2024年中考数学解答题专项特训：数与式（基础卷）
1．若，，c是最大的负整数，
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求的值．
2．如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
(1)求m的值.
(2)求丨m﹣3丨+m+2的值.
3．某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．
(1)写出售出一个可获得的利润是多少元？（用含x的代数式表示）
(2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
4．某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，若三条小路的宽度均为x 米．
(1)若种植花草的价格为10元/平方米，种植花草的总费用为49500元，求修建的小路的宽度；
(2)若修建小路的价格为 40元/平方米，求修建小路的总造价．
5．如图，在长为3a+2，宽为2b-1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片
(1)求剩余部分面积．
(2)求出当a＝3，b＝2时的面积．
6．杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值．
7．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
8．已知，求代数式的值．
9．我们把图1称为基本图形，显然在这个基本图形中能找到6个矩形，将此基本图形不断复制并向上平移，使得相邻两个基本图形的边重合，这样得到图2、图3、……；
(1)观察图3并完成相应填空：1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18； ×（1＋2＋3）＝
(2)根据以上的规律猜想，图n中共有 个矩形（用含n的代数式表示）；
(3)在一个由n行n列的矩形组成的图形中，一共有100个矩形，求n的值；
10．某花卉基地购买了一批水培植物营养液，已知甲种营养液每瓶2L，乙种营养液每瓶3L．
(1)若花卉基地购买了甲种营养液m箱（每箱12瓶），乙种营养液n箱（每箱10瓶），共QL．用含m，n的式子表示Q；
(2)若购进甲种营养液瓶，乙种营养液瓶，用科学记数法表示Q．
11．某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时．
(1)当时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？
(2)某一天，该企业把吨原材料分配到、两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？
12．如图，某小组为测量某幢大厦AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的项部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的项部E处后，测得该大厦AB的顶部A处的仰角为60°．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝180米，DB＝120米．
(1)求大厦DE的高度（结果精确到个位）：
(2)求大厦AB的高度（结果精确到个位）．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62，＝1.41，＝1.73）
13．在一个不透明的盒子里放置三张卡片，分别标有实数2，，（卡片除了标有的实数不同外，其余均相同），先从盒子里随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数．
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能出现的结果；
(2)求两次抽取的卡片上的实数之差为正实数的概率．
14．某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面积；
(2)若，，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．
15．某公司分别在A、B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系，B城生产产品的每件成本为70万．若A，B两城生产这批产品的总成本的和最小．
(1)求A、B两城各生产多少件？
(2)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为5万元/件和3万元/件：从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元件，C地需要90件，D地需要10件，求两城总运费之和W的最小值．
16．如图所示，纸片甲、乙分别是长方形和正方形，将甲、乙纸片沿对角线，剪开，不重叠无空隙地拼接起来，其中间部分恰好可以放入一张正方形纸片，与甲、乙纸片一起组成纸片丙的四边形，设，．
(1)求纸片乙的边长（用含字母、的代数式表示）；
(2)探究纸片乙、丙面积之间的数量关系．
17．如图，在一条道路的同侧有A，B，C，D四个小区，其中A与B相距xm，B与C相距150m，C与D相距xm，某公司的员工住在A小区的有20人，B小区的有6人，C小区的有15人，D小区的有8人．
(1)该公司计划在B，C小区的位置任选一个作为班车停靠点，设所有员工步行到B，C小区的路程总和分别为，，试求，；（用含x的代数式表示）
(2)为了使所有员工步行到班车停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应该选在B小区还是C小区？请说明理由．
18．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．例如：，当时，多项式的值用来表示．例如时，多项式的值记为．
（1）已知，求值；
（2）已知，当，求的值；
（3）已知（为常数），若对于任意有理数k，总有，求的值．
参考答案：
1．(1)或，，；
(2)的值是0或．
【分析】（1）利用绝对值的意义和有理数的分类得到或，；
（2）分别把，，和，，代入中计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得或，，；
（2）解：当，，时，；
当，，时，．
所以的值是0或．
【点睛】本题考查绝对值和有理数的运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义和有理数运算的计算方法．
2．(1)；
(2)5．
【分析】（1）根据题意可知点B表示的数为点A表示的数加上2，据此可求出m的值；
（2）将m的值代入待求式中，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，利用实数的加减运算求解．
【详解】（1）蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
点B表示的数比点A表示的数大２，
点A表示的数为，点B表示的数为m，
．
（2）,
=
=
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算与数轴，熟练掌握绝对值的意义与根据已知求出m的值是解题的关键．
3．(1)x+10
(2)定价70元，进货量200个
【分析】（1）根据利润=售价﹣进价进行计算即可；
（2）根据总利润=单件利润×数量列出方程进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：50+x﹣40＝x+10；
（2）解：由题意得，（x+10）（400﹣10x）＝6000，
整理得：
解得，，
∵进货量较少，
∴x＝20，
进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．
答：每个定价为20元，进货200个．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用：销售利润问题．根据题意正确的列出方程是解题的关键．
4．(1)5米
(2)元
【分析】（1）三条小路的宽度均为x 米，根据价格乘以面积等于总费用列出方程即可求解；
（2）根据总面积减去种植花草的的面积求得小路的面积，根据价格乘以面积等于总费用列出算式即可求解．
【详解】（1）解：由三条小路的宽度均为x 米，根据题意得，
，
整理得，
解得（不合题意舍去）
∴修建的小路的宽度为5米；
（2）修建的小路的面积为平方米，
∴修建小路的总造价为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．(1)
(2)13
【分析】（1）首先利用大长方形的面积减去小长方形的面积列出整式，然后化简，即可得出结果；
（2）根据（1）中算出的结论，把a＝3，b＝2代入并计算，即可得出结论．
【详解】（1）解：剩余部分的面积为：
．
（2）解：当时，
原式
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积、代数式求值，解本题的关键在正确列出阴影部分面积的代数式．
6．小红说的对，详见解析，-13
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】小红说的对，化简结果中不含x，与x取值无关，
解：原式
，
∴这道题与x的值无关，是可以解的，
当时，原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算 化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．(1)
(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
8．1
【分析】先根据已知等式可得，再利用完全平方公式、整式的加减运算法则求值即可得．
【详解】解：由得：，
所以
．
【点睛】本题考查了代数式求值、完全平方公式、整式的加减运算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
9．(1)
(2)
(3)4．
【分析】（1）直接利用图形中矩形个数进而得出数据变化规律即可得出答案．
（2）直接利用(1)中变化规律得出答案．
（3）由（1）可知一个n行3列的矩形组成的图形中一共有个矩形，故可推出一个n行n列的矩形组成的图形中有个矩形，代入即可得出结果．
【详解】（1）∵1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18，
∴图3中矩形有
故答案为：
（2）由（1）可得，图形n中共有矩形：
故答案为：
（3）∵由（1）可知一个n行3列的矩形组成的图形中一共有个矩形，
故一个n行n列的矩形组成的图形中有个矩形，
（舍去）
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了利用平移设计图案，正确得出数字变化规律是解题关键．
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解；
（2）根据题意列出代数式再合并，然后利用科学记数法的方法即可求解．
【详解】（1）解：Q=2×12m+3×10n=24m+30n；
（2）解：Q=2×6×103+3×5×104
=12×103+15×104
=1.2×104+15×104
=16.2×104
=1.62×105．
【点睛】本题考查了列代数式，用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
11．(1)生产线的加工时间为小时，生产线的加工时间为小时
(2)分配到生产线的吨数为2吨，分配到生产线的吨数为3吨
【分析】（1）把分别代入，，即可求解；
（2）然后设分配到生产线的吨数为吨，则分配到B生产线的吨数为吨，可得生产线的加工时间为小时，生产线的加工时间为小时，根据题意．列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
生产线的加工时间为：（小时），
生产线的加工时间为：（小时），
答：生产线的加工时间为小时，生产线的加工时间为小时；
（2）解：设分配到生产线的吨数为吨，则分配到B生产线的吨数为吨，
∵生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时，
∴生产线的加工时间为小时，生产线的加工时间为小时，
根据题意得：
，
解得∶ ，
∴，
答：分配到生产线的吨数为2吨，分配到生产线的吨数为3吨．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
12．(1)大厦DE的高度为112米
(2)大厦AB的高度为米
【分析】（1）直接利用正切即可求解；
（2）由题意可知四边形DBFE为矩形，，即可求出米，米．再根据正切求出的长，即可求解．
【详解】（1）根据题意可知，
∴米．
答：大厦DE的高度为112米；
（2）根据题意可知四边形DBFE为矩形，∠AEF=60°，
∴米，米．
∴米，
∴米．
答：大厦AB的高度为米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形在测量中的应用，本题中要弄清楚仰角的含义，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
13．(1)6种，见解析
(2)
【分析】（1）根据题意列表，利用实数的减法法则计算出所有可能出现的结果；
（2）从（1）中所有等可能出现的结果中找出差是正实数的结果数，利用概率公式即可求解；
【详解】（1）解：根据题意列表如下：
观察可知，共有6种可能出现的结果；
（2）解： ，，，
即两次抽取的卡片上的实数之差为正实数的有3种情况，
故两次抽取的卡片上的实数之差为正实数的概率为：．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，通过列表或画树状图不重复不遗漏地列出所有等可能的结果是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）已知阴影部分的宽为，利用平移的性质可得阴影部分的长可以表示为，然后利用矩形的面积公式计算出阴影部分的面积即可；
（2）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】（1）解：涂刷油漆的面积
（2）解：当，时，原式．
【点睛】此题考查了平移的性质，关键在于能够用代数式表示出平移后矩形的长度，用科学记数法表示较大的数时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．(1)A城20件，B城80件，
(2)160万元．
【分析】（1）将A产品的总成本加上乙产品的总成本可得到一个二次函数，对其用配方法即可求出最小值．
（2）先设出A城运往C城的件数m，再得到A城运往D城、B城运往C城、B城运往D城的件数，最后列出总运费的代数式，发现是一个一次函数，当m取最小值时，就有最低的总运费．
【详解】（1）设总成本为P，
∴A城20件，B城80件．
（2）（2）设A城运往C城m件，则A城运往D城20-m件，B城运往C城90-m件，B城运往D城10-（20-m）件，总运费为W，
W=5m+3×（20-m）+（90-m）+2×（m-10）=3m+130，
由题意可知，当m的值最小时，总运费W取最小值，
∴当m=10时，总运费W最小值为160．
∴两城总运费之和W的最小值为160万元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用．利用函数的增减性和二次函数的配方求出最值是解题的关键，学会用设出来的未知数表示其他的量是本题的难点．
16．(1)纸片乙的边长为
(2)纸片丙的面积是纸片乙的面积的2倍
【分析】（1）设纸片乙的边长为m．根据丙图中线段的和差关系列出一元一次方程求解即可．
（2）用a和b分别表示纸片乙和纸片丙的面积，即可求出纸片乙、丙的数量关系．
【详解】（1）解：设纸片乙的边长为m，则MP=m，PL=m．
∴MP+PL=2m．
∵AD=a，AB=b，
∴OL=a，MQ=b．
∵纸片OPQR是正方形，
∴OP=QP．
∴MP+PL=MQ+QP+PL=MQ+OP+PL=MQ+OL=a+b．
∴2m=a+b．
∴．
∴纸片乙的边长为．
（2）解：S乙=．
∵MQ=b，MP=，
∴．
S丙=．
∴S丙=2S乙．
∴纸片丙的面积是纸片乙的面积的2倍．
【点睛】本题考查线段的和差关系，解一元一次方程，三角形面积公式，正方形面积公式，整式的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．
17．(1)，
(2)选B小区，见解析
【分析】（1）当停靠点在B小区时或当停靠点在C小区时，再求解需要步行的人员的路程之和即可，
（2）由 再比较两个代数式的大小即可得到答案.
【详解】（1）解：当停靠点在B小区时，
m；
当停靠点在C小区时，
m.
（2）选B小区，理由如下：
因为x>0，所以28x+3450<28x+3900
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小.
【点睛】本题考查的是列代数式，比较代数式的值的大小，理解题意，用含有的代数式表示步行的人员的路程之和是解本题的关键.
18．（1）-1；（2）；（3），．
【分析】（1）把代入中进行计算即可；
（2）把，代入，使其值为，再解关于字母的一元一次方程即可；
（3）把，代入中，整理计算即可．
【详解】（1）把代入得，
；
（2）把，代入得，
即
解得：；
（3）把，代入得，
，整理得
为常数，对于任意有理数，总有
．
【点睛】本题考查代数式求值、方程，理解函数值和“无论k为何值，总有”的意义是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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