2024-2025学年数学九年级下册苏科版开学摸底测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．为合理制定“双减”政策下学生作业管理方案，某小学随机抽取名五年级学生，对他们一周完成作业的时间（取整数）进行了统计，统计数据如表所示，则被抽取的名学生一周完成作业时间的中位数和众数分别是（ ）
完成作业时间/小时 6 7 8 9
学生人数 9 6 1 1
A．， B．，8 C．，8 D．8，8
2．某种商品经连续两次降价后，售价变为降价前的．若设平均每次降价的百分率为，则满足（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据5，2，3，5，4的中位数是3
B．为了解合肥市区的空气污染情况，适合采用全面调查
C．甲、乙两人 10次跳绳成绩的方差分别为，，说明乙的成绩比甲稳定
D．小明所在班级要抽签选出一名学生作为下周的值日生，小明被抽中是随机事件
4．如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在双曲线的图象上，D为y轴上一点，的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．18
5．如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线l：将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则的值为（ ）
A．4或 B．0或 C．0或 D．4或
6．如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在中，点C在上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点A、B均在上，将绕点B顺时针旋转得使得点D落在上，再将绕点D顺时针旋转得使得点G落在上，若点C恰在线段上，下列结论：①；②是直径；③点B、C、G三点共线；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．已知样本数据：，，，，则这组样本数据的方差是 ．
10．若关于的一元二次方程有一个根是0，则 ．
11．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
12．如图，在正方形铁皮上，以A为圆心剪下一个圆心角为的扇形，剩余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥．若，则r的最大值是 ．
13．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时， ．
14．如图，在中，，于D，则 度．
15．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中任意取3个数，这3个数的和是奇数的概率是 ．
16．如图，正六边形的边长为1，以对角线为直径作圆，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．九（1）班体育课代表小明对本班同学进行了一次关于“我最喜爱的体育项目”调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
(1)小明调查了________名学生，的值为________．
(2)补全条形统计图，在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数为________．
(3)学校将举办运动会，九（1）班推选出2名男同学和2名女同学参加乒乓球比赛，现从中随机选取2名同学组成双打组合，用画树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打的概率．
18．如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图（1）中作的角平分线；
(2)连接，在图（2）中作的角平分线．
19．贝贝和星星一起玩抽卡片游戏，4张卡片A、B、C、D的正面分别画有4个不同的图形（背面相同），将4张卡片洗均匀后倒扣在桌面上，两人轮流从中抽出1张卡片（放回）．
(1)用树形图或列表法表示他们抽卡片的所有情况；
(2)若两人抽出的卡片相同，则称两人“心灵相通”，求他们“心灵相通”的概率；
(3)若两人抽出的卡片不同，但两张卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则称两人“心有灵犀”，求他们“心有灵犀”的概率．
20．阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题：
(1)解方程：；
(2)解方程：．
21．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，是的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，作一个以为腰的等腰．
(2)在图2中，作一个以为对角线的矩形．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义及求法是解答的关键．
根据中位数和众数的定义进行解答即可．
【详解】解：将完成作业时间数据从小到大排列后，位于第个和第个的数据分别为7，8，
∴中位数为；
再根据表格可知众数是8，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程在增长率的应用，本题的关键是可将商品降价前的售价设为单位1，再根据平均变化率公式结合题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设商品降价前售价为“1”．根据题意，得，
即．
故选：A．
3．D
【分析】本题主要抽样调查与全面调查、中位数、方差，解题的关键是掌握普查与抽样调查的区别、中位数的定义及方差的意义．根据普查与抽样调查的区别、中位数的定义及方差的意义逐一判断即可．
【详解】解：A．一组数据5，2，3，5，4，重新排列为2、3、4、5、5，其中位数是4，此选项错误，不符合题意；
B．为了解合肥市区的空气污染情况，由于调查的工作量较大，适合抽样调查，此选项错误，不符合题意；
C．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，由，说明甲的成绩比乙稳定，此选项错误，不符合题意；
D．小明所在班级要抽签选出一名学生作为下周的值日生，小明被抽中是随机事件，此选项正确，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴，则点D到的距离为a，
∵为的直径，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的中心对称性是解题的关键．根据点A和点C的坐标以及平行四边形的中心对称性得出直线l经过，进而得出，求出直线l与x轴交点为，与y轴交点为，则，整理得：，然后进行分类讨论，列出方程求出k和b的值，即可解答．
【详解】解：∵，，四边形是平行四边形，
∴中点为，即中点为，
∵直线l：将分成面积相等的两部分，
∴直线l经过，
把代入得：，
整理得：，
把代入得：，
整理得：，
∴直线l与x轴交点为，
把代入得：，
∴直线l与y轴交点为，
∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
∴，
整理得：，
则或，
①当时，
，
解得：，
当时，，当时，，
∴或，
②当时，
，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
综上：或，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了切线长定理，由于是⊙O的切线，则，，求出的长即可求出的长．
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，根据“同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的两倍”，即得答案．
【详解】，所对的圆心角是，所对的圆周角是，
．
8．A
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，90度圆周角对的弦为直径等知识；由旋转的性质可判断①；连接，设，则可得，从而可求得，计算出，由此则可判断②；延长交圆于点，由为直角即可判断③；根据旋转角度的大小即可判断④；最后可确定答案．
【详解】解：由旋转性质知：，且它们等于旋转角，故正确；
如图，连接，设，则；
由旋转性质知：，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴
∴为的直径；
故②正确；
延长交圆于点，如图，
∵为直角，
∴为圆的直径；
∵为的直径，
∴必重合，
即点B、C、G三点共线；
故③正确；
∵为旋转角，
∴当旋转角为时，有，
否则；
故④错误；
综上，正确的有①②③三个；
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了求方差，先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式，即可求解，解题的关键是掌握方差等于各个数据与平均数的差的平方的平均数．
【详解】样本数据，，，的平均数为，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数．本题考查的是一元二次方程解的定义和一元二次方程的解法．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的定义．
【详解】解：把代入方程中，得
，
解得或，
当时，，舍去，
故答案为：．
11．1
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，将变形为，根据题意得到和的值，将值代入变形后的式子即可解题．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，即，
且，
．
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了圆锥的计算，切线的性质，根据题意，当与和都相切时，最大，采用数形结合的方法是解题的关键．
【详解】
,
当与和都相切时，最大，
如图，过点作于点，
则，四边形为正方形，
，，
,
,
解得，
即的最大值是1，
故答案为：1．
13．
【分析】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理；连接，根据垂径定理，知，设圆的半径为根据勾股定理求出，计算求出答案．
【详解】解：连接，如图：
是的弦中点，，
，
，，共线，
，
，
设圆的半径为，则，
在中，根据勾股定理，
得，
即，
解得，
，
∴
故答案为：．
14．58
【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由三角形内角和定理，得出，再利用圆周角定理，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：58．
15．
【分析】本题考查了排列组合，解题的关键是，根据题意分情况讨论，列出可能的情况分两偶数一个奇数，与三个都是奇数两种情况进行讨论，相加后除以9个数中任意取3个数的情况数量，即可求解．
【详解】解：个数的和是奇数
当两个是偶数一个是奇数的时候：
在四个偶数中，任选两个，包含及其之后的数字：3种2种1种种，
在五个奇数中，任选一个：种，
总计种，
当三个都是奇数的时候，包含及其之后的数字：种种种种种，
九个数中任取三个：
包含及其之后的数字：种种种种种种种种，
包含及其之后的数字：种种种种种种种，
包含及其之后的数字：种种种种种种，
包含及其之后的数字：种种种种种，
包含及其之后的数字：种种种种，
包含及其之后的数字：种种种，
包含及其之后的数字：种，
总计：种种种种种种种种，
3个数的和是奇数的概率是：，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．过点B作于点G，根据等腰三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，得出即可．
【详解】解：过点B作于点G，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．(1)50；6
(2)见解析，
(3)
【分析】本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及概率，掌握扇形统计图和条形统计图的特征以及画树状图，是解题的关键．
（1）根据统计图数据，用足球的数据对应所占的比例可求得调查学生的总数；然后根据调查学生的总数与乒乓球的人数可求得乒乓球所占的比例，最后可求得其他所占的比例；
（2）由“乒乓球”部分所对应的圆心角度数“乒乓球”部分所占的百分比，即可求解；并补全条形统计图；
（3）先画出树状图，再根据概率公式，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵由条形统计图数据可知，喜爱足球运动的有15人，足球占总调查人数总数的，
∴所调查学生的总数是：（人）．
∵由条形统计图数据可知，乒乓球人数为20人，则乒乓球占调查学生的总数的比例是：．
∴．
故答案为：50；6．
（2）解：补全统计图如图所示：
“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：，
（3）根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选出一男一女组成混合双打的情况有8种，
恰好选出一男一女组成混合双打的概率为．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质．
（1）设交于点，连接，如图，为的角平分线；
（2）连接并延长交于点，连接交于点，作射线，利用三角形的角平分线相交于一点，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
；
（2）解：如图，射线即为所作．
．
19．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查利用树状图求概率，正确理解题意是解题的关键：
（1）先画出树状图，再根据概率公式求出概率即可；
（2）根据树状图即可求出概率；
（3）先得出两人卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的情况有6种，进而得出答案．
【详解】（1）解：树状图如下：
（2）由树形图可知所有等可能情况共16种，其中两人卡片相同的情况有4种，
（心灵相通）．
（3）两人卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的情况有6种，
心有灵犀．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）令，原方程化为：，利用因式分解法解方程得到，再解两个分式方程并检验即可得到答案．
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和分式方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：
原方程化为：，
则或，
解得．
（2）
令，原方程化为：，
即，
则，
解得，
①，整理得，
即，
则，
解得．
②，整理得，
即，
则，
解得．
综上，．
21．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确画出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的定义得出，则，得出，再根据，得出，则，即可求证；
（2）连接，通过证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是圆的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】本题主要考查圆的基础知识，等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质的综合，掌握圆的基础知识，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等弧所愿圆周角相等可判定是角平分线，再根据直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形的“三线合一”即可作图；
（2）根据线段中点，中位线的性质可得，，再根据直径所对圆周角为直角，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，延长，交于点，
∵点是的中点，
∴，
∴，即平分，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴即为所求图形；
（2）解：如图所述，
连接，令交于点，
∵点是的中点，是经过圆心的半径，
∴点为的中点，
连接，与交于点，
∵点是的中点，
∴是上的中线，是上的中线，
∴点是中线的交点，
连接并延长交与点，
∴点是的中点，则，
连接，
∴，，
∵点为的中点，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵是的直径，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴四边形即为所求图形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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