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江西师大附中 2024届高三下学期开学考（数学）试卷
一、单选题（本题 8 题，每题 5 分，共 40 分）
1
1．已知集合M = x log2 x 2 ， N = x x 1 ，则M N =（ ）
2
A． x 0 x 4 B． x 2 x 2 C． x 0 x 2 D． x 2 x 4
【答案】A
【详解】由题意 log2 x 2，可得0 x 4，故集合M = x 0 x 4 ，而N = x x 2 ，
所以M N = x 0 x 4 ，故选：A.
另解：取 x = 2，而 2 M ，排除 A，B；取 x = 2，而2 M ，且2 N ，所以
2 (M N )，排除 C，故选：A.
2．若 (3 i)(a + 6i)为纯虚数，则实数a =（ ）
A．2 B．18 C． 2 D． 18
【答案】C
2
【详解】 (3 i)(a + 6i) = 3a +18i ai 6i = 3a + 6+ (18 a)i ，
3a + 6 = 0
则 ，解得a = 2 .故选：C
18 a 0
x2 y2 3
3．设椭圆 + =1(m 0,n 0)的离心率为 e，则“ e = ”是“ m = 4n ”的（ ）
m n 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
m n 3 n m 3
【详解】当m n时e = = ，则m = 4n；当m n 时 e = = ，则
m 2 n 2
n = 4m；
3 m n 3
所以e = 推不出m = 4n，充分性不成立；当m = 4n时，则e = = ，必要性成
2 m 2
3
立；综上，“e = ”是“ m = 4n ”的必要不充分条件.故选：B
2
4．已知 S nn 为等差数列 an 的前 项和，a7 + 2a9 + a17 = 24，则S20 =（ ）
A．240 B．60 C．180 D．120
【答案】D
【详解】因为数列 an 为等差数列，所以a7 + 2a9 + a17 = 2a12 + 2a9 = 24，
20(a + a )
所以a + a =12，所以 1 2012 9 S20 = =10(a1 + a20 ) =10(a12 + a9 ) =120．故选：D．
2
5．设m 、n是不同的直线， 、 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m ， n ⊥ ，m∥ n，则 ∥
B．若m ， n ⊥ ，m ⊥ n，则 ∥
C．若m ， n ⊥ ，m ⊥ n，则 ⊥
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
D．若m ， n ⊥ ，m∥ n，则 ⊥
【答案】D
【详解】对于 A 项，因为n ⊥ ，m∥ n，所以m ⊥ ，因为m / / ，过m 作平面 与平面
交线为 l，则 l m， l ⊥ ，因为 l ，由面面垂直的判定定理可得 ⊥ ，故 A 错
误；
对于 B 项，因为n ⊥ ，m ⊥ n，所以m / / 或m ，又因为m / / ，所以 与 的位置
关系不确定，故 B 项错误；
对于 C 项，因为n ⊥ ，m ⊥ n，所以m / / 或m ，又因为m / / ，所以 与 的位置
关系不确定，故 C 项错误；
对于 D 项，因为n ⊥ ，m∥ n，所以m ⊥ ，因为m / / ，过m 作平面与平面 交线为
l，则 l m， l ⊥ ，因为 l ，由面面垂直的判定定理可得 ⊥ ，故 D 正确.
故选：D.
6．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有 k (k N)个人正在使用或等待使用该取款机的概
k 1
p (0)，0 k 5
率为 p (k )，根据统计得到 p(k) = 2 ，则在该时刻没有人正在使用或等
0，k 5
待使用该取款机的概率为（ ）
32 16 8 4
A． B． C． D．
63 31 15 7
答案】B
【详解】由题意知， p(0)+ p(1)+ p(2)+ p(3)+ p(4) =1，
2 3 41 1 1 1 31 16
则 p(0) 1+ + + + = p(0) =1，解得 p(0) = ，
2 2 2 2 16 31
16
即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为 .故选：B.
31
7．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的
几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段 AB，AC和优弧 BC所围成的平
面图形，其中点 B，C所在直线与水平面平行，AB和 AC与圆弧相切．已知“水
滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面
4
所得线段的长度的最大值）的比值为 ，则sin BAC =（ ）
3
24 9 16 3
A． B． C． D．
25 25 25 25
【答案】A
【详解】设优弧 BC所在圆的圆心为 O，半径为 R，连接 OA，OB，OC，如图所示．
易知“水滴”的“竖直高度”为OA+ R，“水平宽度”为 2R，
OA+ R 4 5
由题意知 = ，解得OA = R．因为 AB与圆弧相切于点 B，所以
2R 3 3
OB ⊥ AB．
OB R 3
sin BAO = = = π
在 Rt△ABO中， OA 5 5 ，又 BAO 0, ，所以R 2
3
4
cos BAO = 1 sin2 BAO = ．由对称性知， BAO = CAO，则
5
BAC = 2 BAO，
3 4 24
所以sin BAC = 2sin BAOcos BAO = 2 = ．故选：A.
5 5 25
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y2 x2
8．已知双曲线 =1(a 0,b 0)的上、下焦点分别为F ，F2 2 1 2，过F1的直线交双曲线a b
π
上支于 A，B两点，且满足F A = 2BF ， F2BA =1 1 ，则双曲线的离心率为（ ）
3
A． 3 7 8 B． 5 C． D．
2 4 3 5
【答案】C
【详解】设 BF1 = m， AF1 = 2m，则 BF = m+ 2a ， AF2 = 2m+ 2a2 ．
2 2 2
π 1 m + (m+ 2a) (2c)
在△BF1F2 中，由余弦定理得cos = = ，
3 2 2m (m+ 2a)
即m2 + 2am = 4c2 4a2 = 4b2．
2 2 2
π 1 (3m) + (m+ 2a) (2m+ 2a)
在 F2 AB中，由余弦定理得cos = = ，
3 2 2 3m(m+ 2a)
10
化简得3m2 10ma = 0，因为m 0，所以m = a，
3
100 20 b2 40 c b2 40 7
所以 a
2 + a2 = 4b2 ，所以 = ，∴双曲线的离心率e = = 1+ = 1+ = ，
9 3 a2 9 a a2 9 3
故选：C．
二、多选题（本题 3 题，每题 6 分，共 18 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选
错得 0 分）
9．已知 f (x) = sin2x + 3cos2x ，则（ ）
A．函数 f (x)的最小正周期为 π
π
B．将函数 f (x)的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称
6
π π
C．函数 f (x)在区间 , 上单调递减
12 2
1 π
( ) 8tan + tan2
π
D．若 f = ，则 + =1
2 6 6
【答案】ACD
1 3 π
【详解】由 f (x) = sin2x + 3cos2x ，得 f (x) = 2 sin2x + cos2x = 2sin 2x + ，
2 2 3
2π
对于A：最小正周期为T = = π，所以A正确；
2
π
对于B：将函数 f (x)的图象上所有点向右平移 ，
6
π π
所得图象的函数解析式为 g (x) = 2sin 2 x + = 2sin 2x，
6 3
而 g (x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以B错误；
π π 3π π 7π
对于C：令2kπ + 2x + 2kπ + ， k Z，化简得 kπ + x kπ + ，
2 3 2 12 12
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π 7π π π π 7π
当 k = 0时， x ，又因为
12 12
,
12 2
, ，
12 12
π π
所以函数在 , 单调递减，所以C正确；
12 2
1 π 1
对于D选项：因为 f ( ) = ，所以sin 2 + = ，
2 3 4
π π
sin + cos +
π π 1
6 6 1
所以sin + cos + = ，所以 = ，
6 6 8 2 π π 8sin + + cos
2
+
6 6
π
tan +
6 1 π π
即得 = ，也就是8tan + tan
2
+ =1，所以D正确.故选：ACD．
2 π 8 6 6tan + +1
6
10．定义域为 R的函数 f (x)，对任意 x, y R ， f (x + y)+ f (x y) = 2 f (x) f ( y)，且 f (x)
不恒为 0，则下列说法正确的是（ ）
A． f (0) = 0 B． f (x)为偶函数
2024
C． f (x)+ f (0) 0 D．若 f (1) = 0，则 f (i) = 4048
i=1
【答案】BC
2
【详解】对于 A，令 x = y = 0，有2 f (0) = 2 f (0) ，所以 f (0) = 0或 f (0) =1，
若 f (0) = 0，则只令 y = 0 ，有2 f (x) = 2 f (x) f (0) = 0，即 f (x)恒为 0，
所以只能 f (0) =1，故 A 错误；
对于 B，由 A 可知 f (0) =1，不妨令 x = 0，有 f ( y)+ f ( y) = 2 f (0) f ( y) = 2 f ( y)，
即 f ( y) = f ( y)，且函数 f ( y)的定义域为全体实数，它关于原点对称，所以 f ( y)即
f (x)为偶函数，故 B 正确；
2
对于 C，令 x = y，有 f (2x)+ f (0) = 2 f (x) 0，令 t = 2x，由 x R ，得 t = 2x R，
所以当 t R时，有 f (t )+ f (0) 0，即当 x R 时， f (x)+ f (0) 0，故 C 正确；
对于 D，若 f (1) = 0，令 x =1，有 f (1+ y)+ f (1 y) = 2 f (1) f ( y) = 0，
所以 f (x)关于 (1,0)中心对称，又 f (x)为偶函数，
所以 f (1+ y) = f (1 y) = f ( y 1) = f ( y 3)，所以 f (x)是周期为 4 的周期函数，
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
又 f (0) =1， f (1) = 0，所以 f (2) = f (0) = 1, f (3) = f ( 1) = f (1) = 0, f (4) = f (0) =1，
所以 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4) = 0 1+ 0+1= 0，
2024
所以 f (i) = 506 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4) = 0 ，故 D 错误.
i=1
故选：BC.
AB CB
11．在三棱锥 A BCD中，BD ⊥ AC ，BD = 2AC = 4，且 = = 2，则（ ）
AD CD
A．当 ACD为等边三角形时， AB ⊥CD， AD ⊥ BC
B．当 AD⊥ BD，CD ⊥ BD时，平面 ABD⊥平面BCD
C． ABD的周长等于 BCD的周长
D．三棱锥 A BCD体积最大为
4 55
9
【答案】ACD
【详解】对于选项 A：分别取 AB, BC,CD, AD, BD的中点
E, F , H ,G,M ，
连接EF , FH ,GH , EG, EM , FM , HM ,GM , EH ,GF ，
可知：EF / / AC / /GH , EG / /BD / /FH ，且
1 1
EF =GH = AC =1, EG = FH = BD = 2，
2 2
因为BD ⊥ AC ，可知EFHG 为矩形，可得EH =GF = 5，
若 ACD为等边三角形，则 AC = AD =CD = 2，
AB CB
因为 = = 2，则 AB =CB = 4，
AD CD
又因为E,M , H 为对应棱的中点，则EM / / AD, MH / /BC, EM 1, MH 2，
可得EM 2 MH 2 EH 2，即EM MH ，所以 AD ⊥ BC，
同理可证： AB ⊥CD ，故 A 正确；
AB 4 3
对于选项 B：若 AD⊥ BD， = 2, BD = 4，可得 AB = 2AD = ，
AD 3
4 3
同理可得BC = 2CD = ，
3
且 AC = 4，则 AD2 +CD2 AC2 ，可知 AD与CD不相互垂直，
反证：假设平面 ABD⊥平面BCD，则存在直线 l 平面 ABD，使得 l ⊥平面BCD，
由BD,CD 平面BCD，可得 l ⊥ BD, l ⊥CD ，
因为 l, AD 平面 ABD，且 l ⊥ BD, AD ⊥ BD，可知 l / /AD，所以 AD ⊥CD，
这与 AD与CD不相互垂直相矛盾，所以假设不成立，故 B 错误；
如图，以BD的中点M 建立空间直角坐标系，则
B (2,0,0) , D ( 2,0,0)，若PB = 2PD，设P (x, y, z)，则
2 2
(x 2) + y2 + z2 = 2 (x + 2) + y2 + z2 ，
2
10 64
整理得 x + + y
2 + z2 = ，
3 9
10 8
即点P (x, y, z)到定点O ,0,0 的距离为 ，
3 3
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
10 8
所以点 A,C 均在以点O ,0,0 为球心，半径为 的球面上（不与B, D共线），
3 3
对于选项 C：因为BD ⊥ AC ，则 A,C 在与直径 A1A2 垂直的圆面O1 上，
因为O1A =O1C ，且BO1 = BO1, BO1 ⊥ AO1, BO1 ⊥CO1，
AB CB
可知BA = BC ，且 = = 2，则 AD =CD ，
AD CD
即BA+ AD+BD = BC +CD+BD，所以△ABD的周长等于△BCD的周长，故 C 正确；
对于选项 D：取 AC 的中点N ，连接O1N,ON,OA，
64
则O A
2
1 =OA
2 O1O
2 = O1O
2
，
9
可得O N = O A2 AN 2
64 55
1 1 = O O
2
1 1 = O1O
2 ，
9 9
所以三棱锥 A BCD体积
1 1 1
VA BCD =VB AO C VD AO C = BO1 S△AO C DO1 S△AO C = BD S△AO C 1 1 3 1 3 1 3 1
1 1 55 2 4 55 4 55= 4 2 O1O = O O
2
1 ，
3 2 9 3 9 9
4 55
当且仅当O1O = 0时，等号成立，所以三棱锥 A BCD体积最大为 ，故 D 正确；
9
故选：ACD.
三、填空题（本题共 3 题，每题 5 分，共 15 分）
12．某老师为了了解班级学生一周体育锻炼的时间，随机抽查了一位学生一周的锻炼时
间，如下表：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
锻炼时长 /h 1.2 1.5 1.6 1.3 1 2 1.8
则这组数据的40%分位数为 h．
13
【答案】1.3/
10
【详解】把这组数据从小到大排列后，为 1，1.2，1.3，1.5，1.6，1.8，2．
由于7 40% = 2.8，因此这组数据的40%分位数为 1.3．
故答案为：1.3
13．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是
x2 y2
圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点 A、B为椭圆 + =1（b 0）上任意两个
3 b2
动点，动点 P在直线4x +3y 10 = 0上，若 APB恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，
可知实数b 的取值范围为
【答案】 (0,1)
x2 y2
【详解】依题意，直线 x = 3, y = b 都与椭圆 + =1相切，
3 b2
2
2 2 2 x y
2
因此直线 x = 3, y = b 所围成矩形的外接圆 x + y = 3+b 即为椭圆 + =1的蒙日
3 b2
圆，
x2 y2
由点 A、B为椭圆 + =1上任意两个动点，动点 P满足 APB为锐角，得点 P 在圆
3 b2
x2 + y2 = 3+b2外，
又动点 P在直线4x +3y 10 = 0上，因此直线4x +3y 10 = 0与圆 x2 + y2 = 3+b2相离，
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
| 10 |
于是 3+b
2
，解得0 b2 1，则b (0,1) ,故答案为： (0,1)
42 +32
14.若函数 f (x) = 2loga x + 2x 1 (a 0,a 1)的最小值为 1，则实数a 的值为 .
1
【答案】
e
【详解】依题意， f (x) = 2loga x + 2x 1 1,即2loga x 1 2x 1
令 g(x) =1 2x 1 ,h(x) = 2loga x ，
1
由图可知，直线 y =1 (2x 1) = 2 2x 是函数h(x) 在点 (1,0) 处的切线,可得a =
e
四、解答题（本题共 5 题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
b
15．（13 分）已知函数 f (x) = ax + + 2ln (1 x)，曲线 y = f (x)在 ( 1, f ( 1))处的切线方
x
程为 y + 3 2ln2 = 0．
(1)求 a,b的值；
(2)求函数 f (x)的定义域及单调区间；
(3)求函数 f (x)的零点的个数．
【答案】(1) a = 2,b =1 ,(2) ( ,0) (0,1)；递增区间为 ( , 1)，单调递减区间为 ( 1,0) ,
(0,1)；(3)1
b
【详解】（1）由函数 f (x) = ax + + 2ln (1 x)可知其定义域为 ( ,0) (0,1)，
x
b 2
则 f (x) = a ，故 f ( 1) = a b 1， f ( 1) = a b+ 2ln2，
x2 1 x
因为曲线 y = f (x)在 ( 1, f ( 1))处的切线方程为 y + 3 2ln2 = 0，
故 f ( 1) = a b 1= 0， f ( 1) = a b+ 2ln2 = 3+ 2ln2，
解得a = 2,b =1；
1 x 0
（2）由（1）可知 f (x) = 2x + + 2ln (1 x)，需满足 ，
x 1 x 0
则其定义域为 ( ,0) (0,1)；
1 2 2x3 + x 1 (x +1)(2x2 2x +1)
而 f (x) = 2 = = ，
x2 1 x x2 (1 x) x2 (1 x)
2 1 1
由于2x 2x +1= 2(x )
2 + 0,1 x 0，令 f x 0，解得 x 1，
2 2
令 f (x) 0，解得 1 x 1且 x 0，
即 f (x)的递增区间为 ( , 1)，单调递减区间为 ( 1,0) ,(0,1)；
（3）由（2）可知 x= 1时， f (x)取得极大值 f ( 1) = 3+ 2ln2 0，
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
2
当 x 0且 x无限趋近于 0 时， f (x) = x + + 2ln (1 x)的值趋向于负无穷大，
x
即 f (x)在区间 ( ,0)内无零点；
2
当 x 0且 x无限趋近于 0 时， f (x) = x + + 2ln (1 x)的值趋向于正无穷大，
x
2
当 x 1且 x无限趋近于 1 时， f (x) = x + + 2ln (1 x)的值趋向于负无穷大，
x
由此可作出函数 f (x)的图象：
1 2 1 2 e 1
结合 f = + e+ 2ln 1 = + e+ 2ln
e e e e e
2 2
= + e+ 2ln (e 1) 2 + e 2 0，
e e
2
1 1 1 1 2 e 2 2 e
2
f 1 = 2 1 + + 2ln = 2 + 4 = + 0
e2 2 2 2 2 2 2 e 1 e e e 1 e e 1 1
e2
可知 f (x)在 ( ,0) (0,1)内的零点个数为 1.
16．（15 分）如图：在五面体 ABCDE中，已知 AC ⊥平面BCD， AC//DE ，且
AC = BC = 2DE = 2，DB = DC = 2．
(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ；
(2)求直线 AE与平面BDE所成角的余弦值.
【详解】（1）分别取BC、BA的中点M 、 N ，连DM 、MN 、EN ，
如下图所示：
由DB = DC、BM =CM ，可知DM ⊥ BC ；
又M 、N 分别是的中点BC、BA，
1
所以MN //AC，且MN = AC ，由 AC //DE, AC = 2DE = 2，可得
2
MN//DE ，MN = DE ;
即四边形MNED为平行四边形，因此DM //EN ，DM = EN ；
因为 AC ⊥平面BCD，DM 平面BCD，
所以DM ⊥ AC，又DM ⊥ BC
所以EN ⊥ AC，EN ⊥ BC, AC BC =C, AC, BC 平面 ABC ；
即EN ⊥平面 ABC ，又EN 平面 ABE，
可得平面 ABE ⊥平面 ABC ．
（2）由（1）可知DM ⊥平面 ABC，且 AC ⊥ BC ，即MN ⊥ BC；
因此DM , MN , BM 三条直线两两垂直，
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
以M 点为坐标原点，MN ,MB,MD 为 x 轴、 y 轴、 z 的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系，易得 A(2, 1,0) , B (0,1,0), N (1,0,0), D (0,0, 3 ), E (1,0, 3)；
所以 AE = ( 1,1, 3) , BD = (0, 1, 3) , BE = (1, 1, 3)，
设平面BDE的法向量n = (x.y, z)，
n BD = y + 3z = 0
则 ，解得 x = 0，令 z =1，可得 y = 3 ，即
n BE = x y + 3z = 0
n = (0, 3,1)，
n AE 2 3 15
从而cos n, AE = = = ，
| n | | AE | 2 5 5
15 10
设直线 AE与平面BDE所成的角为 ，则sinθ = ，所以cos = 1 sin2 = ；
5 5
10
所以直线 AE与平面BDE的余弦值为 .
5
17．（15 分）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取 5 局 3
胜制，即某队先赢得 3 局比赛，则比赛结束且该队获胜，每局都是单打模式，每队有 5 名
队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过
小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员 M对
3 1
乙队的每名队员的胜率均为 ，甲队其余 4 名队员对乙队每名队员的胜率均为 .（注：比
4 2
赛结果没有平局）
(1)若求甲队明星队员 M在前三局比赛中出场，记前三局比赛中，甲队获胜局数为 X，求随
机变量 X的分布列及数学期望；
(2)若已知甲乙两队比赛 3 局，甲队以3: 0获得最终胜利，求甲队明星队员 M上场的概率.
【详解】（1）X可能取值有 0，1，2，3.
2 2 2
1 1 1 3 1 1 1 5
P(X = 0) = = ， P(X =1) = + C
1
2 = ，
4 2 16 4 2 4 2 16
2 2 2
3 1 1 1 7 3 1 3
P(X = 2) = C12 + = ， P(X = 3) = = ，
4 2 4 2 16 4 2 16
因此，随机变量 X的分布列是
X 0 1 2 3
1 5 7 3
P
16 16 16 16
1 5 7 3 7
数学期望E (X ) = 0 +1 + 2 + 3 = ；
16 16 16 16 4
（2）设A 为甲 3 局获得最终胜利，B1为前 3 局甲队明星队员M 上场比赛，B2为前 3 局甲
队明星队员M 没有上场比赛，
C2A3 3 2
因为每名队员上场顺序随机，P (B ) = 4 31 =3 ，P (B2 ) =1 P (B1 ) = ， A5 5 5
2
3 3
( )
1 9
P (AB1 ) = P (B1 )P A B1 = = ，
5 4 2 80
2 3
3 3
P (A) = P (B )P (A B )+ P (B )P (A B ) 1 2 1 131 1 2 2 = + = ，
5 4 2 5 2 80
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
P (B A) 9
甲队明星队员M 上场的概率P (B1 A)
1
= = .
P (A) 13
18．（17 分）已知抛物线C ： y2 = 2px（0 p 5）上一点M 的纵坐标为 3，点M 到焦点
距离为 5.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点 (1,0)作直线交C 于A ， B 两点，过点A ， B 分别作C 的切线 l1与 l2， l1与 l2相交于
点D，过点A 作直线 l3 垂直于 l1，过点 B 作直线 l4垂直于 l2， l3 与 l4相交于点E， l1、 l2、
l3 、 l4分别与 x 轴交于点 P 、Q、 R 、S .记 DPQ、 DAB、 ABE 、 ERS 的面积分别为
S1、 S2 、 S3 、 S4 .若 S3S4 = S1S2 ，求实数 的取值范围.
9 = 2 pt
9 p
【详解】（1）设M (t,3)，由题意可得 p ，即 + = 5，
t + = 5 2p 2
2
解得 p =1或 p = 9（舍去），所以抛物线C 的方程为 y2 = 2x .
（2）如图，设经过 A(x1, y1 )，B (x2 , y2 )两点的直线方程为 lAB ： x = my +1（m R），
与抛物线方程 y2 = 2x联立可得 y2 = 2my + 2，
即 y2 2my 2 = 0， = 4m2 +8 0∴ y1 + y2 = 2m， y1y2 = 2 .
1 1
∵ y2
'
= 2x，则 y = 2x ，∴ y = = ，
2x y
1 1 y1
∴过点A 作C 的切线 l 方程为 y = (x x1 )+ y1 = x +1 ， y1 y1 2
y2 y
2
令 y = 0 ，得 x = 1 ，即P
1
,0 .
2 2
1 y
同理，过点 B 作C 的切线 l 方程为 y = x +
2
2 ， y2 2
y 2
2 2
y 2
令 y = 0 ，得 2 ，即Q 2
y y
x = ,0 .∴ PQ =
2 1 .
2 2 2 2
1 y1 y1y2
y = x + x = = 1 y1 2 2
联立两直线方程 ，解得 ，即D ( 1,m)，
1 y yy = x + 2 y = 1
+ y2 = m
y2 2 2
1 m m 1 m2 + 2
则D到直线 lAB 的距离dD AB = = .
m2 +1 m2 +1
y 3
又∵过点A 作直线 l3 垂直于 l1，直线 l3 的方程为 y = y1x+ x1y1 + y1 = y1x+
1 + y ， 1
2
y 2 y
2 y 3
令 y = 0 ，得 1x = 1 +1，即R +1,0 .同理，直线 l4的方程为 y = y2x +
2 + y ， 2
2 2 2
2 2 2
y 2 y y y
令 y = 0 ，得 x = 2 ，即 S 2 +1,0 ∴ RS = 2 1+1 . .
2 2 2 2
3 y 2y 1 + y
2+ y y
y = y1x +
1 + y 2 1 21 x = +1 2 2
联立两直线方程 ，解得 ，
y 3 y1y2 ( y1 + y2 2 )y = y2x + + y 2 y = 2 2
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
x = 2m2 + 2
整理后可得 ，即E (2m2 + 2,2m)，
y = 2m
2m2 + 2 m 2m 1 1
则E到直线 lAB 的距离d . E AB = =
m2 +1 m2 +1
1 1 y 2 2 22 y1 1 m + 2由上可得 S = PQ y = m ， S2 = AB dd AB = AB1 D ，
2 2 2 2 2 2 m2 +1
1 1 1 1 y2 y2
S3 = AB d
2
E AB = AB ， S4 = RS yE =
1 2m ，
2 2 m2 +1 2 2 2 2
1 1 y2 y2
AB 2 1 2m
S S 2 m2 +1 2 2 23 4 2
∴ = = = (0,1)， (m 0)
S S 2 2 2 21 2 1 y2 y1 m + 2 m + 2 m AB
2 2 2 2 m2 +1
∴实数 的取值范围是 (0,1) .
19.（17 分）给定整数n 3，由n 元实数集合S定义其相伴数集T = a b∣a b S ,a b ，
如果min (T ) =1，则称集合 S为一个n 元规范数集，并定义 S的范数 f 为其中所有元素绝
对值之和.
(1)判断 A = 0.1, 1.1,2,2.5 、B = 1.5, 0.5,0.5,1.5 哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个n元规范数集 S，记m 、M 分别为其中最小数与最大数，求证：
min (S ) + max (S ) n 1；
(3)当 S = a1,a2 , ,a2023 遍历所有 2023 元规范数集时，求范数 f 的最小值.
注：min (X )、max (X )分别表示数集 X 中的最小数与最大数.
【答案】(1)集合 A不是规范数集；集合 B是规范数集；(2)证明见详解；(3)1012 1011 .
【详解】（1）对于集合 A：因为 2.5 2 = 0.5 1，所以集合 A不是规范数集；
对于集合 B：因为B = 1.5, 0.5,0.5,1.5 ，
又 1.5 ( 0.5) =1， 1.5 0.5 = 2， 1.5 1.5 = 3， 0.5 0.5 =1， 0.5 1.5 = 2，
0.5 1.5 =1，
所以 B相伴数集T = 1,2,3 ，即min (T ) =1，故集合 B是规范数集.
（2）不妨设集合 S中的元素为 x x x ，即min (S ) = x1,max (S ) = x1 2 n n ，
因为 S为规范数集，则 i N ,1 i n 1，则 xi+1 xi 1，且 i0 N ,1 i0 n 1，使得
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
xi +1 x0 i =1， 0
当 x1 0时，则 min (S ) + max (S ) = x1 + xn = x1 + xn = (x2 x1 )+ (x3 x2 )+ (xn xn 1 )+ 2x1
n 1+ 2x1 n 1，
当且仅当 x xi+1 xi =1且 1 = 0 时，等号成立；
当 xn 0时，则
min (S ) + max (S ) = x1 + xn = x1 xn = (x2 x1 )+ (x3 x2 )+ + (xn xn 1 ) 2xn
n 1 2xn n 1，
当且仅当 xi+1 x =1且 xn = 0i 时，等号成立；
当 x1 0, xn 0时，
则 min (S ) + max (S ) = x1 + xn = x1 + xn = (x2 x1 )+ + (xn xn 1 ) n 1，
当且仅当 xi+1 xi =1时，等号成立；
综上所述： min (S ) + max (S ) n 1.
（3）法一：不妨设a1 a2 a2023，
因为 S为规范数集，则 i N ,1 i 2022，则ai+1 ai 1，且 i0 N
,1 i0 2022，使得
ai a =1， 0+1 i0
当a1 0时，则当2 n 2023时，可得
an = (an an 1 )+ (an 1 an 2 )+ + (a2 a1 )+ a1 (n 1)+ a1，
当且仅当ai+1 ai =1,i N
,1 i n 1时，等号成立，
则范数 f = a1 + a2 + + a2023 = a1 + a2 + + a2023 a1 +1+ a1 + + 2022+ a1 ，
当且仅当ai+1 ai =1, i N
,1 i 2022时，等号成立，
2022 (1+ 2022)
又 a1 +1+ a1 + + 2022+ a1 = + 2023a =1011 2023+ 2023a 1011 2023， 1 1
2
当且仅当a1 = 0时，等号成立，
故 f 1011 2023，即范数 f 的最小值1011 2023；
当a2023 0时，则当1 n 2022时，可得
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
a = n (a 2023 a2022 )+ (a2022 a2021 )+ + (an+1 an ) + a2023 (2023 n)+ a2023 ，
当且仅当ai+1 ai =1,i N
,n i 2022时，等号成立，则 an 2023 n a2023，
则范数 f = a1 + a2 + + a2023 = a1 a2 a2023
2022 a2023 + 2021 a2023 + +1 a2023 + ( a2023 )，
当且仅当ai+1 ai =1,i N
,n i 2022时，等号成立，又
2022 (1+ 2022)
2022 a2023 + 2021 a2023 + +1 a2023 + ( a2023 ) = 2023a2023
2
=1011 2023 2023a2023 1011 2023，
当且仅当a2023 = 0时，等号成立，
故 f 1011 2023，即范数 f 的最小值1011 2023；
当 m N ,1 m 2022，使得am 0 am+1，且a2023 0，
2023
当2023 2m 0，即m ，即m 1011时，则当m+1 n 2023时，可得
2
an = (an an 1 )+ (an 1 an 2 )+ + (am+2 am+1 )+ am+1 n m 1+ am+1，
当且仅当ai+1 ai =1,i N
,m+1 i 2022时，等号成立，
则当1 n m时，可得am+1 an = (am+1 am )+ (am am 1 )+ + (an+1 an ) m n+1，
当且仅当ai+1 ai =1,i N
,n i m时，等号成立，
则范数 f = a1 + a2 + + a2023 = ( a1 a2 am )+ (am+1 + + a2023 )
= (am+1 a1 )+ (am+1 a2 )+ + (am+1 am ) mam+1 + (am+1 + am+2 + + a2023 )
(m+m 1+ +1) mam+1 + (am+1 +1+ am+1 + + 2022 m+ am+1 )
m(m+1) (2023 m)(2022 m)
= + + (2023 2m)a m+1
2 2
= m2 2022m+1011 2023+ (2023 2m)am+1
m2 2022m+1011 2023；
2
对于 y = m 2022m+1011 2023(m 1011)，其开口向上，对称轴为m =1011，
y 2所以 min =1011 2022 1011+1011 2023=1012 1011，
所以范数 f 的最小值为1012 1011；
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
2023
当2023 2m 0，即m ，即m 1012时，
2
则当m+1 n 2023时，可得an am = (an an 1 )+ (an 1 an 2 )+ + (am+1 am ) n m，
当且仅当ai+1 ai =1,i N
,m+1 i 2022时，等号成立，
则当1 n m时，可得 an = (am am 1 )+ (am 1 am 2 )+ + (an+1 an ) am m n am ，
当且仅当ai+1 ai =1,i N ,n i m 1时，等号成立，
则范数 f = a1 + a2 + + a2023 = ( a1 a2 am )+ (am+1 + + a2023 )
= ( a1 a2 am )+ (am+1 am )+ + (a2023 am )+ (2023 m)am
(m 1+m 2+ +1) mam + (1+ 2+ + 2023 m)+ (2023 m)am
m(m 1) (2023 m)(2024 m)
= + + (2023 2m)a m
2 2
= m2 2024m+1012 2023+ (2023 2m)am
m2 2024m+1012 2023；
2
对于 y = m 2024m+1012 2023(m 1012)，其开口向上，对称轴为m =1012，
2
所以 ymin =1012 2024 1012+1011 2023 =1012 1011，
所以范数 f 1012 1011；
综上所述：范数 f 的最小值1012 1011 .
法二：不妨设a1 a2 a2023，
因为 S为规范数集，则 i N ,1 i 2022，则ai+1 ai 1，且 i0 N ,1 i0 2022，使得
ai +1 ai =1，所以对于 S j = a j , ,a2024 j S ，同样有 j N ,1 j 1011，则0 0
a j+1 a j 1，
由（2）的证明过程与结论 min (S ) + max (S ) n 1可得，
min (S j ) + max (S ) 2024 2 j，当且仅当a j+1 a j =1j 时，等号成立，
即 a1 + a2023 2022， a2 + a2022 2020，…… a1011 + a1013 2，
所以范数 f = a1 + a2 + + a2023 2022+ 2020+ + 2+ a2012
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
(2022+ 2) 1011
= + a2012 =1012 1011+ a ， 2012 1012 1011
2
当且仅当 a2012 = 0时，等号成立，
所以范数 f 的最小值1012 1011 .
{#{QQABYYCAogggAgBAAAhCEwEqCkKQkBCACKoGQAAAMAABiBFABAA=}#}
