高一数学开学摸底考01-全国甲卷、乙卷专用开学摸底考试卷
2024届高一下学期开学摸底考01（全国甲卷、乙卷专用）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
3．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A． B． C． D．
4．在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定
5．2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年
6．已知实数且,函数在上是增函数,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则（ ）
A．时，是偶函数 B．时，的值域为
C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数
8．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知.且，则下列结论正确的是（ ）
①；
②的最小值为；
③的最小值为；
④的最小值为.
A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
14．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ．
15．航天（Spaceflight）又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术），空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛．小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为 ．
16．设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 .
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17．已知非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数为定义在上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求方程的解集.
19．南昌的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，其实在南昌还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉.南昌某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：
(1)在样本中，按分层抽样从质量在中的香瓜中随机抽取了个香瓜，其中质量在中的香瓜有6个，求的值；
(2)估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）；
(3)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜2万个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以5元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购.请分别计算两种方案获得的利润，并说明种植园选择哪种方案获利更多？
20．已知函数（其中），且.
(1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)解不等式：.
21．某校通用技术的项目活动小组制作水火箭，为了让水火箭飞得更高，活动小组从“气压、水量、飞行姿态控制、整体质量控制和起飞装置”等方面进行测试、调试，然后参与学校测评．现从高一、高二两个年级分别抽取5个小组进行水火箭飞行综合测评，成绩（单位：分）如下：
高一 85 86 89 89 91
高二 83 87 89 90 91
(1)分别计算高一、高二两个年级活动小组水火箭飞行测评成绩的方差，并且判断哪个年级项目活动小组制作的水火箭在飞得更高方面比较稳定；
(2)若从高一、高二两个年级参与测评且成绩在89分及以上的项目活动小组中，随机抽取2个小组作为学校代表到青少年活动中心给小学生指导，求抽取的2个小组成绩之差不低于1分的概率．
22．已知函数的定义域为.
(1)求的取值范围；
(2)当时,函数的图象始终在图象的上方,求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解.
【详解】因为，，
所以，，，，，，
若，则，，所以，与题意矛盾，所以，
同理可证，，，
所以.
故选：A
2．D
【分析】利用全称命题的否定形式判定即可.
【详解】命题“，”的否定为:“，”.
故选:D.
3．B
【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B
4．B
【分析】分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案.
【详解】甲的平均值为：，
甲的方差为：
乙的平均值为：，
乙的方差为：.
故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
故选：B
5．D
【分析】根据碳14质量随时间的衰变公式代入条件，对指数式两边取对数，代入近似值即得.
【详解】依题意得：，等式两边取以为底的对数并整理得：，解得：，
代入即得：.
故选：D.
6．C
【分析】根据分段函数的单调性的性质,列式求解.
【详解】因为在上是增函数,
所以解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
7．A
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A，当时定义域为，
且，所以为偶函数，故A正确；
对于B，当时，，则的值域为，故B错误；
对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误；
对于D，当时，在上单调递增，故D错误；
故选：A
8．B
【分析】由解析式判断图象问题借助排除法，先借助函数奇偶性，再借助特殊点的正负即可得到.
【详解】的定义域为，
又，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，
又，所以排除D．
故选：B.
9．A
【分析】由可得，判断①，利用基本不等式中消元、配凑、“”的代换的方法即可判断②③④.
【详解】由可得，
所以，①正确；
，
当且仅当即时，等号成立，②正确；
，
当且仅当即时，等号成立，③错误；
由可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，④正确.
故选：A
10．C
【分析】根据对数函数的性质，对数函数的运算，即可判断选项.
【详解】，即，
，所以，
，即，
，所以，
综上可知，.
故选：C
11．A
【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.
【详解】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需
综上：所以或，
故选：A．
12．D
【分析】运用奇函数性质可得及单调性性质求解即可.
【详解】因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
所以，解得，
故t的范围为.
故选：D.
13．0
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得，由于是定义在上的奇函数，
所以，
故答案为：0
14．
【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数.
【详解】图中成绩低于60分的频率为，
则该校成绩低于60分的学生人数为（人）
故答案为：
15．
【分析】利用独立事件与对立事件的概率公式求得各位学生答对这道题的概率，进而得解.
【详解】设小张同学答对的事件为A，答错的事件为，
小胡同学答对的事件为B，答错的事件为，
小郭同学答对的事件为C，答错的事件为，
因为小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是，
所以，则，
而 ，即，则，即，
而 ，即，则，即
所以小张、小胡、小郭三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
，
，
故答案为：
16．
【分析】先由题意分析出性质，将零点问题转化为交点问题，求解参数即可.
【详解】∵，则函数关于直线对称，
又∵函数是定义在R上的奇函数，则，
即，则，
故函数是以4为周期的周期函数，
又∵，即，
故函数关于点对称，
令，则，
原题等价于与有3个交点，且的定义域为，
如图所示，则可得，解得，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的补集和交集的定义可得结果.
（2）由“”是“”的充分条件，得,根据子集关系可得结果.
【详解】（1）当时，，或，又，
所以.
（2）若“”是“”的充分条件，即,
因为P是非空集合，所以，即，
所以，解得，
故实数a的取值范围为：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；
（2）根据题意先求时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.
【详解】（1）因为函数为定义在上的偶函数，当时，，
所以任取，则，此时，
所以
（2）当时，令，
即，
令，则，解得或，
当时，，
当时，，
根据偶函数对称性可知，当时，符合题意的解为，，
综上，原方程的解集为
19．(1)
(2)387
(3)方案①，利润77400元；方案②，利润85200元；选择方案②获利更多
【分析】（1）根据分层抽样原理，列出比例式计算即得；
（2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即得；
（3）按照方案①分别列出不同质量的香瓜个数，计算出香瓜的总质量，乘以单价即得利润，按照方案②分别统计质量低于350克和高于或等于质量低于350克的香瓜数目，按不同价格计算即得利润，最后比较结果即可.
【详解】（1）按分层抽样，，所以；
（2）由频率分布直方图知，各区间频率依次为0.17，0.20，0.30，0.25，0.08，
这组数据的平均数为：
；
（3）按照方案①：由题意可知20000个香瓜中：
200克的有个，300克的有：个，
400克的有：个，500克的有：个，
600克的有：个，则以5元/500克收购获得利润为：
元；
按照方案②：质量低于350克的香瓜有个，
质量高于或等于350克的香瓜有个，
则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购获得的利润为：
元，因，
故该种植园选择方案②获利更多.
20．(1)函数在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用已知条件求出，根据定义法求解单调性即可；
（2）根据题意研究函数奇偶性，根据奇函数性质转化不等式，再结合单调性解不等式即可.
【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：
因为，所以，所以，
任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递增；
（2）定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以不等式，即，
又因为在上单调递增，，，
所以，即，则，则，
所以或，即不等式的解集为.
21．(1)高一年级测评成绩的方差，高二年级测评成绩的方差，高一年级项目活动小组制作的水火箭在飞得更高方面比较稳定
(2)
【分析】（1）由方差的公式即可得出两组成绩的方差；
（2）先列举出事件的全部结果，再列出所求事件包括的全部事件，从而由古典概型的概率公式即可求得结果.
【详解】（1）设高一、高二两个年级活动小组水火箭飞行测评成绩的平均数分别为，方差分别为，则，，
，
，
因为，所以高一年级项目活动小组制作的水火箭在飞得更高方面比较稳定．
（2）高一参与测评且成绩在89分及以上的项目活动小组有3个，分数分别为，依次记为；高二参与测评且成绩在89分及以上的项目活动小组有3个，分数分别为，依次记为，
从这6个小组中随机抽取2个小组的基本事件有
，共15个，
设事件为“抽取的2个小组成绩之差不低于1分”，则事件包含，共11个基本事件，
根据古典概型的概率计算公式知，
所以抽取的2个小组成绩之差不低于1分的概率为.
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据对数函数的真数大于0可得参数的取值范围;
(2)构造函数,根据单调递增,将恒成立问题转化为再运算求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为,
对恒成立,故
在单调递增,
即
故的取值范围为
（2）由题意得当时,恒成立，
设,则对恒成立.
在单调递增,为增函数，
又是减函数，
是减函数.
则
对恒成立,
又由(1)知或
即的取值范围为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
