角和公式(n-2)×180°可判断A；关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此判断B；根据算术平方根的概念可判断C；根据正方形的判定定理可判断D.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）符合题意；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）符合题意；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）不符合题意；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，然后求出AF=DE，再利用“SAS”证明△ABF≌△DAE，根据全等三角形对应 相等可得AE=BF，从而判定出（1）正确；在根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠EAD，然后证明∠ABF+∠EAB=90°，即可得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断（2）正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE >AB，从而判断（3）错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△DAE，然后都减去S△AOF，即可得解，从而判断（4）正确。
13．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC、DM、CM，由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=，
∵∠D=60°，
∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB∥CD，AB=2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由作法得MN垂直平分CD，则AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，根据菱形的性质可得AB=BC=AD，推出△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，则∠BCD=120°，据此判断A；当AB=3时，CE=DE=，根据勾股定理可得AE、BE，据此判断B；根据菱形的性质可得BC=CD=2CE，据此判断C；根据等高的三角形面积之比等于底之比可判断D.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
点E，F分别是，的中点，
∴是三角形AOD的中位线，
．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质可得∠BAD=90°，AD=BC=8，OD=OB，利用勾股定理可求出BD=10，即得OD=5，根据三角形中位线定理可得EF=OD，继而得解.
15．【答案】解：∵四边形ABCD中，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=5，
则有 ，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理求出AB，BC，AC的关系，从而判断出∠ABC=90°即可得出结论．
16．【答案】（1）证明：，
，E是AB的中点，
，
在和中，
，
，
四边形AOBF是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，
，
，
平行四边形AOBF为矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，
，
，点E是AB的中点，
，
，
，
，
，
解得：（负值己舍去），
，
．
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△AOE≌△BFE，可得EO=EF，结合点E是AB的中点，可证四边形AOBF是平行四边形， 由菱形的性质可得∠AOB=90°，根据矩形的判定定理即证；
（2）由菱形的性质可得， 再利用勾股定理求出OA的长，从而得出AC、BD的长，根据 进行计算即可．
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，．
∵点E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：当时，四边形是菱形．
证明如下：
由（1）知，，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是直角三角形．
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定以及全等三角形的证明，
（1）求证两个三角形全等，可证明两个对应角相等和一条对应边相等则是全等三角形，本题直接证明，，即可；
（2）证明四边形是菱形，即证明四边形的四条边相等，本题可使用逆向思维，在证明四边形是菱形的证明过程中缺失的条件就是AC与BC需要满足的条件.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在△ANC和△ABE中
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC=∠ABE．
（2）3
【解析】（2）解：应用：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ= BC=3，
故答案为：3．
【分析】（1）根据正方形的四条边相等和四个角是直角得出 △ANC和△ABE全等的条件，根据SAS判定△ANC≌△ABE ，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
（2）根据第一问的结论和正方形的四个角是直角得出∠BPC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.
19．【答案】（1）DF
（2）BE；DF
（3）证明：连接BF，连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF
【解析】【分析】作辅助线证明线段相等，结合题意联想到证明四边形BEDF是平行四边形，所以连接BF，DF，再根据平行四边形的判定定理3（对角线互相平分的四边形是平行四边形）得证四边形BEDF是平行四边形，从而证明了BE=DF。
20．【答案】（1）证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图，连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠DEF=90°，DE=8，EF=6，
∴DF= =10，
∴S△DEF ，
∴EG ，
∴FG=CG ，
∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣ = .
故答案为： .
【分析】（1）用边角边易证得△ABC≌DEF，即可得BC＝EF， ∠ACB=∠DFE， 可由推出 BC∥EF， 进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，用勾股定理求出FG的长，然后由线段的构成AF=CD=DF﹣2FG可求解.
21．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：∵BN平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）先证得 ，再利用等量代换证得 ，证得 ，即可证明绪论；
（2）利用角平分线的定义和平行线的定义可证得 ，根据等角对等边可求得 .
22．【答案】（1）解：∵四边形ABFG、BCED是正方形，
∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△FBC中，
，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
（2）解：连接FD，设CF与AB交于点N，
∵△ABD≌△FBC，
∴AD=FC，∠BAD=∠BFC，
∴∠AMF=180°﹣∠BAD﹣∠CNA=180°﹣（∠BFC+∠BNF）=180°﹣90°=90°，
∴AD⊥CF，
∵AD=6，
∴FC=AD=6，
∴S四边形AFDC=S△ACD+S△ACF+S△DMF﹣S△ACM，
= AD CM+ CF AM+ DM FM﹣ AM CM，
=3CM+3AM+ （6﹣AM）（6﹣CM）﹣ AM CM，
=18；
（3）解：∵在△ABC中，设BC=a=3，AC=b=2，AB=c，
∴a﹣b＜c＜a+b，即1＜c＜5，
∴1＜c2＜25，即1＜a2+b2+k=13+k＜25，
解得：﹣12＜k＜12．
【解析】【分析】（1）根据四边形ABFG、BCED是正方形得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得到三角形全等；（2）连接FD，由（1）的三角形全等，得到AD=FC，∠BAD=∠BFC，利用等式的性质及垂直定义得到AD与CF垂直，四边形AFDC面积=三角形ACD面积+三角形ACF面积+三角形DMF面积﹣三角形ACM面积，求出即可；（3）根据a，b及c为三角形三边长，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出关于c的不等式，将a与b的值代入求出c的范围，进而确定出c2的范围，即a2+b2+k的范围，即可求出k的范围．
23．【答案】（1）证明：∵
∴
∵ ，
∴
∴ ， .
∴四边形 为平行四边形
∴ .
（2）解：①四边形BECD是菱形． ∵由（Ⅰ）知：四边形DECA是平行四边形， ∴CE=DA，CE∥AD 在Rt△ABC中，∵点D是AB的中点， ∴BD=DC=DA， ∴四边形BECD是菱形． ；45°
【解析】【解答】（2）②当∠A=45°时，
由于四边形DECA是平行四边形，
∴∠EDB=∠A=45°，
又∵BE=BD，
∴∠BED=∠EDB=45°，
∴∠EBD=90°．
由于四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为45°
【分析】（1）证明DE∥AC，利用平行四边形的判定和性质得结论；（2）①先证明四边形BECD是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半说明邻边相等，证明该四边形是菱形；②由菱形、正方形、平行四边形的性质可得结论．
