参考答案及解析
数学
2024届高三年级2月份大联考
数学参考答案及解析
一、选择题
方程为y一3=一(x十2)，即y=一x十1.故选A.
1.D【解析】由题可得B={x0
{xx≤0或x≥e2},因此A∩(CB)={一1,0，e2}.
3 sin aco0.:in(e叶o）=号.sin osa叶in o0
故选D.
=2
2A【解桥】南：=法+=名)+书+
sin acos sin dcosa
2-i
5
号.所以=是-号，即虚部为-号故选A
.sin(0-a)-sin dcos a-sin acos =1
3
5
5
3.C【解析】通项公式T+1=C(一a)x8,=2
∴c0s2(0-a)=1-2sim(0-a)=号.故选C
时常数项为C号（一a)2=15,a=士1.故选C
二、选择题
4.D【解析】由余弦定理得BC=22十12一2×2×1×
9.BD【解析】A:30×80%=24,故第80百分位数为
号=号所以BC=故选D
3
吉，故A错：B:由=动公-16
2
5.C【解析】由题可得c=
3,暖=g+1
eiei=l,解
-30x2,所
得a2=2,所以双曲线C的渐近线方程为y=土√2x
以x=4,故这组样本数据的总和等于30x=120,故
故选C
B对；C:去掉等平均数的数据，n变为n一1，平方和不
6.A【解析】当n≥2时，aw=S,一S,-1=a十2b一
变，分母变小，所以方差变大，故C错误：D:数据的频
(a十2-1b)=2-1b,当n=1时，a1=S,=a十2b,因为
率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如
数列{a}为等比数列，所以b=a十2b,且b≠0，即a十
下图，
b=0且b≠0.因此充分性成立：若4十b=0,当4=0
且b=0时，甲不成立，故必要性不成立.故选A
7.A【解析】C:(x十4)2十(y-1)2=8,圆心C(-4,
1),半径n1=22,C2:(x+3)十(y-2)2=2,圆心
中位数平均数
C2(-3,2),半径r:=√2，CC2=√2=n-r,所以
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均
两圆相内切，公共切线只有一条，排除B,D:因为圆心
数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左
连线与切线相互垂直，kc心=1，所以切线斜率为
拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，故D对.
故选BD
1,圆C与圆C方程联立得切点（一2,3），故公切线
1
SD2024届高三年级2月份大联考
数学参考答案及解析
三、填空题
12．1 【解析】 由题意得f＝sin 4x＋acos 4x＝sin，(sin φ＝，cos φ＝)，由于函数f＝sin 4x＋acos 4x的图象关于直线x＝对称，故，得a＝1.故答案为1.
13．－6－12ln 6 【解析】 设切点为，则f′＝x－1－，由题知f′＝3，解得x0＝6，所以切点为，代入直线方程得a＝－6－12ln 6.故答案为－6－12ln 6.
14./ 【解析】 I是△PF1F2的内心，∴＝＝2，＝＝2，∴＋＝2＋2，∴2a＝4c，∴c＝1，所以抛物线x2＝4y在点的切线为：xnx＝2y＋2yn，令y＝0，xn＋1＝＝＝，又x2＝＝8，即x1＝16，所以是首项16，公比的等比数列，∴x2 024＝16×＝.故答案为/.
四、解答题
15．解：(1)因为X～N，所以σ＝15，(1分)
则P(X≥60)＝P＝＝0.158 65，(4分)
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为1 000×0.158 65≈159(人)．(6分)
(2)依题意可得，P＝C20n0.4n×0.620－n，(7分)
设，
所以，(9分)
所以(11分)
所以≤n≤，(12分)
n为整数，所以n＝8，
所以当P取得最大值时n的值为8.(13分)
16．解：(1)因为∠COF＝∠EFO，所以EF∥CO，(1分)
因为EF 平面SCO，CO 平面SCO，
所以EF∥平面SCO，(2分)
因为DE垂直底面于E，SO垂直底面于O，所以DE∥SO，
同理DE∥平面SCO，(3分)
因为DE∩EF＝E，且EF∥平面SCO，DE∥平面SCO，所以平面SCO∥平面DEF.(5分)
(2)设圆锥的底面半径为2，
因为轴截面SAB是正三角形，所以SO＝2，(6分)
如图，设平面SDEO与底面圆周交于G，
因为△EFO为正三角形，且F为AO的中点，
所以OF＝FE＝EO＝1，所以E为OG的中点，
所以DE为△SOG的中位线，所以DE＝SO＝，(7分)
如图，在底面圆周上取一点H，使得OH⊥OB，以直线OH，OB，OS为x，y，z轴建立空间坐标系，(8分)
由已知得，C，D，E，F，(9分)
设EF的中点为M，则平面DEF的法向量为n1＝＝，(11分)
所以＝，＝，
设平面CDF的一个法向量为n2＝，
所以，
x＝0，令y＝2，则z＝－，
则n2＝，(13分)
所以平面CDF与平面DEF夹角的余弦值为＝＝.(15分)【其他解法酌情给分】
17．解：(1)∵f(x)≤－在[1，∞)上恒成立，
∴a≥＋在[1，＋∞)恒成立，(1分)
令h(x)＝＋，
则h′(x)＝，(2分)
令t(x)＝x－xln x－1，t′(x)＝－ln x≤0，
所以t(x)在[1，＋∞)单调递减，所以t(x)≤t(1)＝0，(4分)
∴h′(x)≤0恒成立，∴h(x)在[1，＋∞)单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝，(6分)
∴a≥.(7分)
(2)因为f(x)有两个极值点s，t，
∴s，t是f′(x)＝＋x－a＝＝0的两不等正根，(8分)
a>2，(12分)【若列出公式正确，得出a范围不对的话扣1分】
f(t)＋f(s)＝ln t＋ln s＋t2＋s2－a(t＋s)
＝ln(st)＋(t＋s)2－ts－a(t＋s)
＝－a2－1<－×22－1＝－3.
所以f(t)＋f(s)的取值范围为(－∞，－3)．(15分)【其他解法酌情给分】
18．解：(1)圆C1：(x＋)2＋y2＝16，∴C1(－，0)，
∵C2M∥C1C，∴∠C1CC2＝∠MC2D，
∵|C1C|＝|C1D|，∴∠C1CC2＝∠C1DC，
∴∠C1DC＝∠MC2D，(1分)
∴|DM|＝|C2M|，(2分)
∴|C1M|＋|MD|＝|C1M|＋|MC2|＝|C1D|＝4>|C1C2|＝2，(3分)
∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．(4分)
方程：＋＝1(y≠0)．(5分)【没写范围扣1分】
(2)设RN：y＝kx－1，由题意知0
∴S＝|PQ||x1－x2|＝|x1－x2|，(7分)
由 (1＋2k2)x2－4kx－2＝0，Δ＝32k2＋8>0，（8分）
，(9分)
|x1－x2|2＝，(11分)
令＝t，
∴|x1－x2|2＝8(－t2＋2t)＝－8(t－1)2＋8，(12分)
t＝1时，|x1－x2|2＝8，(13分)
t＝，|x1－x2|2＝8×＝，(14分)
t＝时，|x1－x2|2＝，(15分)
∴<|x1－x2|<2，且|x1－x2|≠，
∴
如等差数列，T2＝a1a2＝ ，(2分)
所以不是任意一个无穷等差数列对前n项之积是封闭的．(3分)
(2){an}是等比数列，其首项a1＝2，公比q，
所以an＝a1·qn－1＝2qn－1，
所以Tn＝a1a2…an＝2nq1＋2＋…＋(n－1)＝2nq，(4分)
由已知得，对任意正整数n，总存在正整数m，使得Tn＝am成立，
即对任意正整数n，总存在正整数m，
使得2nq＝2qm－1成立，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得q－(m－1)＝21－n成立，(5分)
①当m＝≥1时，得－＝1－n，所以q＝2；(7分)
②当m＝＋＝≥1时，得＋＝0，且q＝，
综上，q＝2或.(9分)【答案正确即可】
(3)对任意的无穷等比数列{an}，an＝a1qn－1＝a1n·，
令bn＝a1n，cn＝，则an＝bn·cn，(11分)
下面证明：是对前n项之积是封闭的．
因为bn＝a1n，所以Tn＝a11＋2＋…＋n＝a1，(12分)
取正整数m＝得，Tn＝bm，(13分)
所以对前n项之积是封闭的，(14分)
同理证明：也对前n项之积是封闭的，(16分)
所以对任意的无穷等比数列{an}，总存在两个无穷数列{bn}和{cn}，使得an＝bn·cn(n∈N*)，其中{bn}和{cn}对前n项之积都是封闭的．(17分)2024届高三年级2月份大联考
数学试题
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，
1.已知集合A-{-1,0,1,e2},B={xlnx<2},则A∩(CRB)=
A.{-1,0,1}
B.{0,1,e2}
C.{1}
D.{-1,0,e2}
2.已知&-+i,则三的虚部为
A-昌
B.-Si
c号
D.1
3若（丘一）°的展开式中常数项的系数是15，则2
A.2
B.1
C.士1
D.±2
4已知在AA5C中，AB=2,AC-=1,osA=名，则BC-
A.1
B.
c号
n
5,椭圆C:+苦-1与双曲线C兰-2=1(a>0)的离心率分别为e1,9,若e1,=1,则
双曲线C2的渐近线方程为
Ay=土2
2
BF±9
C.y=士2x
D.y=土√3x
6.数列{am}的前n项和S.满足Sn=a十2b,设甲：数列{an}为等比数列；乙：a十b=0,则甲
是乙的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
7.圆C1:x2+y2+8x一2y+9=0和圆C2:x2+y2+6x一4y十11=0的公切线方程是
A.y=-x十1
B.y=-x+1或y=x十5
C.y=-x+5
D.y=x+1或y=2x+5
数学试题第1页（共4页）
8.若an923ian&,sin(0+a)=号，则cos20-a)
A2证部会液，
B-日
c
D司
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知一组样本数据x:(i=1,2,3,…,30)满足0
A.样本数据的第80百分位数为x24
B样木数据的方差子=品习一16，则这组样本数据的点和等干120
30
C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变
D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于
中位数
10.函数f(x)满足：对任意实数x,y都有f(x十y)=f(x)十f(y)-2,且当x>0时，
fx)>2,则
A.f(0)=2
B.f(x)关于(0,2)对称
C.f(-2024)+f(2024)=4
D.f(x)为减函数
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为平面ABCD所在平面内一动
点，则
M
A.若M在线段AB上，则DM+MC的最小值为√4+2√2
B.过M点在平面ABCD内一定可以作无数条直线与D1M垂直
C.若平面a⊥DM,则平面α截正方体的截面的形状可能是正六边形
D.若CM与AB所成的角为于，则点M的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知函数fx)=sin4z十acos4x的图象关于直线x=器对称，则a一
13.已知函数fx)=号-x-12hx与y=3x十a(a∈R)湘切，则a=
14.抛物线2=2py(p>0)与椭圆需+苦-1(m>0)有相同的焦点，R,R:分别是椭圆的
上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是△PFF2的内心，PI交y轴于M,且Pi=2IM,
点(xyn)(n∈N·)是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为
(xn+1,0),若x2=8,则x2024=
数学试题第2页（共4页）
SD
