2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为
( )
A. B. C. D.
3.在空间四边形中，点，分别是和的中点，则( )
A. B. C. D.
4.已知为数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如右图的，，，称为三角形数，，，，称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，直线与直线交于点，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆和圆外离，则整数的一个取值可以是( )
A. B. C. D.
10.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
11.已知三棱锥如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，以下说法正确的是( )
A. 若，则平面平面
B.
C.
D. 若，，，四点共面，则
12.已知数列的前项和为，且，，则下列命题正确的是( )
A. 若为等差数列，则数列为递增数列
B. 若为等比数列，则数列为递增数列
C. 若为等差数列，则数列为递增数列
D. 若为等比数列，则数列为递增数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是______只需填写满足条件的一个方程
14.已知正项等比数列的前项和为，，且，则 ______．
15.已知点为圆：上一动点，，，则点到直线的距离的取值范围是______．
16.两个正方形，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，和分别是对角线和上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，设，，．
用向量表示；
求．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点．
求证：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知圆满足：
截轴所得的弦长为；
被轴分成两段圆弧，其弧长的比为：；
圆心到直线：的距离为．
求该圆的方程．
21.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列为等差数列；
设数列前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知点在双曲线：上，
求的方程；
如图，若直线垂直于直线，且与的右支交于、两点，直线、与轴的交点分别为点、，记四边形与三角形的面积分别为与，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的向量为，直线的倾斜角为，，．
故选：．
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】【分析】
本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．
利用抛物线的标准方程，有，，可求抛物线的准线方程．
【解析】
解：抛物线的焦点在轴上，且，
抛物线的准线方程是．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
故．
故选：．
根据向量加法的三角形法则即可求解．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，数列中，
则，
即．
故选：．
利用时，求解即可．
本题考查数列的前项和与之间的关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
设点到平面的距离是，
由，
又由正方体的结构特征可知，
三棱锥的体积，
，
，
点到平面的距离为．
故选：．
利用，再求得点到平面的距离．
本题考查点面距的求解，等体积法的应用，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可得第个三角形数为“，
第个正方形数为，
故既是三角形数，又是正方形数的满足即可写成，又可写成．
结合选项可知只有，符合题意．
故选：．
通过观察可以得到三角形数和正方形数的通项，对照选择项即可得到答案．
本题主要考查了等差数列的前项和，观察法归纳数列通项，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，画出轴截面，为内接矩形，如图所示：
设圆柱的高为，圆柱的底面半径为，圆锥的高为，底面半径为，
则，所以，
所以圆柱的侧面积为；
则当时，圆柱的侧面积最大，此时．
故选：．
根据题意，画出轴截面，为内接矩形，设圆柱的高为，圆柱的底面半径为，圆锥的高为，底面半径为，计算圆柱的侧面积，求出圆柱的侧面积取最大值时的值即可．
本题考查了圆柱、圆锥的结构特征，涉及圆柱的侧面积计算问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，
设，则，点在椭圆上，直线与直线交于点，且，
可知是正三角形，，可得，
设，，，，
所以，即，可得，
解得，
所以．
．
故选：．
画出图形，设出，求解，结合椭圆的性质以及求解三角形，推出结果即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的解法，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：由圆，得，
由圆，得，
圆和圆外离，
，解得，
整数的一个取值可以是：，，．
故选：．
化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，由圆心距大于半径和求得答案．
本题考查圆与圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：双曲线的离心率，椭圆的离心率，故A错误；
对于：第一个双曲线的离心率，第二个双曲线的离心率，故B错误；
对于：第一个椭圆的离心率，第二个椭圆的离心率，故C正确；
对于：所以抛物线的离心率都为，故D正确．
故选：．
依次求解离心率即可判断结果．
本题主要考查抛物线，双曲线和椭圆的离心率，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，点，分别是，中点，
则有，而平面，平面，则平面，
同理：平面，
而，且平面，平面，
故平面平面，A正确；
对于，，，，
而为重心，，
四个式子相加可得：，B正确；
对于，点为的中点，为重心，
则，C正确；
对于，当时，点，分别是，中点，易得，，，四点共面，
但不成立，D错误．
故选：．
对于，若，点，分别是，中点，由平面与平面平行的判定定理可得A正确，由向量加减法和数乘运算分析、，举出反例可得D错误，综合可得答案．
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的数乘和加减运算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
若为等差数列，则公差，则为递增数列，数列也为递增数列，A正确；
若为等比数列，则公比，则为摆动数列，则数列不具有单调性，B错误；
若为等差数列，则公差，则，即为递增数列，C正确；
若为等比数列，则，
故对于数列，，，即数列为递增数列，D正确．
故选：．
由已知结合等差数列与等比数列的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列与等比数列单调性的判断，属于中档题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
不妨设该双曲线的焦点位于轴上，
则，
令，则，
故该双曲线的方程可以是．
故答案为：答案不唯一．
根据已知条件，结合双曲线渐近线的性质，即可求解．
本题主要考查双曲线标准方程的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：正项等比数列中，，且，
所以，解得，舍负．
故答案为：．
由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
则直线的方程为，即，
圆：的圆心坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以圆上的动点到直线的最小距离为，最大距离为，
所以点到直线的距离的取值范围是．
故答案为：．
求出直线的方程，求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系，从而可得点到直线的距离的最大值与最小值，即可得解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：平面平面，平面平面，，平面，
根据面面垂直的性质定理知平面，
，从而，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设，，，，
，，，，，
，
当，时，最小，最小值为．
故答案为：．
建立空间坐标系，设点坐标的得到线段长度表达式，配方利用二次函数最小值．
本题主要考查两点间距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
；
，
，，，，
，
．
【解析】根据向量加法的几何意义及相等向量和相反向量的定义即可用表示；
根据向量数量积的计算公式求数量积即可．
本题考查了平行六面体的定义及性质，向量加法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式，是基础题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，得，
解得，
，
即；
，
．
【解析】设等差数列的公差为，列出含的方程组，求出与，即可求解出的通项公式；
利用中求得的求出，再分组求其和即可．
本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式与前项和，以及数列的分组求和，考查运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：证明：平面，平面，
，
四边形是菱形，，
，平面，
平面，平面平面；
过点作平面，交平面于点，
连接，则是与平面所成角，
连接，交于，连接，
，平面，是点到平面的高，
平面，，
平面平面，平面平面，
平面，，，
设与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为．
【解析】推导出，，从而平面，由此能证明平面平面；
过点作平面，交平面于点，连接，则是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
本题考查面面垂直的判定与性质、线面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：设所求圆心为，半径为，则圆心到轴，轴的距离分别为、，
因圆截轴得弦长为，由勾股定理得，又圆被轴分成两段圆弧的弧长的比为：，
劣弧所对的圆心角为，
故，即，
，
又到直线的距离为，
即，
即
解组成的方程组得：或，于是即，
所求的圆的方程为或．
【解析】依题意，可设所求圆心为，半径为，由截轴所得的弦长为可得；由被轴分成两段圆弧，其弧长的比为：可知劣弧所对的圆心角为，从而有；再由圆心到直线：的距离为可得，综合可求得，的值，从而可得该圆的方程．
本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．
21.【答案】解：证明：由，，
可得，
即有数列是首项为，公差为的等差数列；
，则，
数列前项和，
，
，
由对任意的恒成立，可得．
设，，
，
则，递增，可得时，，
则，即的取值范围是
【解析】对已知数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义可得证明；
由等差数列的通项公式求得，，，，判断数列的单调性求得最值，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和数列的单调性、恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：由点在双曲线上，
可得，解得，
所以双曲线的方程为．
由直线垂直于，可得直线的斜率，
设直线的方程为且，，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于，两点，
所以，解得，
所以，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以，
直线的方程为，令，可得，
直线的方程为，令，可得，
则
，
所以的面积，
又由，得，
令，可得函数在上单调递减，且，
所以，所以，即的取值范围为．
【解析】由点在双曲线上，求出的值，即可得到的方程；
设直线的方程为，联立方程组，由，求得，且，求出，得到，再由直线和的方程，得到，求得的面积，得到，再结合函数的性质求解即可．
本题考查了利用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查了方程思想和转化思想，属难题．
第1页，共1页
