浙江省宁波市南三县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的长度可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在同一条直线上，，添加下列哪一个条件可以使（ ）
A． B． C． D．
7．若点位于第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．
10．如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
二、填空题
11．已知点A（-2，-3），点A与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 .
12．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
13．等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为 ．
14．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解为 ．
15．如图，在中，，于点，，，则 ．
16．如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ．
三、解答题
17．解不等式组：，并把解表示在数轴上．
18．如图，在和中，，，．求证：．
19．已知关于的一次函数．当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)若是该函数图象上的两点，求证：．
20．如图，在中，是钝角．（保留作图痕迹）
(1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点．
(2)连结，若，求的度数．
21．某商场销售A，B两种型号智能手机，这两种手机进价和售价如下表：
型号 A B
进价（万元/部） 0.44 0.20
售价（万元/部） 0.5 0.25
该商场计划购进A，B两种型号手机共60部进行销售．
(1)求A，B两种型号手机全部销售后所获利润y（万元）与购进A型手机的数量x的函数关系．提示：利润（售价进价）销售量
(2)若该商场此次用于购进手机的总资金不超过15.6万元．若两种手机都按售价全部售完，问：该商场应该怎样进货，使全部销售后获得的利润最大，最大利润是多少．
22．已知两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发匀速运动到地，先到地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离与乙离开地的时间（）之间的函数关系如图所示．
(1)第一次相遇的时间在乙出发______小时．
(2)求线段对应的函数表达式．
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距时，求此时乙行驶的时间．
23．如图，直线与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结．
(1)求出两点的坐标；
(2)求证：；
(3)在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
24．【问题情境】
（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】
（2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
【拓展运用】
（3）如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第二象限．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查三角形的三边和关系，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
符合要求的为4，
故选A．
4．C
【分析】根据不等式的性质进行判断即可，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A．若成立，则，故选项不符合题意；
B．若成立，则，故选项不符合题意；
C．若成立，则，故选项符合题意；
D．若成立，则，故选项不符合题意．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了举反例：符合命题的条件，但不符号命题的结论；根据举反例的含义进行判断即可．
【详解】解：当或或时，均满足；当时，，矛盾，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
根据题意可求出，再结合三角形全等的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
A．，结合题意，可利用“”证明，；
B．，结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“”或“”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意；
C．∵，
∴．
结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“”或“”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意；
D．，不能证明，不符合题意；．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据第四象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集是：，
所以m的取值范围是：．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关键．
根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围．
【详解】解：当时，，则y随x的增大而减小，
∴，
解得：
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
，
三个正方形的面积分别为，
，
在及中，由勾股定理可得：
，，
，
，
故选：C．
10．A
【分析】连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则,此时取得最小值，求出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，
∵点分别是点关于的对称点，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为上一点，
∴当取得最小值时，则,此时取得最小值，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A
【点睛】此题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
11．(2,-3)
【详解】解：∵点A（﹣2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为点B，∴点B的坐标是（2，﹣3）．
故答案为（2，﹣3）．
点睛：此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．
【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．
13．/40度
【分析】由于等腰三角形的一个内角为，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当这个角是顶角时，底角；
②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件．
14．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象即可求解．
【详解】解：求关于的不等式的解集，就是自变量x取何值时，一次函数的函数值大于一次函数的函数值，从图象来看，就是一次函数的图象位于一次函数的图象上方；观察图象知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方，
故答案为：．
15．5
【分析】考查了勾股定理，理解勾股定理正确列方程是关键．设，则，然后根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∵于点，
∴，
在Rt中，
∴，解得
故答案为：5．
16．
【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：连接，，，
在中，，，
，
点分别是和的中点，
，，，，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
是直角三角形，且，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质．
17．，数轴见解析．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．
【详解】解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
将不等式组的解集在数轴上表示为：
18．证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明即可得结论成立．
【详解】证明：，
，
即，
，，
，
．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把，代入一次函数，计算即可证明结论．
【详解】（1）解：由题意得
解得
（2）把分别代入得
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图：作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和与外角的性质．
（1）按作线段垂直平分线的方法，分别作出线段的垂直平分线即可；
（2）由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，利用三角形内角和求得，由此即可求解．
【详解】（1）解：线段的垂直平分线如图；
（2）由作法知，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
21．(1)
(2)该商场A型手机购进15部，B型手机购进45部，获得的利润最大，最大利润是3.15万元
【分析】本题考查列一次函数，一次函数的性质，一元一次不等式解决实际问题．
（1）购进A型手机x部，则购进B型手机部，销售后A型手机的总利润为元，B型手机的总利润为，两者之和即为所获利润y，列出式子化简即可；
（2）根据“用于购进手机的总资金不超过15.6万元”列出不等式，求出购进A型手机数量x的范围，再根据（1）中所求的函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）由题意得
即，
∴A，B两种型号手机全部销售后所获利润y（万元）与购进A型手机的数量x的函数关系式为：
（2）由题意得
，
解得
∵在函数中，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值，为（万元）
∴
答：该商场A型手机购进15部，则B型手机购进45部，使全部销售后获得的利润最大，最大利润是3.15万元．
22．(1)1.8
(2)
(3)此时乙行驶的时间是小时
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、路程问题，理解各关键点的意义是解答的关键．
（1）根据图象中点P表示甲到达B地，进而求得甲行驶的速度，再求得乙行驶的速度，根据相遇时两人行驶的路程相等列方程求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据（2）中解析式，求出时的x值即可．
【详解】（1）解：由图象知，乙出发1小时后甲出发，乙出发3小时后甲到达B地，
∴甲行驶的速度为，乙行驶的速度为，
∵乙出发m小时后两人相遇，
∴，解得，
故答案为：1.8；
（2）解：由图象知，乙出发3小时后甲到达B地，两人相距，则，
∴，则,
设线段对应的函数表达式，
则，解得，
∴线段对应的函数表达式；
（3）解：由题意，乙行驶在段时，甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距，
由得，
答：此时乙行驶的时间是小时．
23．(1)
(2)证明见解析
(3)点的坐标为或
【分析】（1）对于一次函数，当时，；当时，．即可得到答案；
（2）证明，，再由，即可证明；
（3）证明当是等腰三角形时，只能或，分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点，点，
当时，；当时，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
，
，，
，
∵，
，
，
；
（3）解：当为等腰三角形时，点的坐标为或，
①如图
∵，
∴，
显然，
，
过作轴，显然，
，
当是等腰三角形时，只能或，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点时，则在中，，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
当为等腰三角形时，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、坐标和图形、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
24．（1）B；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）由已知和作图能得到，，再加上对顶角相等，即可根据“边角边”证明三角形全等；
（2）延长至点，使得，连结，先证明，得到，，再根据角平分线及平行线可逐步推得结论成立；
（3）延长至点，使得，连结，过点C作于点H，设，分别求出，，，可得，由勾股定理求得，再求出，由勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】（1）延长至点，使得，连结，
是的中点，
，
，
；
故选B．
（2）延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【点睛】本体考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等腰三角形两底角相等，等腰三角形三线合一性质及勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
