2023-2024学年数学九年级上册苏科版开学摸底测试卷
一、单选题
1．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“大”、“美”、“钢”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（ ）
A． B． C． D．
2．若一组数据的平均数是，则这组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
3．一组数据的方差为，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的6倍，那么所得到的一组新数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个方程，哪个是一元二次方程（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程：没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程的两根分别是和，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点，则（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
8．如图，点是上的点，连接，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．有三张背面完全一样、正面分别标有数字的卡片，将它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张计为，放回洗匀再从中随机抽取一张记为，则的概率是 ．
10．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨，B种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 ．
11．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ．
12．若规定两数，，通过运算“”可得，即，如，若，则的值为 ．
13．如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 ．
14．如图，点A，B，C在半径为2的上，若，则弦 ．
15．如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ．
16．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是 ．
三、解答题
17．口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：
(1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值．
(2)在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球．
18．某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．
(1)这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；
(2)分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；
(3)结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．
19．在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．
(1)如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度；
(2)后来要在这块矩形地面上，重新进行规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？
20．某大型品牌书城购买了两种新出版书籍，商家用元购买书籍，元购买书籍，两种书籍的进价之和为元，且购买书籍的数量是书籍的倍．
(1)求商家购买书籍和书籍的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当书籍的售价为每本元，书籍的售价为每本元时，平均每天可卖出本书籍，本 书籍．据统计，书籍的售价每降低元平均每天可多卖出本．商家在保证书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进的销量，想使书籍和书籍平均每天的总获利为元，则每本书籍的售价为多少元
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点顺时针旋转所得的；
(3)在（2）的条件下，求扫过图形的面积．
22．如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．【探索发现】有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆．
【理解应用】我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题：如图2．在中， ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图3，在中，， ，，请求出的最小覆盖圆的半径．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画出树状图，进行求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率为，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了中位数、平均数，根据平均数的计算公式先求出的值，然后将数据按照从小到大依次排列即可求出中位数，掌握算术平均数和中位数的求法是解题的关键．
【详解】解：∵数据的平均数是
∴，
解得，
∴这组数据为，
把数据按照从小到大的顺序排列为，
∴这组数据的中位数是，
故选：．
3．C
【分析】本题考查方差．根据方差的公式进行分析即可得到答案．
【详解】解：这组数据中的每个数据都扩大为原来的6倍，
∴扩大后的数据的方法为，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：．
【详解】、是一元二次方程，此选项符合题意；
、不是整式方程，此选项不符合题意；
、是一元一次方程，此选项不符合题意；
、中，有个未知数，此选项不符合题意；
故选：．
5．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根得到，列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：．
6．D
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，，完全平方公式，熟记关系式是解题的关键．
首先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后将利用完全平方公式变形代入解答即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为和，
∴，
∴．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了圆周角定理和三角形的角的关系．根据题意可知点在以为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出，再利用三角形的外角的性质就可以求出答案．
【详解】解：根据题意可知点在以为直径的圆上，
设圆心为，连接，则，
，
．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．
根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
9．
【分析】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上的数字的乘积为正数的概率是，
故答案为：.
10．
【分析】本题主要考查了求加权平均数、比例的性质等知识点，根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格是解题的关键．
根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得到等式化简即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】根据矩形的性质及垂直平分线的性质得，再由折叠的性质，得到，根据勾股定理可求得，因此，设，在中，由勾股定理列方程并求解，即得答案．
【详解】四边形为矩形，
是边的垂直平分线，
，
四边形为矩形，
，，
根据折叠的性质，可知，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
解得，
的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键．
12．或/或
【分析】本题考查定义新运算、一元二次方程的解法等，根据材料写出正确的算式是关键．
已知等式利用题中新定义变形，计算即可求出x的值．
【详解】已知等式利用题中新定义化简得：，即，
分解因式得：，
解得：或．
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
【详解】解：正五边形的内角为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，证明为等边三角形即可，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
【详解】解：∵，且，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹．
【详解】解：∵的平分线相交于点，
∴可以假设，，
则有，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴；
取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动，
∵，，，
∴，
则扫过的面积扇形的面积的面积，
，
；
故答案为：，．
16．
【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解题的关键．
先根据圆周角定理可得，再根据圆的内接四边形的性质即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵四边形内接于，
∴．
故答案为：．
17．(1)；
(2)取走3个白球．
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（1）根据红球与白球的数量的情况即可求解；
（2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，解出的值即可．
【详解】（1）解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且，
；
（2）解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个，
根据题意得，，
解得，
答：取走3个白球．
18．(1)6，5.5
(2)西红柿销量的方差为462.5，黄瓜销量的方差为350
(3)西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加
【分析】此题考查了条形统计图，折线统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据统计图数据解答即可．
【详解】（1）由题意得，这四周西红柿销售单价的众数为6，黄瓜销售单价的中位数为：；
故答案为：6，5.5；
（2）西红柿销量的平均数，
黄瓜销量的平均数，
西红柿销量的方差，
黄瓜销量的方差；
（3）答案不唯一，如：西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加．
19．(1)道路的宽度为
(2)道路的宽度应设计为
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用：
（1）利用平移的性质得到方程，求解即可；
（2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程，解答即可．
【详解】（1）解：设道路的宽度为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：道路的宽度为．
（2）解：设道路的宽度应设计为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为．
20．(1)商家购买书籍的进价为元本，购买书籍的进价为元本；
(2)元．
【分析】（）根据题意，列出分式方程，解分式方程即可求解；
（）根据题意，列出一元二次方程，解一元二次方程即可求解；
本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设书籍的进价为元本，则书籍的进价为元本，
依题意可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：商家购买书籍的进价为元本，购买书籍的进价为元本；
（2）解：设每本书籍的售价为元，则每本书籍的销售利润为元，平均每天可卖出本，
根据题意得，，
整理得，，
解得，，
∵要促进的销量，
∴，
答：每本书籍的售价为元．
21．(1)作图见解析，
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查作图—旋转变换，勾股定理，扇形的面积，
（1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据“扫过图形的面积的面积扇形的面积”计算即可；
掌握旋转变换的性质，正确得出“扫过图形的面积”的表达式是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，点、、分别为点、、关于原点对称的对应点，
连接、、，
则即为所作，此时的坐标为；
（2）如图，点、分别为点、绕点顺时针旋转所得的对应点，
连接、、，
则即为所作；
（3）由图形可知，
，
∴扫过图形的面积的面积扇形的面积
，
∴扫过图形的面积为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长；
（1）利用角平分线的性质得出，进而得出；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出是的直径，进而根据三角形的外角的性质得出，然后根据（1）的结论得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵与都是弧所对的圆周角，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
23．【理解应用】见解析；【拓展提升】2
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，作三角形的外接圆，垂径定理，圆周角定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键．
理解应用：利用尺规作，的垂直平分线，得到交点，即为圆心，从而可得答案；
拓展提升：连接、，过O作，求解，可得，证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】理解应用：
解：由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接，则为半径，画图如下：
拓展提升：
如图，的最小覆盖圆为的外接圆
连接、，过O作
，
（圆周角定理）
，则是等腰三角形
在中，
由勾股定理得：
解得：
故的最小覆盖圆的半径为2；
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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