龙岩市2023~2024学年第一学期期末高二教学质量检查
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．
1．计算（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第层的各层的球数构成一个数列，则（ ）
A． B． C． D．
5．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理5门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
6．已知为坐标原点，是直线上一动点，是圆上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
9．已知二项式的展开式，则（ ）
A．常数项是 B．系数为有理数的项共有4项
C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．奇数项的二项式系数和为256
10．已知经过点且斜率为的直线与圆交于不同的两点，线段的中点为，则（ ）
A． B．当时，直线平分圆
C．当时， D．点的轨迹方程为
11．已知直线与抛物线交于两点，且与轴交于点为坐标原点，直线斜率之积为，则（ ）
A．当时，
B．当时，线段中点的轨迹方程为
C．当时，以为直径的圆与轴相切
D．当时，的最小值为10
12．已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（ ）
A．数列的第2项小于 B．数列不可能是等比数列
C．数列为递增数列 D．数列中存在大于的项
第Ⅱ卷（非选择 题共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分
13．编号不同的四个球放入四个不同的盒子中，恰有一个空盒的不同放法有____________种．（用数字回答）
14．已知圆与圆外离，则实数的取值范围为____________．
15．已知椭圆的离心率为是左、右焦点，为椭圆的下顶点，连结并延长交椭圆于点，则直线的斜率为____________．
16．已知数列各项均为1，在其第项和第项之间插人个，得到新数列，记新数列的前项和为，则____________，____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
在的展开式中，____________．
（1）求；
（2）证明：能被6整除．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．（本题满分12分）
在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求的前项和．
19．（本题满分12分）
已知圆的圆心在直线上，并且与直线相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线与圆相交于两点，，过分别作的垂线与轴交于两点，求．
20．（本题满分12分）
抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值．
21．（本题满分12分）
已知函数满足，数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分12分）
已知定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）点满足，直线与双曲线分别相切于点．证明：直线与曲线相切于点，且．
龙岩市2023～2024学年第一学期期末高二教学质量检查
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D B C C D
8.解：由,，得，所以为等腰三角形，
又因为，所以，由，得在中，边上的高为，所以，,在中，由余弦定理得：
，，，即.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 ACD AB AC BCD
12.解：因数列各项均为负数，当时，，可得；
当时，由可得，
解得，A错；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，
即，所以，，
可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，B对；
当时，，
可得，所以数列为递增数列，C对；
假设对任意，，则，
所以，，
与假设矛盾，假设不成立，D对.
故答案为：BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．144 14． 15．
16．2；3985（第一空2分，第二空3分）
16．解：由题意得，考虑中1后面的2的个数，可得当有个1时，2的个数共有，
当时，2的个数总共有1953个，则已有个数，
则为第63个1后面的第8个2，即，
则，
故答案为：2；3985.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （本题满分10分）
解：（1）条件①：取则，解得. 5分
条件②：因为，
所以常数项为，解得. 5分
条件③：即的各项系数和为，取则，
解得. 5分
（2） 7分
所以能被6整除. 10分
18. （本题满分12分）
解：（1）依题意，得，所以， 3分
则，设等差数列的公差为，则，
所以. 6分
（2）
， 9分
所以 . 12分
（也可以写为：当为偶数时；当为奇数时，，或）
19. （本题满分12分）
解：（1）设圆心，则, 4分
所以. 5分
所以圆的标准方程为. 6分
（2）圆心到直线的距离，
解得， 8分
所以直线的倾斜角为或， 10分
由平面几何的知识可知，在梯形中，.
12分
20. （本题满分12分）
解：（1）设点的坐标为，则.
又,，由可得，
解得， 所以抛物线的方程为:. 4分
（2）设，由已知有轴，
即，又点，
∴直线的斜率.
则直线的方程为，即，
联立得，解得，
又时，，则. 8分
设直线的倾斜角为，斜率为，
直线的倾斜角为，
∵射线平分即，
，则，得或（舍去）.
又，解得，
综上：. 12分
法二：设，∵平分，且轴，
由平面几何知识知：,即，
即. 7分
又点， ∴直线的斜率，
则直线的方程为即.
联立得，解得，
， 11分
，解得. 12分
21.（本题满分12分）
解：（1）因为，
由①，
则②，
所以①+②可得：
，
故. 5分
（2）由（1）知，则，
，两式相减得
，. 9分
由对一切恒成立，
可得：对一切恒成立，
即有对一切恒成立. 10分
当时，取得最大值，所以，
故实数的取值范围是. 12分
22.（本题满分12分）
解：（1）设，， 2分
由得：，
整理得：，其中，
所以曲线的方程为：. 4分（未写范围扣1分）
（2）设，因为，，，
设切线的斜率分别为，设的方程为：，
因为，所以，
所以，
所以.
因为，整理得，
即，
所以，同理：.
因为切线均过点，
所以为的两解，
所以，即为直角三角形. 8分
因为，所以，所以，
同理：，
所以直线的方程为：，将直线
代入方程：可得：，
即，所以，，
所以直线与曲线相切，切点， 10分
，所以，所以，
由可得. 12分
