山东省济宁市邹城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．新能源汽车发展迅猛，下列新能源车标既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币正面向上 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C．买彩票中奖 D．任意画一个三角形，其内角和为
3．如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（ ）
A．7 B． C．9 D．
5．已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
6．将二次函数的图象向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到新图象的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，的直径垂直弦于点E，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的顶点上，且、相交于点O，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．反比例函数图象上有三个点，其中，则的大小关系是 ( )
A． B． C． D．
10．抛物线（）与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，下列说法中正确的是（ ）
①抛物线过原点；
②；
③；
④抛物线顶点为：
⑤当时，y随x的增大而增大．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．关于x的一元二次方程有两个不相等的根，其中一个根为，则另一个根为 ．
13．如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为 ．
14．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数（x>0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为 ．
15．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）解方程：
17．在一个不透明的盒子中装有2个白色小球和2个黑色小球，它们除颜色外其余均相同，从这个盒子中随机地摸出2个小球，
(1)请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球是不同颜色的概率．
(2)若小明、小亮做游戏，游戏规则是：两次摸出的小球颜色不同则小明得1分，颜色相同小亮得1分．你认为这个游戏公平吗？如果不公平，如何两人的分更公平？
18．如图，某数学兴趣小组测量旗杆的高度，已知旗杆垂直于地面，在点A处测得旗杆顶端C的仰角为，在点B处测得旗杆顶端C的仰角为，且A、B、D三点在同一直线上，若，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）
19．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于、两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)求面积．
20．某农场要建一个矩形养殖场：养殖场的一边靠墙（长10米），另外三边用围栏围成，围栏总长20米，设养殖场的边的长为，矩形面积为．
(1)当矩形养殖场面积为时，求边的长；
(2)能否围成面积为矩形养殖场？请说明理由；
(3)求矩形养殖场面积的最大值．
21．如图，为的直径，点A、E是上两点，，连接、、、，点B是延长线上一点，连接，．
(1)求证：与相切于点A；
(2)若，求．
(3)在（2）的条件下，若半径为6，求弦的长度．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．D
【分析】根据不可能事件的定义判断A，根据必然事件的定义判断C，根据概率的知识判断B和C．本题考查了事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
【详解】解：A. 抛掷硬币正面向上，是随机事件，故不正确；
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故不正确；
C. 买彩票中奖，是随机事件，故不正确；
D.任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，正确；
故选D．
3．D
【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形即可解答．
【详解】解：根据左视图的概念可知，从物体的左面看得到的视图是D．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何体的左视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，按照题意找到正确的等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键．
根据题意，每轮传染中平均一个人传染了人，经过两轮传染后共有人患了流感，列出关于的一元二次方程，解方程，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
每轮传染中平均一个人传染了人，
，
解得：，（不合题意，舍去），
故选：．
5．B
【分析】本题考查方程跟的情况，掌握分和两种情况分别计算是解题的关键．
【详解】解：当时，方程为的解为，
当时，方程有实数根，
则，
解得，
综上所述，a的取值范围是，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律．根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的函数图象的解析式为，再向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为，
即．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，连接，求出半径的长，进而可得出的长，再由于E可知是直角三角形，且，根据勾股定理求出的长即可得出结论．
【详解】连接，
∵为的直径，，
∴，
∴，
∵于E，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
故选C.
8．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点是解题的关键，连接，，证明是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，利用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】如图，连接，，
根据题意，得，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选B．
9．D
【分析】根据原函数的图象和增减性质可以得解．
【详解】解：如图，设是x轴上三点，且 ，则由函数图象及函数的增减性质可知
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反函数的图象和增减性是解题关键．
10．C
【分析】利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答．本题考查二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的性质和灵活运用数形结合的思想解题．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即抛物线过原点；因此①正确；
当时，，由图象可知此时，即，因此②正确；
对称轴是，即，
∴，
∵抛物线过原点，
∴，
∴，故③正确；
对称轴是，即，
∴，
∵，
∴当时，，
∴顶点为，因此④正确；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即：当时，y随x的增大而减小，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故选：C．
11．
【分析】根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
【详解】点关于原点的对称点为．
故答案为．
12．
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；
利用根与系数的关系即可求出另一个根．
【详解】一元二次方程有两个不相等的根，
，
，
即方程的另一个根为，
故答案为：．
13．24πcm2
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故答案为：24πcm2．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
14．
【分析】根据反比例函数点的特征求解即可；
【详解】过点B作轴，过点A作轴，
设，
∵∠OAB=30°，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴△BCO∽△ODA
∴，
∴，
∵，
∴，
∵经过点B的反比例函数在第二象限，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，勾股定理计算，角所对直角边是斜边一半，准确分析计算是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知．
【详解】如图所示，连接，，
根据图形平移的性质可知，
设抛物线的表达式为，
抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为，
将代入，得，
所以，点的坐标为，
将代入抛物线，得，
所以，点的坐标为，
，
所以，，
故答案为：．
16．（1）4；（2），
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算及一元二次方程，牢记特殊三角函数值和选用合适方法解一元二次方程是解题的关键；
（1）先计算特殊三角函数值，在进行二次根式的化简，最后按照二次根式的混合运算计算即可；
（2）方程利用因式分解解法求解即可．
【详解】（1）
，
；
（2）
或，
，．
17．(1)
(2)这个游戏不公平，当两次摸出的小球颜色不同则小明得1分，颜色相同小亮得2分．则游戏公平
【分析】（1）画树状图，再由概率公式求解即可；
（2）分别求出小明得分、小亮得分的概率，即可得出结论，再改一下小亮的得分即可得到公平的游戏．
本题考查的是列表法与树状图法、游戏公平性的判断．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】（1）解：如图所示：
共有12个等可能的结果，其中两次摸出的小球是不同颜色的结果有8个，
∴P（两次摸出的小球是不同颜色）；
（2）由（1）得：P（小明得1分），平均每次得分为分，
∵两次摸出的小球颜色相同的结果有4个，
∴P（小亮得1分），平均每次得分为分，
所以游戏不公平；
当两次摸出的小球颜色不同则小明得1分，颜色相同小亮得2分．则游戏公平，理由如下：
由（1）得：P（小明得1分），平均每次得分为分，
∵两次摸出的小球颜色相同的结果有4个，
∴P（小亮得2分），平均每次得分为分，
所以游戏公平．
18．旗杆的高度是
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设，根据三角形函数得出和的长，根据，列式计算，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
解得：，
∴，
∴这棵树的高度约为．
19．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．
（1）利用待定系数法计算解析式即可．
（2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可．
（3）设直线与y轴的交点为C，利用直线解析式计算，结合计算即可．
【详解】（1）∵一次函数与反比例函数的图像相交于、两点，
∴
，
解得，
故；．
（2）∵，，且，
故或．
（3）设直线与y轴的交点为C，
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴．
20．(1)边的长为
(2)无法围成面积为矩形养殖场，理由见解析
(3)矩形养殖场的最大面积为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据矩形面积公式列出方程是解题关键．
（1）根据题意得，解方程，舍去不合题意的方程的解即可求解；
（2）根据题意得， 解方程，得到方程没有实数根，即可得到无法围成面积为矩形养殖场．
（3）根据题意得到，求得，二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案．
此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和二次函数是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，，
当米时，（米），符合题意；
当米时，（米），
∵墙长度为10米，
∴米不符合题意；
∴边的长为6米；
答：边的长为6m.
（2）解：不能围成面积为矩形养殖场，理由如下：
根据题意得，
则，
即，
∵，
∴方程没有实数根，
答：无法围成面积为矩形养殖场.
（3）由题意可得，，
由得到，
∵，且，
∴当时，有最大值为50.
答：矩形养殖场的最大面积为.
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证明即可．
（2）根据，结合，得到，得到，结合，，计算即可．
（3）过点O作于点G，连接，交于点F，利用垂径定理及其推论，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切于点A．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
（3）∵，为的直径，，
∴，
解得，，
过点O作于点G，
∴
∵为的直径，
∴是的中位线，
∴，
连接，交于点F，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积公式，熟练掌握垂径定理，勾股定理；中位线定理是解题的关键．
22．(1)，顶点；
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
顶点坐标为；
（2）解：作交于点，
令，则，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点R的坐标为，
∴
，
∵，
∴时，有最大值，此时点P的坐标为；
（3）解：∵点Q是线段上一点，
∴设点Q的坐标为，
∵，，
∴，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点P的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为；
如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴点P的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
