河南省商丘市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（ ）
A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20
5．已知点P关于x轴对称的点的坐标是，则点P关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
6．若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ）
A．-4 B．16 C．-4或-16 D．4或16
7．如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
8．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ）
A． - =1 B． - =1 C． - =1 D． - =1
9．化简的结果是
A． B． C． D．
10．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
二、填空题
11．已知，则的值为 ．
12．如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ．
13．华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为 ．
14．分解因式：a2b﹣9b= ．
15．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 ．
三、解答题
16．计算
(1)计算：
(2)分解因式：
17．先化简、再求值：，其中
18．解分式方程
(1)
(2)
19．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
(1)问第二次购进了多少件文具？
(2)文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
20．如图，在中，点D在边BC的延长线上，射线CE在的内部．给出下列信息：①；②CE平分：③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．
21．如图，已知锐角．
(1)尺规作图．作AC边的垂直平分线交BC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若与有什么关系 并说明理由．
22．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践
在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解
如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：_______________筝形（填“是”或“不是”）
(2)性质探究
如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明．
(3)拓展应用
如图3，是锐角的高，将沿AB边翻折后得到，将沿AC边翻折后得到，延长EB，FC交于点G．
①请写出图3中的“筝形”：____________；（写出一个即可）
②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据分式的分母不为零求解即可．
【详解】解：∵分式有意义
∴x+6≠0，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．B
【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性．
【详解】解：A选项错误，；
B选项正确；
C选项错误，；
D选项错误，．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
3．A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：．是最简分式；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．
4．A
【分析】把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【详解】解：x2+mx+36=（x﹣2）（x﹣18）=x2﹣20x+36，
可得m=﹣20，
故选：A．
【点睛】考点：因式分解-十字相乘法等．
5．C
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出点P，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解：∵点P关于x轴对称的点的坐标是，
∴点P的坐标为，
∴点P关于y轴对称的点的坐标是．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．D
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2（m-3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）=x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m-3=±1，n+2=0，
解得：m=4或m=2，n=-2，
当m=4，n=-2时，nm=16；
当m=2，n=-2时，nm=4，
则nm=4或16，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
7．C
【分析】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．首先求得点E关于直线的对称点，连接，即可求得答案．
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，连接，此时最短，
∵与关于直线l对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短，即最短，
∵与直线交于点，
点应选点．
故选：C．
8．B
【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，
根据题意得：，
即：．
故选B．
9．D
【详解】解：
故选D．
10．B
【分析】先用k表示x，然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案.
【详解】解：，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且，
故选．
【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
11．/
【分析】把 转化成的形式，根据同底数幂乘法法则可得 ，把 代入求值即可.
【详解】解：由 ，
得 ，
∴ ，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
12．12/十二
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．
【详解】解：这个正多边形的边数为：，
故答案为：12．
13．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个，
所以0.000000007=7×10-9．
故答案为：7×10-9．
【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．b（a+3）（a﹣3）
【详解】【分析】先提取公因式b，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】a2b﹣9b
=b（a2﹣9）
=b（a+3）（a﹣3），
故答案为b（a+3）（a﹣3）．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
15．
【分析】如图所示（见详解），过A和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【详解】解：如图所示，过A和分别作于，于，即，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°，
∴，
∴，
在，中，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点A的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴则B点的坐标是．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与直角三角形的综合运用，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．构造全等三角形是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式混合运算，因式分解；
（1）先用平方差公式及多项式除以单项法则进行乘除运算，再算加减，即可求解
（2）先按多项式乘以多项式法则进行运算，再计算加减，然后对多项式进行因式分解，即可求解；
掌握运算法则及平方差公式是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．，
【分析】本题考查了分式化简求值，实数运算；对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，求出，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵
；
∴当时，
原式
．
18．(1)无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；
掌握解题步骤，检验根的正确性是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
（2）方程两边同时乘以得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
19．(1)200件
(2)盈利元，理由见详解
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用；
（1）等量关系式：第一批玩具的价格第二批玩具的价格，据此列方程，解方程，检验，即可求解；
（2）总销售额（两次损耗费用第一次购文具费用第二次购买文具费用），即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设第一次购进件文具，由题意得，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件）；
答：第二次购进200件文具．
（2）解：由题意得
（元）；
答：文具店老板在这两笔生意中盈利元．
20．见解析
【分析】选择①②作为条件，③作为结论；由平行线的性质可以得到，由角平分线可以得到，等量代换可证，进而证明结论．
【详解】选择①②作为条件，③作为结论．
∵，
∴．
∵CE平分，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，在的两边相交于两点，然后过两交点作直线即可；
（2）如图：连接AD．根据垂直平分线的性质可得，进而得到；然后再说明可得，最后再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：．理由如下：
连接AD．
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角等知识点，正确作出垂直平分线是解答本题的关键．
22．（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC BP=(10 2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10 2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
23．(1)是
(2)在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，理由见解析
(3)①四边形；②的度数为或或
【分析】（1）根据题意得，，即可得四边形是筝形；
（2）连接，，根据四边形是筝形得，，利用SSS证明，得，，即可得平分，；
（3）①根据沿AB边翻折后得到得，可得，，即可得；②根据沿AC边翻折后得到得，可得，，即可得四边形是筝形，则，，根据得，，根据在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角得，根据四边形内角和为，得，当是等腰三角形时，有三种情况：①当时，，可得，根据平角得，根据是锐角的高得，即可得；②当时，，则，根据是锐角的高得，即可得；③当时，，即可得，根据是锐角的高得，即可得．
【详解】（1）解：∵四边形为对折后折出的三角形。
∴，，
∴四边形是筝形，
故答案为：是．
（2）性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，证明如下：
证明：如图所示，连接，，
∵四边形是筝形，
∴，，
在和中，
∴（SSS），
∴，，
∴平分，．
（3）解：①∵沿AB边翻折后得到，
∴，
∴，，
∴四边形是筝形，
故答案为：四边形；
②∵沿AC边翻折后得到，
∴，
∴，，
∴四边形是筝形，
∴，，
∵，
∴，，
∵在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，
∴，
∵四边形内角和为，，
∴，
当是等腰三角形时，有三种情况：
①当时，，
∴，
∴，
∴，
∵是锐角的高，
∴，
∴；
②当时，
∴，
∴，
∵是锐角的高，
∴，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∵是锐角的高，
∴，
∴；
综上，的度数为或或．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
