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中山市 2023—2024学年上学期期末水平测试
八年级数学参考答案及评分建议
一、选择题（每小题 3分）
1. C； 2. D； 3. B； 4. A； 5. C； 6. B； 7. D； 8. A； 9. B； 10. C.
二、填空题（每小题 4分）
11. x -2； 12. 360；13. 3ab（b-2）； 14. 8； 15. 4.5.
三、解答题（一）（共 4个小题，每小题 6分，满分 24分）
16. 2 2解：原式= 4a -9 - 4a +a …………………4分
= a - 9 …………………6分
= m +n - n （m +n)(m - n)17.解：原式
m +n 3m …………………3分
= m - n
3 …………………4分
把m - n = 6代入， …………………5分
原式=2. …………………6分
18.证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD， …………………2分
在△ACE和△DBF中，
AE DF
A D，
AC DB
∴△ACE≌△DBF（SAS）， …………………5分
∴∠E＝∠F． …………………6分
1
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19. 解：（1）（图略），如图，△A1B1C1为所作； …………………3分
（2）A2（﹣2，﹣2），B2（﹣3，1），C2（﹣1，﹣1）． …………………6分
四、解答题（二）（共 3个小题，每小题 8分，满分 24分）
20. 解：（1）如图，
AD即为所求； …………………3分
（2）证明：
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°， …………………5分
∵AD⊥BC
∴∠CAD＝90°-∠C＝30°， …………………6分
∴在 Rt△ACD中，AC＝2CD，
∴BC＝4CD， …………………7分
∴BD＝3CD． …………………8分
21. 解：设“创新号”赛车的平均速度为 x m/s． …………………1分
50 50 2
根据题意列方程得： ,
x 0.1 x …………………4分
解得：x＝2.4 …………………5分
经检验：x＝2.4是原分式方程的解． …………………6分
2.4+0.1=2.5m/s …………………7分
答：“创新号”的平均速度为 2.4m/s，“梦想号”赛车的平均速度为 2.5m/s． ………8分
2
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22.（1）解：原式 = (ac - bc) + (a 2 - b2) …………………1分
= c(a - b) + (a +b)(a - b) …………………2分
= (a - b)(c + a +b) …………………3分
（2 2 2）∵ a - ab +c - 2ac +bc
= (a2 - 2ac + c2 ) - (ab - bc) …………………4分
= (a - c)2 - b(a - c)
= (a - c)(a - c - b) …………………5分
∴ (a - c)(a - c - b) = 0
∵b + c > a
∴ a - c - b 0 …………………6分
∴ a - c = 0
∴ a = c …………………7分
∴△ABC是等腰三角形． …………………8分
五、解答题(三)（共 2个小题，第 23题 10分，第 24题 12分，满分 22分）
23．解：（1）∵点 P，Q移动的速度相同，
∴CQ=PB， …………………1分
∵AB=AC，
∴AP+AQ=AB-PB+AC+CQ=2AB． …………………3分
（2）如图，过点 P作 PF∥AC交 BC于点 F， …………………4分
∵PF∥AC，
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，
∴BP＝PF，
由（1）得 BP＝CQ，
∴PF＝QC， …………………5分
在△PFD和△QCD中，
3
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PDF QDC
DPF DQC，
PF QC
∴△PFD≌△QCD（AAS）， …………………6分
∴DP＝DQ …………………7分
（3）解：ED为定值 5，理由如下：
如图，过点 P作 PF∥AC交 BC于点 F，
由（2）得，PB=PF
∴△PBF为等腰三角形，
∵PE⊥BC，
∴BE＝EF， …………………8分
由（2）得△PFD≌△QCD，
∴FD＝CD， …………………9分
ED EF FD 1 BF 1CF 1 (BF CF ) 1 BC 1∴ 10 5，
2 2 2 2 2
∴ED为定值 5 …………………10分
.
24.（1）解：点 P不是等边△ABC的勃罗卡点，理由如下：
∵AP=BP，
∴∠PBA=∠BAP=25°，
∴∠PAC=60°-∠BAP=35°， …………………1分
∵等边△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
又∵PA=PB，
∴PC是 AB的中垂线，
∴CP平分∠ACB，
∴∠PCB=30°， …………………2分
∴∠PAC≠∠PCB≠∠PBA，
依据定义，点 P不是等边△ABC的勃罗卡点 …………………3分
4
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（2）解：∵P为等边三角形 ABC的勃罗卡点，
∴∠PAC＝∠PCB＝∠PBA＝α，
∴∠PAB＝60°﹣α，
∴∠PAB+∠ABP+∠APB＝180°，60°﹣α+α+∠APB＝180°，
∴∠APB＝120°， …………………4分
同理可得∠APC＝∠BPC＝120°，
在△BPA和△APC中，
APB APC
ABP CAP，
AB AC
∴△BPA≌△APC（AAS）， …………………5分
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠ACP， …………………6分
∴α＝60°﹣α，
∴α＝30°； …………………7分
（3）证明：∵P、P＇关于 AB对称，
∴AB为 PP＇的中垂线，
∴BP＇=BP，
∴△BP＇P是等腰三角形，
∵BO⊥P＇P，
由（2）易知∠PBO=30°
∴∠P＇BO=∠PBO=30°，
∴∠PBP＇= 60°，
∴△BP＇P是等边三角形，同理可得△APP＇为等边三角形 …………………8分
在△BPP＇内部作∠BPN=30°交 BO于点 N.
连接 P＇N，
∵BO是 PP＇的中垂线，
∴P＇N=PN
∴∠ NP＇P=∠NPP＇=60°-∠BPN=30°，
又∠PBP＇=60°，
5
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1
∴∠NBP= ∠PBP＇=30°，
2
∴∠NP＇P=∠NPB=∠NBP＇=30°，
∴点 N为△BP＇P的勃罗卡点，且∠ONP=60°， …………………10分
在△APP＇内部作∠APM=30°交 AD于 M，
同理可证 M为△APP＇的勃罗卡点，∠PMO=60°， …………………11分
∴∠MPN=30°+30°=60°，
∴∠PNO=∠PMO=∠MPN=60°，
∴△MNP是等边三角形 . …………………12分
注意：以上解答题只提供一种解法，其它解法请参照酌情给分．
6
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