河南省洛阳市宜阳县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．4的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
2．下列说法错误的是（ ）
A．0的平方根是0 B．负数没有平方根
C．无限小数是无理数 D．任何一个负数都有立方根
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知：，，则的值为（ ）
A．25 B．20 C．13 D．17
5．已知一个正方形的边长减少，它的面积减少了，原来这个正方形的面积为（ ）
A．25 B．5 C．6 D．36
6．如图：，添加下列条件（ ）不能保证
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在中，，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．或3
9．如图所示的扇形统计图描述了某小学学生对课后延时服务的打分情况（满分为5分），已知该校有学生500人，则打5分的学生有（ ）人
A．150 B．100 C．50 D．10
10．如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
二、填空题
11．的立方根是 ．
12．计算：= ．
13．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
14．计算： ．
15．如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)．
17．因式分解
(1)；
(2)．
18．已知：如图，，，与相交于点，连接．
证明：
(1)；
(2)平分．
19．如图，在四边形内找一点P，使点P到四边形的三条边，，的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作图步骤）
20．如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？
21．2022年，我国粮食总产量为万吨，其中，谷物63324.3万吨，豆类万吨，薯类万吨，根据上述数据绘制扇形统计图，并求出各部分扇形的圆心角分别是多少度（精确到1°）？
22．如图，在等边中，点D、E分别是边上的点，与交于点F，，
求证：
(1)；
(2)．
23．如图，在中，点E在边上运动（不含端点），平分交于点P，且．
(1)试说明：；
(2)过点B作交于点F，若，试说明：；
(3)在（2）的条件下，试探究满足怎样的数量关系？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±2 ）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选A．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
2．C
【分析】本题考查无理数的定义、平方根、立方根的定义，根据无理数的定义、平方根、立方根的定义逐一判断即可得答案
【详解】A．0的平方根是0，故该选项正确，不符合题意，
B．负数没有平方根，故该选项正确，不符合题意，
C．无限不循环小数是无理数，故该选项错误，符合题意，
D．任何一个负数都有立方根，故该选项正确，不符合题意，
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方逐项运算排查即可．
【详解】解A．与不是同类项，不能合并，则此项错误，不符合题意；
B．，则此项错误，不符合题意；
C． ，则此项正确，符合题意；
D． ，则此项错误，不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形得结论．
【详解】解：，，
．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“面积减少了”列方程求解．
【详解】解：设原小正方形的边长为，
则：，
解得：，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断．
【详解】解：A、，又，，由判定，故A不符合题意；
B、，，分别是和的对角，不能判定，故B符合题意；
C、，又，，由判定，故C不符合题意；
D、，，，由判定，故D不符合题意．
故选：B．
7．C
【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形．
【详解】解：是的角平分线，
，
，
是等腰三角形①．
，
，
是等腰三角形②．
，，
，
，
是等腰三角形③．
故图中的等腰三角形有个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．在中，分两种情况：当时，当时，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：当时，，，
由勾股定理得：，
当时，，，
由勾股定理得：，
∴或3，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了扇形统计图．求出打5分的学生所占的百分比，然后乘以学校人数即可．
【详解】解：打5分的学生有：（人．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了作图-基本作图，勾股定理和角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．过F点作于H点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明，得到，所以，设，则，利用勾股定理得，然后解方程即可．
【详解】解：过F点作于H点，如图，
由作图痕迹得平分，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
即的长为，
故选：A．
11．-2
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
12．x2＋x－6
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【详解】解：＝x2－2x＋3x－6＝ x2＋x－6
故答案为x2＋x－6.
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．
【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，整式的除法．先利用完全平方公式计算括号里，再算括号外，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
16．(1)
(2)10
【分析】本题主要考查了整式之间的混合运算及化简求值，熟练掌握相关概念是解题关键．
（1）先去括号，然后合并同类项进行计算即可；
（2）先将原式去掉括号化简，然后进一步因式分解，最后计算即可．
【详解】（1）解：
（2））解：
17．(1)
(2)
【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）原式整理后，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，即可．
（1）根据，，得，推出，则，根据，则，则，即可得；
（2）由（1）得，，，推出，则，即可．
【详解】（1）证明如下：
∵，，
∴，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
即平分．
19．见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．分别作、的角平分线，两平分线的交点为P，根据角平分线的性质可判断点P满足条件．
【详解】解：如图，点P为所作．
20．
【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时长，再找出最短的即可．
【详解】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，
则在中，，，，
由勾股定理知：，
若小虫在正面和侧面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，
则在中，，，，
由勾股定理知：，
如图
同法可得：，
∵，
∴小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，长度为．
21．谷物，豆类，薯类扇形的圆心角分别约为，，．
【分析】本题考查扇形统计图，掌握扇形统计图中各扇形圆心角度数的计算方法是解题的关键．将各部分所占百分比乘以即可求出各部分扇形的圆心角分别约为多少度．
【详解】解：谷物：，
豆类：，
薯类：，
用扇形统计图表示这组数据，谷物，豆类，薯类扇形的圆心角分别约为，，，
用扇形统计图表示如下：
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定：
（1）证明，可得结论；
（2）利用全等三角形的性质解决问题．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴．
23．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)，见解析．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）证明，即可解决问题．
（2）先证明，推出，即可解决问题．
（3）首先证明，再证明即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵，于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）结论：．
理由：由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即．
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