山西省部分学校2024届高三下学期开学质量检测
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
5．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．9 C．16 D．17
6．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据7，8，9，11，10，14，18的平均数为11
B．数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为16
C．随机变量，则标准差为2
D．设随机事件和，已知，，，则
10．正方体的棱长为2，是正方形的中心，为线段上一动点，则（ ）
A．
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．不存在点使得平面
D．三棱锥的体积为定值
11．已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，，若是奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．是奇函数
D．与关于原点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数的部分图象如图，则的图象的一个对称中心为________．
13．已知，，，则的最小值是________．
14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于，两点），则直线与的斜率之积________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
记的内角，，所对的边分别为，，，，的面积为，且．
（1）证明：；
（2）求的外接圆的半径．
16．（本小题满分15分）
如图，已知四边形为菱形，平面，平面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求的长．
17．（本小题满分15分）
2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，．
（1）根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
（2）现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
18．（本小题满分17分）
如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．
（1）若，求切线的方程；
（2）若，求证：直线恒过定点．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．
山西省部分学校2024届高三下学期开学质量检测
数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 由可得
所以．故选C．
2．C 因为，所以，．故选C．
3．B 若两直线平行，则有且，应选B．
4．B 将这5个调研小组分成2，1，1，1这4个小组，然后派往4个社区，所以派出方案种数为．故选B．
5．A 设，则，因为为等比数列，所以，，，仍成等比数列．
因为，
所以
所以
故．故选A．
6．D 因为，所以得，
所以．故选D．
7．D 侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径满足，解得，
所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为，
则，．故选D．
8．B 由题意知，，
所以，，所以，故的方程为，
设，又，，
故，，
所以．故选B．
9．ACD 对于A，，即平均数为11，A正确；
对于B，该组数据共10个，则，
第80百分位数为，B错误；
对于C，，
方差为4，则标准差为2，C正确；
对于D，
，D正确．故选ACD．
10．ABD 对于A项，在中，，是的中点，
所以，故A正确；
对于B项，设是的中点，连接，则，所以是异面直线与直线所成角（或其补角），
在中，，，
所以，故B正确；
对于C项，根据正方体的性质可知，，由于平面，平面，
所以平面，同理可证得平面，由于，，平面，所以平面平面，当时，平面，所以平面，即存在点使得平面，故C错误；
对于D项，，故D正确．故选ABD．
11．ABC 由题意，得，即，
整理，得，所以的图象关于对称，故A正确；
又为偶函数，则，所以，，所以，故B正确；
，故C正确；
因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误．故选ABC．
12．（答案不唯一） 由题图可知，因为当时，，
所以．因为，所以，所以．
由题图可知，所以，所以．
由题图可知，当时，取得最大值，所以，，解得，．
又，所以，
所以．令，，解得，，
所以图象的对称中心为，，当时，图象的一个对称中心为．
13．14 由题意知，，，
则
当且仅当，时等号成立，所以的最小值是14．
14．2 依题意，设双曲线的半焦距为，则，，因为是的中点，
所以，
故由得，
因为，，所以．
在中，
在中，
所以，则，，所以．
15．（1）证明：因为
所以 2分
所以， 4分
整理得，所以． 6分
（2）解：由（1）知，又，所以，， 8分
由余弦定理，得，
所以， 10分
由正弦定理，得，所以 13分
16．（1）证明：因为平面，平面，
所以，
又平面，平面，所以平面 2分
因为四边形为菱形，所以，
又平面，平面，所以平面 4分
因为，，平面，
所以平面平面． 6分
（2）解：设交于点，取中点，连接，所以，底面．
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，所以，
设，则，，，，， 8分
所以，，
设平面的一个法向量为，
则
令，得； 10分
，，
设平面的一个法向量为，
则
令，得 13分
因为平面平面，
所以，解得，
故的长为1． 15分
17．解：（1）因为，，
所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为， 2分
结合男生和女生各50名，填写列联表为：
了解 不了解 合计
男生 15 35 50
女生 30 20 50
合计 45 55 100
3分
零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据
依据的独立性检验，可以推断成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关 7分
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为（人）；
女生人数为（人） 8分
由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
13分
则 15分
18．（1）解：显然切线的斜率存在且不为0，设切线：，
代入，得， 2分
由，解得 4分
所以直线的方程为，
即． 6分
（2）证明：设，，切线：，
代入，得 8分
由，解得． 9分
所以直线的方程为，即 10分
同理直线的方程为 11分
因为在直线和上，
所以
可得点，在直线上，
所以直线的方程为 14分
因为，所以，则直线的方程为，
由可得
故直线过定点 17分
19．解：（1）由题意知的定义域为，， 1分
若，在上恒成立，
所以在上单调递增； 2分
若，令，得，令，得， 4分
所以函数在上单调递增；
在上单调递减 5分
（2）当时，对任意，恒成立，
即为对任意，恒有 6分
令，则不等式等价于，
且， 7分
令，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增， 9分
所以，故在上单调递增，
由，得对任意恒成立， 11分
两边取对数，得，
所以对任意恒成立 12分
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以， 15分
所以，即，
解得，
故的取值范围为 17分
