天津市红桥区2023-2024学年九年级下学期一模考试
数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第 1 页至第 3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分 120分．考试时间 100分钟．
答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ 卷
注意事项：
1． 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2． 本卷共12题， 共36分．
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 的值等于（ ）．
A. B. C. D. 1
2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（ ）
A. B. C. D.
7. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A. B. C. D.
8. 若点，，都在反比例函数 图象上， 则， ，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图， 在中， E是边上一点， 连结相交于点F． 若 则 等于（ ）
A. B. C. D.
10. 已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A B. C. D.
12. 已知开口向下的抛物线 (a，b，c为常数，与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线． 有下列结论：① ； ②方程的两个根为 ③抛物线上有两点和，若且 则其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
九年级数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B 铅笔)．
2．本卷共13题， 共84分．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13. 一个不透明的袋子里装有个球，其中有个红球，个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为________．
14. 的值等于______．
15. 反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________．
16. 若二次函数(k为常数) 的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是_____．
17. 如图， 在矩形中，，， 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心， 大于 长为半径画弧(弧所在圆的半径相等)，两弧相交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，垂足为O，则的长为______．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上．
①线段 的长等于______；
②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)______．
三、解答题(本大题共7小题，共66分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19. 如图，在中， ，求的值．
20. 在 中，D，E分别为边，上的点，若，，，．
（1）求证：；
（2）若 ，求的长．
21. 已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上．
（1）求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；
（2）判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）若Q为x轴上一点，且，求的面积．
22. 已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）如图①，若为中点，求的大小；
（2）如图②，连接与相交于点，求证：．
23. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向上的处，它沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．求此时海轮距灯塔的距离（结果取整数）．参考数据：，取1.4．
24. 在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，．
（1）填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______；
（2）如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长；
（3）若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)．
25. 已知抛物线 (a，b为常数， 经过两点， 与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若P是直线上方该抛物线上一点，且 ，求点P坐标．天津市红桥区2023-2024学年九年级下学期一模考试
数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第 1 页至第 3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分 120分．考试时间 100分钟．
答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ 卷
注意事项：
1． 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2． 本卷共12题， 共36分．
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 的值等于（ ）．
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值来计算即可.
【详解】
故选：C.
【点睛】本题考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键.
2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可判断．
【详解】解：选项A是轴对称图形而不是中心对称图形，
选项B是轴对称图形不是中心对称图形，
选项C是轴对称图形而不是中心对称图形，
选项D是既轴对称图形又是中心对称图形．
故选：D．
3. 下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的识别，形如（k为常数且）的函数叫做反比例函数，由此判断即可．
【详解】解：A，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
B，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
C，是二次函数，不是反比例函数，不合题意；
D，是反比例函数，符合题意；
故选D．
4. 下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键．根据主视图是从正面看到的图，即可解答．
【详解】解：该立体图形的主视图为：．
故选：A．
5. 如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断．
【详解】解：，
，
、，故不符合题意；
、结论正确，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选：B．
6. 若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵的两个根分别为、 ，
∴，
故选：．
7. 若两个相似多边形面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可．
【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为，
故选：A．
8. 若点，，都在反比例函数 的图象上， 则， ，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查比较反比例函数自变量的大小，将函数值代入求出对应的自变量x，比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数 的图象上，
，，，
解得，，
，
故选B．
9. 如图， 在中， E是边上一点， 连结相交于点F． 若 则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．四边形是平行四边形，则，，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，，
又∵
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
10. 已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限，
∴，
∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限，
符合的图象为A，
故选A．
11. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，
由图可知，，，
.
根据镜面的反射性质，
∴，
∴，
，
，
.
小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，
，，.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.
12. 已知开口向下的抛物线 (a，b，c为常数，与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线． 有下列结论：① ； ②方程的两个根为 ③抛物线上有两点和，若且 则其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】解：画出抛物线大致示意图：
由图象可知：，抛物线与轴另一个交点为，
①当时， ，①正确；
②由可得方程两根关系为:，
∵方程的两根为，
，推导出，
而若方程 的两个根为，
则，故方程的两个根为，②正确；
③抛物线开口向下，对称轴为直线若 ，且，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，则，③正确；
故选: D．
九年级数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B 铅笔)．
2．本卷共13题， 共84分．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13. 一个不透明的袋子里装有个球，其中有个红球，个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为________．
【答案】##0.375
【解析】
【分析】直接利用概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵袋子里装有个球，其中有个红球，个白球，
∴从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算，熟知概率计算公式是解答的关键．
14. 的值等于______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】设反比例函数的解析式为 ，由已知把（-1，2）代入解析式求得k的值，即可求出解析式．
【详解】设反比例函数的解析式为 ，
把（-1，2）代入则有，
解得：k=-2，
所以反比例函数的解析式为：y=﹣，
故答案为y=﹣．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
16. 若二次函数(k为常数) 的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程，根的判别式是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
17. 如图， 在矩形中，，， 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心， 大于 长为半径画弧(弧所在圆的半径相等)，两弧相交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，垂足为O，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，关键是由角平分线的性质，三角形面积公式求出的长，由，推出，即可求出．
设交于K，过K作于H，由矩形的性质推出，，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，由角平分线的性质得到，因此，求出，由勾股定理求出，由，推出，即可求出的长．
【详解】解：设交于K，过K作于H，
∵四边形是矩形，
，，
，
，
的面积的面积的面积，，
由题意知：平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上．
①线段 的长等于______；
②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)______．
【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、矩形的判定，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
①利用勾股定理解题即可；
②先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用对角线相等且平分的四边形是矩形作图即可．
【详解】①，
②如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求．
三、解答题(本大题共7小题，共66分． 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19. 如图，在中， ，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，正弦、余弦、正切．熟练掌握是解题的关键．
20. 在 中，D，E分别为边，上的点，若，，，．
（1）求证：；
（2）若 ，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
（1）证明，得出即可；
（2）根据得出，然后代入数据求值即可．
【小问1详解】
解：∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴
∴，
解得：．
21. 已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上．
（1）求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；
（2）判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）若Q为x轴上一点，且，求的面积．
【答案】（1），该反比例函数的图象在第一、 三象限
（2）点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可；
（2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可；
（3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵ 点在该反比例数的图象上，
∴，
解得．
∵，
∴该反比例函数的图象在第一、 三象限．
【小问2详解】
解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为，
当时，；
当时，；
当时，；
∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上．
【小问3详解】
解：∵Q为x轴上一点，且，
∴是等腰三角形，且点Q坐标为，
∴，
∴的面积为6．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键．
22. 已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）如图①，若为的中点，求的大小；
（2）如图②，连接与相交于点，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质和垂径定理和圆周角定理，解题关键熟练运用修改性质进行推理证明．
（1）连接，如图①，先根据切线的性质得到，再利用余弦的定义求出，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到，所以，然后利用互余得到的度数；
（2）连接，如图②，根据垂径定理得到，再利用等角的余角相等得到，加上，从而得到．
【小问1详解】
解：连接，如图①，
与相切于点，
，
，
为的中点，
，
，
在中，
，
，
点为的中点，
，
，
；
【小问2详解】
证明：连接，如图②，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
．
23. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向上的处，它沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．求此时海轮距灯塔的距离（结果取整数）．参考数据：，取1.4．
【答案】此时海轮距灯塔的距离约为63海里．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
过点作于，设海里，根据等腰直角三角形的性质用表示出，根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：过点作于，
设海里，
由题意得，，，海里，
在中，，
（海里），（海里），
在中，，，
则，
由题意得，，
解得，，
则（海里），
答：海轮距灯塔的距离约为海里．
24. 在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，．
（1）填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______；
（2）如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长；
（3）若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过作轴于H，由，D为中点，得，即得，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，知，故；由，，可得轴，，从而，可得，，故；
故答案为：；
（2）当点落在上时，过作轴于M，求出，即可得，，故；；
（3）由C，D分别为，的中点，可得，，从而，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，可得，，即得，，知M在以O为圆心，为半径的圆上运动；当最大时，M在的延长线上，求出，即最大值为
；当最小时，M在线段上，，即最小值为．
【小问1详解】
解：过作轴于H，如图：
，D为中点，
，
，
∵以点O为中心，逆时针旋转，得，
，
∵点落在y轴上，
；
，C为中点，
，
，
轴，，
，
，
，，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：当点落在上时，过作轴于M，如图：
由（1）知，，，，
，
，，
，
，
；
∴点的坐标为，的长为；
【小问3详解】
解：如图：
∵C，D分别为，的中点，
是的中位线，
，，
，
∵以点O中心，逆时针旋转，得，
，，
是的中点，
，
，
在以O为圆心，为半径的圆上运动；
当最大时，如图：
此时M在的延长线上，
，
，
；
即最大值为；
当最小时，如图：
此时M在线段上，，
最小值为；
综上所述，最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握含的直角三角形三边的关系．
25. 已知抛物线 (a，b为常数， 经过两点， 与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若P是直线上方该抛物线上一点，且 ，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）求出，根据即可求出答案；
（3）设，求出由得到，则． 得到．求出的解析式为联立得到解得 (舍去) 或 即可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解∶ ∵ 点在抛物线上，
，
解得 ，
∴ 该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由得顶点 ，
如图， 过点D作轴， 垂足为E．
当时，， 可得点C的坐标为．
∴，
；
【小问3详解】
如图， 过点C作， 交于点F， 过点 F作轴， 垂足为G，
设，
∵，
∴．
∴，
由 ，
，
又，
∴．
∴．
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴ 直线，
即 ，
解得 (舍去) 或 ，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键．
