人教版2023-2024学年八年级数学下册期中模拟卷
(
贴条形码区
考生禁填
： 缺考标记
违纪标记
以上标志由监考人员用
2B
铅笔
填涂
选择题填涂样例
：
正确填涂
错误填
涂
[×] [√] [／]
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2．选择题必须用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5
mm
黑
色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4
．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
注意事项
) (
姓
名：
__________________________
准考证号：
)答题卡
(
一、
单项
选择题：本题共
10
小题，每小题
3
分，共
3
0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
9
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
10
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二
、填空题：本题共
6
小题，每小题
3
分，共
18
分。
1
1
.
_________________
1
4
. ________________
1
2
.
_________________
1
5
.
________________
_
13. _________________
1
6
.
________________
_
三
、解答题：本题共
8
小题，共
72
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17.（8分）
先化简，再求值：
，其中
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
18
．（
8
分）
19
．（
8
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
20
．（
8
分）
21
．（
8
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
22
．（
10
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
23
．（
10
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
24
．（
12
分）
)人教版2023-2024学年八年级数学下册期中模拟卷
（满分：120分 第16-18章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．要使有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2 ＝4 B．2+＝2 C．＝+2 D．＝2
3．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为( )
A． B． C． D．
4．如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．菱形的边长都是16cm，若AB=16cm，则∠1等于
A．100° B．110° C．120° D．135°
6．将1，，，按右侧方式排列，若规定表示第排从左向右的第个数，则与表示的两数之积是（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．
10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题：本题共6小题，共18分。
11．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|+＝ ．
12．如图，已知在中，是边上的中线，，则的长度是 ．
13．如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是 ．
14．如图，DE∥BC，AE=EC，延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，FC，CD，则图中四边形ADCF是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连AH，CG．若CD=8，AD=6，AH=，EF=4，则CG的长为
16．如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，第24题12分。
17．先化简，再求值：，其中.
18．在Rt△ABC中， ∠C=90°．（1）若a=b=5，求c；（2）若a=5，∠A=30°，求b，c．
19．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．
求证：．
20．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
21．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
22．在正方形ABCD中，E，F分别在CD，AD上（均不与端点重合），连接AE．
（1）特例感知：如图1，连接BF，若BF⊥AE，垂足为M，求证：BF＝AE；
（2）类比探究：如图2，过AD上一点P（不与点F重合）作PQ⊥AE，垂足为N，交BC于Q，判断线段PQ与AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，若N是AE的中点，AB＝8，PD＝3，请直接写出PQ的长．
23．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接．
(1)如图1，当点在边上时，填空：
①与的数量关系是_______，
②与的位置关系是_______；
(2)如图2，当点在菱形外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，在点的移动过程中，连接，，若，，请直接写出四边形的面积．
24．问题提出：
(1)如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝BD，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是正方形．
问题解决：
(2)如图2，某市有一块四边形土地ABCD，AD＝60米，DC＝80米，∠ADC是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地△APD，△APB，△BCP，△CPD中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形ABCD各边的中点E，F，G，H，然后在四边形EFGH的四条边EF，FG，GH，EH铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元/米，经测量AP＝BP，CP＝DP，∠APB＝∠CPD＝90°，设计要求是四边形EFGH为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．人教版2023-2024学年八年级数学下册期中模拟卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．要使有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．解题的关键是掌握被开方数为非负数．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2 ＝4 B．2+＝2 C．＝+2 D．＝2
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．
【详解】解：A、原式=2×2=4，所以A选项的计算正确；
B、2与不能合并，所以B选项的计算不正确；
C、原式=，所以C选项的计算不正确；
D、原式=，所以D选项的计算不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，灵活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
3．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同理二次根式的定义判断即可．
【详解】解：=2
A. ，不能与进行合并；
B. =4，不能与进行合并；
C. =3，不能与进行合并；
D. =4，能与进行合并；
故选D.
【点睛】本题考查的是同理二次根式的定义，掌握二次根式的性质是解题的关键．
4．如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据勾股定理及其逆定理即可判断；
【详解】解：∵AB2＝12+22＝5，AC2＝32+42＝25，BC2＝22+42＝20，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故选B．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出三边关系．
5．菱形的边长都是16cm，若AB=16cm，则∠1等于
A．100° B．110° C．120° D．135°
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，再结合菱形的性质即可求得结果.
由题意得得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则可得∠1=120°，故选C.
考点：本题考查的是等边三角形的判定和性质，菱形的性质
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握菱形的性质，即可完成.
6．将1，，，按右侧方式排列，若规定表示第排从左向右的第个数，则与表示的两数之积是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数…第排有个数，从第1排到第排共有：个数，从数的排列方法，四个数不断循环，找到第5排从左往右第4个数，第9排从左往右第4个数，然后可以得到答案．
【详解】解：表示第5排从左往右第4个数是，
前八排共有：个数，
∵
∴第八排最后一个数是：
∵表示第排第个数，
∴第排第个数是，
∴与表示的两数之积是：．
故选：C．
【点睛】本题是规律题的呈现，以及二次根式的乘法运算，掌握从具体情境中抽象出一般规律，以及二次根式的乘法是解题的关键．
7．如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据翻折的性质可得出“BF=B′F，∠BFE=∠B′FE，设AE=A′E=x，∠A′B′F=∠B=90°，∠A′=∠A=90°”，根据平行线的性质以及∠EFB=60°即可得出∠B′EF=∠B′FE=60°，进而得出△B′EF为等边三角形，在Rt△A′B′E中，结合特殊角、勾股定理求出B′E的长度，再依据等边三角形的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠A=90°，AD∥BC．
由翻折的性质可知：
BF=B′F，∠BFE=∠B′FE，设AE=A′E=x，∠A′B′F=∠B=90°，∠A′=∠A=90°．
∵∠EFB=60°，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠EFB=∠B′FE=60°，
∴△B′EF为等边三角形，
∴∠EB′F=60°．
在Rt△A′B′E中，A′E=x，∠A′=90°，∠A′B′E=∠A′B′F-∠EB′F=30°，
∴EB′=2 A′E=2x，AE+ EB′=AB′，即x+2x=9，解得x=3，所以AE=A′E=3，EB′=6，
由勾股定理得：AB=A′B′=3，所以 S△EFB′′=×6×3=9.
故选B.
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出B′E的长度．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是解题关键．
8．如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【详解】∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠DCE=∠E，
∴∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故选B．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
9．如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．
【答案】B
【分析】由折叠可得EF＝BE＝2，∠CFE＝∠B＝90°，且∠FAE＝45°可得AF＝2，AE＝2，即可求对角线BD的长，则可求△CDF面积.
【详解】如图连接BD交AC于O，
∵ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∠BAC＝45°，
∵△BCE沿CE翻折，
∴BE＝EF＝2，BC＝CF，∠EFC＝90°，
∵∠BAC＝45°，∠EFC＝90°，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，
∴AF＝EF＝2，
∴AE＝2，
∴AB＝2+2＝BC＝CF，
∴BD＝AB＝4+2，
∴OD＝2+，
∵S△CDF＝×CF×DO＝3+4，
故选B．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题．
10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．
④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，共18分。
11．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|+＝ ．
【答案】2
【分析】先根据数轴写出a的取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的非负性化简即可.
【详解】解：∵由图可知，2＜a＜4，
∴原式＝a﹣2+
＝a﹣2+4﹣a
＝2．
故答案为2．
【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握利用数轴比较大小、二次根式的性质和绝对值的非负性是解决此题的关键.
12．如图，已知在中，是边上的中线，，则的长度是 ．
【答案】3
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是 ．
【答案】/25度
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．根据斜边中线的性质求得，再推出，再根据三角形的外角性质得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，DE∥BC，AE=EC，延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，FC，CD，则图中四边形ADCF是 ．
【答案】平行四边形
【详解】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断．
15．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连AH，CG．若CD=8，AD=6，AH=，EF=4，则CG的长为
【答案】
【分析】延长HG交BC于点I，根据矩形ABCD中，AB=CD=8，AD=BC=6，∠B=90°，正方形EFGH中，∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，EF=EH=GF=4，推出∠FGI=∠GFB=90°，推出∠HIB=90°，推出四边形GFBI是矩形，推出BI=GF=4，GI=BF，得到CI=BC-BI=2，根据，得到BF=AB-AE-EF=8-1-4=3，用勾股定理推出．
【详解】解：如图：延长HG交BC于点I，
∵矩形ABCD中，AB=CD=8，AD=BC=6，∠B=90°，正方形EFGH中，∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，EF=EH=GF=4，
∴∠FGI=∠GFB=90°，
∴∠HIB=90°，
∴四边形GFBI是矩形，
∴BI=GF=4，GI=BF，
∴CI=BC-BI=2，
∵，
∴BF=AB-AE-EF=8-1-4=3，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形，正方形，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，勾股定理解直角三角形，是解决本题的关键．
16．如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是 ．
【答案】
【分析】先根据三角形的中位线定理与直角三角形的性质，可得，然后过点作于，根据等腰三角形性质与直角三角形性质可得和的长度，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于．
，，，
，
点和点分别是和的中点，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质与三角形面积公式等知识，熟练掌握相关的定理、性质与公式是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，第24题12分。
17．先化简，再求值：，其中.
【答案】
【详解】试题分析：整式的运算顺序有小括号的先算括号内的,然后乘方,再次乘除,最后加减,分式的加减先通分,后计算,同分之前要把分母因式分解,找出最简公分母,然后进行计算,由题,原式===
=,（4分）
当时,原式=
===1.（8分）
试题解析：解:原式=
=
=
=,
当时,原式=
=
==1.
考点：整式的运算.
18．在Rt△ABC中， ∠C=90°．（1）若a=b=5，求c；（2）若a=5，∠A=30°，求b，c．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求得c，再根据勾股定理即可求得b的长．
【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，a=b=5，
∴；（4分）
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，a=5，∠A=30°，
∴，
∴．（8分）
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，熟记含30度角的直角三角形的性质．
19．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，（2分）
在△BEC和△DFC中，
，（6分）
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．（8分）
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．
20．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
【答案】（1）50°；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD=FH，进而解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（4分）
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．（8分）
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)能，时，四边形为菱形
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质得出，得出，再证明即可；
（2）先根据含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理解求出，进而求出，根据列出等式，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，，，
，
又，
．
，
，即，
四边形是平行四边形．（3分）
（2）解：能．理由如下：
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形．
，，
，
，
，（5分）
，，
，
若使为菱形，则需，即，
解得，
即当时，四边形为菱形．（8分）
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法．
22．在正方形ABCD中，E，F分别在CD，AD上（均不与端点重合），连接AE．
（1）特例感知：如图1，连接BF，若BF⊥AE，垂足为M，求证：BF＝AE；
（2）类比探究：如图2，过AD上一点P（不与点F重合）作PQ⊥AE，垂足为N，交BC于Q，判断线段PQ与AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，若N是AE的中点，AB＝8，PD＝3，请直接写出PQ的长．
【答案】（1）见解析；（2）PQ＝AE，见解析；（3）
【分析】（1）利用正方形的性质，证明△ABF≌DAE，即可得到结论；
（2）证明四边形BFPQ是平行四边形，推出BF＝PQ，由BF＝AE，得到PQ＝AE；
（3）连接PE，根据垂直平分线证得AP=EP，由勾股定理求出DE及AE即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝AD．
∵BF⊥AE，
∴∠AMF＝90°，
∴∠AFB＋∠DAE＝∠AED＋∠DAE＝90°，
∴∠AFB＝∠AED．
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌DAE．
∴BF＝AE． （3分）
（2）PQ＝AE．
证明：∵PQ⊥BF，
∴∠ANP＝∠AMF＝90°，
∴BF∥PQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴四边形BFPQ是平行四边形．
∴BF＝PQ．
∵BF＝AE，
∴PQ＝AE． （6分）
（3）连接PE，
∵PQ⊥AE，N为AE中点,
∴PQ垂直平分AE，
∴AP=EP，
∵AD=AB=8，PD=3，
∴EP=AP=5，
∵，
∴，
∴，
∴．（10分）
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟记各知识点并熟练运用是解题的关键．
23．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接．
(1)如图1，当点在边上时，填空：
①与的数量关系是_______，
②与的位置关系是_______；
(2)如图2，当点在菱形外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，在点的移动过程中，连接，，若，，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)①，②
(2)结论仍然成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）①连接，先判断出点在上，进而利用判断出，即可得出结论；②先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）结论仍然成立，再分两种情况：①当点在线段上时，先判断出，进而利用判断出，得出，，即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；
（3）先求出，再分两种情况：分别求出，进而得出，最后用面积的和即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，连接，
①在菱形中，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，且点在边上，
，，
，
点在上，
在和中，
，
，
，
故答案为：；（2分）
②由①知，点在上，
，是菱形的对角线，
，
，
由①知，，
，
，
故答案为：；（4分）
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
①当点在线段上时，如图2，连接交于，设交于．
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即．（6分）
②当点在的延长线上时，如图3，连接交于，设交于．
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即．（8分）
（3）解：由（2）知，，
，
是菱形的对角线，
，，
在中，，
，，
，
四边形是菱形，
，
①当点在线段上时，如图4，
，
，
由（2）知，，
，
；
②当点在线段的延长线上时，如图5，
，
，
由（2）知，，
，
，（10分）
即四边形ACDE的面积为或．
【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．问题提出：
(1)如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝BD，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是正方形．
问题解决：
(2)如图2，某市有一块四边形土地ABCD，AD＝60米，DC＝80米，∠ADC是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地△APD，△APB，△BCP，△CPD中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形ABCD各边的中点E，F，G，H，然后在四边形EFGH的四条边EF，FG，GH，EH铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元/米，经测量AP＝BP，CP＝DP，∠APB＝∠CPD＝90°，设计要求是四边形EFGH为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析 ；
(2)符合，证明见解析；4000元．
【分析】（1）根据正方形的判定定理证明即可；
（2）连接AC，BD，AC与BD相交于点O．证明，得到，再证明 AC⊥BD，利用四边形EFGH为正方形．由勾股定理，得AC＝100（米），（米），即可求出铺设地砖所需的费用．
【详解】（1）证明：∵E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形EFGH是菱形，
∵，
∴，
∴四边形EFGH是正方形．（6分）
（2）解：符合．
如图，连接AC，BD，AC与BD相交于点O．
∵，
∴，
在和中，
∴，（8分）
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴AC⊥BD，（10分）
由（1）可知，四边形EFGH为正方形．
∵米，米，
∴由勾股定理，得（米），
∴（米），
（元）．
∴铺设地砖所需的费用为4000元．（12分）
【点睛】本题考查正方形的判定定理和性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理和性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理．
