2024年济南市九年级中考数学试卷模拟练习卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 2024的相反数数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 .华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5. 在下列算式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6 .某班15名男生引体向上成绩如表：
个数 17 12 10 7 2
人数 2 3 4 5 1
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，7 B．10，10 C．7，10 D．7，12
若点，，在反比例函数的图象上，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，
两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．
若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
10 . 二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：
①; ②; ③最大值为;④当时，;
⑤时，随增大而减少 ， 其中，正确的有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11.分解因式： ．
一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
13. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
14 .如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
16 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
19.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F在对角线BD上，DF=BE，连接AE，CF．求证：∠DAE=∠BCF．
20. 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，
求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查
（每个被调查学生只能选择其中一种项目），对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
此次调查抽取的学生人数为______人；
(2) 补全条形统计图；
(3) 学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，
请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率．
如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，
与相交于点E．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
23. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其中点的坐标为．
求一次函数与反比例函数的解析式；
连接，，求的面积；
请根据图象直接写出不等式的解集．
25. 如图①，抛物线与x轴交与、两点．
求该抛物线的解析式；
设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段的最大值：
26. 【问题发现】
（1） 如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年济南市九年级中考数学试卷模拟练习卷及解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 2024的相反数数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的相反数数是
故选：C
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3 .华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，
其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由互余可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得结果．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵直尺的两边平行，
∴．
故选：B．
5. 在下列算式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
6 .某班15名男生引体向上成绩如表：
个数 17 12 10 7 2
人数 2 3 4 5 1
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，7 B．10，10 C．7，10 D．7，12
【答案】C
【分析】根据中位数和众数的定义，即可求解．
【详解】解：∵引体向上做7个的人数最多，
∴众数为：7个，
∵第7和第8个人的引体向上个数都是10个，
∴中位数为：10个，
故选C．
若点，，在反比例函数的图象上，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为一、三，其中在第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可．
【详解】解：∵反比例函数的比例系数为，
∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标，点在第三象限，点B、C在第一象限，
∴最小，
∵，，，y随x的增大而减小，
∴，
∴．
故选：B．
8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
故选：B．
9 . 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，
两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．
若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
10 . 二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：
①; ②; ③最大值为;④当时，;
⑤时，随增大而减少 ， 其中，正确的有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的交点在轴的正半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
由图可知：当时，图像在x轴下方，
则，故②正确；
当时，函数取最大值，且为，故③错误；
∵对称轴为直线，图像与x轴交于，
∴图像与x轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向下，
∴当时，，故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴时，随增大而增大，故⑤错误；
∴正确的有①②④，共3个，
故选B
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11.分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握完全平方公式的逆用，即可解题．
【详解】解：，
故答案为：．
一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
13. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
【答案】m≤0且m≠-1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且△=（-2）2-4（m+1）×1≥0，然后求写出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得m+1≠0且△=（-2）2-4（m+1）×1≥0，
解得m≤0且m≠-1．
故答案为m≤0且m≠-1．
14 .如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20/二十
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
16 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】，不等式组的整数解是3，4，5
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是，
整数解为3，4，5．
19.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F在对角线BD上，DF=BE，连接AE，CF．求证：∠DAE=∠BCF．
【答案】证明见解析
【详解】试题分析：根据平行四边形的性质推出AD=BC，AD∥BC，推出∠ADE=∠CBF，根据SAS证△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质推出即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DAE=∠BCF．
20. 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，
求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查
（每个被调查学生只能选择其中一种项目），对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)此次调查抽取的学生人数为______人；
(2)补全条形统计图；
(3)学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，
请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率．
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据羽毛球的人数和所占百分比计算可得结果；
（2）求出乒乓球的人数补图即可；
（3）画出树状图，可得有16种等可能结果，找出符合题意的可能结果计算概率．
【详解】（1）解：人，
故答案为：100；
（2）解：乒乓球的人数为：人，如图所示
（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，
画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能结果，其到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，
所以概率为．
．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，
与相交于点E．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证；
（2）在中，由勾股定理即可求半径．
【详解】（1）证明：连接OD；
∵与BC相切于点D
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线；
（2）解：∵
∴在中；
∵，
，
设圆的半径为r，
∴
解得，
∴圆的半径为3
∴．
23. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其中点的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：；
(2)的面积2.5
(3)或
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
（2）首先把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出B点坐标，然后利用的面积代入求解即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数的解析式中，
可得：，
解得：，
所以一次函数的解析式为：；
把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，
可得：，
所以反比例函数的解析式为：；
（2）解：如图所示，连接，，设一次函数与y轴的交点为C，
把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组：，
解得：，
经检验，均为原方程组的解，
∴点B的坐标为
当时，
∴点C的坐标为
∴
∴的面积；
（3）解：∵，，
当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
25. 如图①，抛物线与x轴交与、两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值：
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，，，，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点、、三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标；
（3）根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解．
【详解】（1）解：将、代入中，
有：，
解得：；
即抛物线解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
令，即有：，则C点坐标为：，
由可得其对称轴为：，
设直线的解析式为：，
代入、有：
，解得：，
直线的解析式为：，
如图，连接，，，，
∵、，，
∴，
∴的周长为：，
∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
即当点、、三点共线时，有最小，且为，
此时即可得到的周长最小，且为，
如图，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴将代入直线的解析式中，
有：，
即Q点坐标为：；
（3）解：根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，
∵轴，
∴点、的横坐标相同，均为m，
∵点在抛物线上，
∴点坐标为：，
结合图象，根据题意有：，
∴，
整理得：，
∵，且，
∴当时，，
即的最大值为：．
26. 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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