广西贺州市八步区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B．3 C． D．4
2．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
6．把二次函数用配方法化成的形式应为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大
8．如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的相似比是（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（ ）
A．2，6 B．，6 C．2， D．，
10．如图，在线段上取点，使得，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，图象如图所示，有下列结论；①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，菱形对角线相交于原点O，，B点坐标为，点A在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
14．分解因式： ．
15．目前手机的号码都是11位数，某人的手机号码位于中间的数字是8的概率为 ．
16．如图，与是位似图形，位似比为，若，那么 ．
17．如果一边长为的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，那么铁圈直径的最小值为 （铁丝粗细忽略不计）．
18．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在双曲线上，与轴交于点．直线的解析式为，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为 ．
三、解答题
19．计算：
20．计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°．
21．如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图像交于两点，与轴、轴分别交于点点，且．
(1)求反比例函数解析式；
(2)连接，求的面积．
22．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长(精确到0.1m)；
(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米？(精确到0.1m)(参考数据：sin68°＝0.9272，cos68°＝0.3746，tan68°＝2.4751，sin50°＝0.766O，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.1918)
23．近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批成本为30元的头盔、在销售中，通过分析销售行情发现这种头盔的月销售量（个）与售价（元/个）满足一次函数，当售价为45元时，销售量为110件，当售价为60元时，销售量为80件．
(1)设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为元，求与之间的函数解析式；
(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润为多少元？
24．如图，是的两条高．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
25．小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取份答卷，并统计成绩(成绩得分用表示，单位：分)，收集数据如下：
整理数据：
分析数据：
平均分 中位数 众数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中的值；
（2）该校有名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于分的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义．
26．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点左侧．点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点是抛物线对称轴上的一个动点时，求当最小时，点的坐标；
(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了相反数，熟知相反数的定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此解答即可．
【详解】解：的相反数是3，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查比例的性质，根据内项积等于外项积，得到，代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
3．B
【分析】根据形如，这样的函数叫做二次函数，得到，求解即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，
∴是中心对称图形，
故选：D．
5．A
【分析】考查反比例函数的几何意义，即的绝对值，等于的面积的2倍，数形结合比较直观．由反比例函数的几何意义可知，，也就是的面积的2倍是8，求出的面积是4．
【详解】解：设则，，
为反比例函数图象上一点，
，
，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【详解】解：
，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．
【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变．
故选：B．
8．C
【分析】由两个相似三角形的面积比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比．此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是，
∴这两个相似三角形的相似比是，
故选：C．
9．B
【分析】先根据二次函数的对称轴是直线求出的值，再把的值代入方程，求出的值即可．
【详解】解∶二次函数的对称轴是直线，
，解得，
关于的方程可化为，
即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
10．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．先证明，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A
11．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和系数的关系是解此题的关键．利用二次函数图象的性质和系数的关系，逐一分析即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵图象与轴交于正半轴，对称轴为直线，
∴，，
∴；故①错误，不符合题意；
∵图象的顶点在第一象限，
∴，故②正确，符合题意；
由图象可得：当时，，
∴当时，，故③错误，不符合题意；
∵，
抛物线对称轴，
，
，
∴，故④正确，符合题意；
故选：B．
12．B
【分析】由菱形的性质得到，，求出，由得，则，由勾股定理得，则，作于点D，于点E，证明，则，得到，则点A的坐标是，由点A在反比例函数的图象上即可求出答案．
【详解】解：∵菱形对角线相交于原点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于点D，于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵B点坐标为，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
13．x≥1
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
14．
【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
15．
【分析】8是10个数字中的一种情况，让1除以总情况数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
【详解】手机号码位于中间的数字共10种情况，故其是8的概率为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了位似图形，根据位似图形的性质即可求解，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】∵与是位似图形，位似比为，
∴
∵，
∴，
故答案为：9．
17．
【分析】由于三角形怎样穿过铁圈不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当铁丝围成的圆圈的直径等于等边三角形的高时；②将三角形放倒再穿过，求出铁圈直径．
【详解】如图所示：
若三角形放平，OB边平着穿过，
则铁圈的直径等于三角形的高，
在直角△OAC中，
∵OA=10cm，∠A=60°，
∴OC=OA sin60°=10×=5（cm）；
当三角形水平穿过，即先一个角穿过时，此时铁圈的直径等于三角形的边长．
∵10cm＞5cm，
∴将三角形放倒再穿过，圆的直径最小，
∴铁圈直径的最小值5cm．
故答案是：5．
【点睛】考查的是正多边形和圆，解答此题时要注意分两种情况进行讨论．
18．//
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，熟练的利用交点坐标的含义解题是关键；由一次函数过A，B可得，由反比例函数过A，B可得，再求解，，从而可得答案．
【详解】解：∵直线的解析式为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∵矩形的顶点在双曲线，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】先算平方、零指数、绝对值，再进行加减计算即可．
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算顺序是解题的关键．
【详解】
．
20．.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可.
【详解】解：原式=×+2×﹣2×1
=+3﹣2
=．
故答案为
【点睛】本题考核知识点：锐角三角函数.解题关键点：熟记特殊锐角三角函数值.
21．(1)；
(2)3．
【分析】（1）先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值，即可得反比例函数的解析式．
（2）根据求解即可．
本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图像过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
【详解】（1）解：一次函数的图像与轴、轴分别交于点，点D，，
，，
把坐标代入得：，
解得：，
一次函数解析式为，
当时，，
，
是一次函数的图像与反比例函数的图像的交点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：，
．
22．(1)BE≈20.4m；(2)BF至少是8.9米．
【分析】已知AB＝22，∠BAD＝68°利用sin68°可求出BE＝AB sin68°＝20.40≈20.4；作FG⊥AD，G为垂足，连FA，则FG＝BE利用tan50°求出AG的长17.12m，利用cos68°求出AE长，让AG减AE即可．
【详解】解：(1)作BE⊥AD，E为垂足，则
BE＝AB sin68°＝22×0.9272＝20.40≈20.4(m)．
(2)作FG⊥AD，G为垂足，连FA，则FG＝BE．
∵AG＝＝＝17.12．
∴AE＝AB cos68°＝22×0.3746＝8.24，
∴BF＝AG﹣AE＝8.88≈8.9(m)，
即BF至少是8.9米．
【点睛】主要考查分析问题，综合利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．
23．(1)；
(2)当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润为2450元．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）先设出与之间的函数关系式，利用待定系数法求出，再根据利润单价利润销售量列出w关于x的函数关系式即可得到答案；
（2）根据（1）所求利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式，
把代入解析式得：，
解得，
与之间的函数关系式；
；
（2）解：
，
当时，有最大值，最大值为，
当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润为2450元．
24．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）先由是的两条高可知，，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据（1）得，可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是的两条高，
∴，
又∵，
∴△ACD∽△BCE，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
25．（1）5；91；100 （2）1040人 （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；众数：在统计的问卷的成绩中，得分的人数最多
【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为人数；
（2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以1600即可得到结果；
（3）根据中位数和众数的意义进行回答即可．
【详解】（1）a=20-3-4-8=5；
将这组数据按大小顺序排列为：
81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，
其中第10个和第11个数据分别是90，92，
所以，这组数据的中位数b=；
100出现了4次，出现的次数最多，所以，众数c是100；
（2），
(人)
（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；
众数：在统计的问卷的成绩中，得分的人数最多.
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键．
26．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，即可求解；
（3）过点作轴，交于点，设，则，转化为二次函数求最值．
【详解】（1）点的坐标为，，
由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，
理由：为最小，
由抛物线的表达式知，点，抛物线的对称轴为直线，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
即点；
（3）如图：过点作轴，交于点．
由（2）知，直线的解析式为．
设，则．
，
当时，有最大值，最大值为．
的最大面积
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，有一定的综合性，难度适中．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
