2023-2024学年河北省保定市高碑店市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共16小题，共38分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.二次函数的图象如图所示，则的值可能为( )
A. B. C. D.
3.如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，点，分别在，上，，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.一元二次方程的根的情况是( )
A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定
6.如图，嘉嘉利用刻度直尺单位：测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度和，为的中点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
7.将抛物线的顶点平移到，则平移的方式为( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8.如图，以为位似中心，作出的位似，使与的位似比为：图和图分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是( )
A. 只有珍珍正确 B. 只有明明正确 C. 两个人都正确 D. 两个人都不正确
9.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.已知闭合电路的电压单位：为定值，电流单位：与电阻单位：呈反比例函数，关系下列能反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
11.某国货洗衣液厂十月份生产洗衣液万桶，十二月份生产洗衣液万桶设该厂十一月份和十二月份平均每月的洗衣液产量的增长率为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
12.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
13.如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是( )
A. 平分
B.
C.
D.
14.如图，在正方形中，，为边上一点，为的中点，为的中点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
15.如图，在和中，，，，，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
16.若点在二次函数的图象上，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.菱形的一边长为，则这个菱形的周长为______．
18.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则 ______，的值为______．
19.如图，动点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，直线：分别交，于点，．
矩形的面积为______．
的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
按要求完成下列各小题．
计算：．
解方程．
21.本小题分
如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，交的延长线于点．
求证：．
若，求的度数．
22.本小题分
如图，点，，，分别在正方形网格的顶点上，每个小正方形的边长为．
从，，三点中任取一点与点连接，构成的线段长为的概率为______．
的顶点均在正方形网格的顶点上，若以为其中一个顶点，再从，，三点中任取两点为顶点画三角形，通过列表或画树状图的方式求所画三角形与相似的概率无需证明相似．
23.本小题分
小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间分钟与录入文字的速度字分钟之间的函数关系图象如图所示．
求与之间的反比例函数关系式．
小明在：开始录入，完成录入的时间为：，求小明每分钟录入的字数．
24.本小题分
如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树当太阳光与水平线成角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段，米．
______， ______．
求树根到地面的距离的长度．
求树的高度结果保留一位小数，参考数据：，，，
25.本小题分
为保证车辆的安全性，车辆出厂前都会进行刹车安全性测试，在某次刹车测试中，当汽车行驶至符合测试要求的固定速度时，测试人员开始刹车，从开始刹车开始计时，经过的时间为刹车时长，车辆继续行驶的距离为刹车距离，且与之间满足二次函数关系某品牌车辆刹车测试数据记录如：
刹车时长
刹车距离 ______
求刹车距离与刹车时长之间的函数表达式．
求表格中横线处的数值．
若在该次测试中，发现前方米处放有保障性防撞装置，此时开始刹车，问该车在不变道的情况下是否会与保障性防撞装置相撞？请说明理由．
26.本小题分
如图，在矩形中，，，点在边上，，为上一动点不与点，重合，将沿直线翻折，点落在点处，．
如图，若，延长交于点，求的长．
如图，当时，延长交于点．
求证：∽．
求的长．
如图，当的延长线经过点时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由特殊角的三角函数值可知，．
故选：．
直接根据解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数，只要熟记便可轻松解答．
2.【答案】
【解析】解：由函数图象的开口方向向上可以判断观察选项，只有选项A符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义和二次函数图象的开口方向判断的取值范围，从而得到答案．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
3.【答案】
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4.【答案】
【解析】解：，
，即，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先求出的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，中，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根当时，方程无实数根．
6.【答案】
【解析】解：由图可得，，，
点为线段的中点，
，
故选：．
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
将点向右平移个单位长度即可得到点，
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8.【答案】
【解析】解：珍珍和明明的作法中，∽，对应边平行、对应顶点的连线相交于一点，
与位似，且位似比为：，
珍珍和明明的作法都正确，
故选：．
根据位似变换的概念判断即可．
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
9.【答案】
【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
据此可以估计黑色部分的面积为．
故选：．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为( )
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10.【答案】
【解析】解：电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，、均大于，
反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是选项，
故选：．
根据题意得到电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，于是得到结论．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，得．
故选：．
根据等量关系“十月份生产洗衣液的数量平均每月增长的百分率十二月份生产洗衣液的数量”，列出方程即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，为运用方程解决实际问题的应用题型，同学们应加强训练，培养解题能力．
12.【答案】
【解析】解：反比例函数中，，
函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
点在第三象限，
，
又，
，
，
故选：．
根据反比例函数的性质进行解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在和中，，
如果∽，需满足的条件有：
或是的平分线；
；
故选：．
已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，
四边形为正方形，
，，
由勾股定理得，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，
故选：．
根据正方形的性质得出，，由勾股定理求出的长，再根据已知条件证得为的中位线，即可求出的长．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出的长是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
如图，过点作的延长线于点，
，
，
，
，
，
，，，
即，
，
故选：．
如图，过点作于点，根据锐角三角函数的定义表示出，再根据的面积得出，如图，过点作的延长线于点，根据锐角三角函数的定义表示出，再根据的面积公式计算即可．
本题考查了三角形的面积，锐角三角函数，正确作出两个三角形的高是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：点在二次函数的图象上，
，
，
当时，有最大值．
故选：．
把点代入中，得到，运用配方法求式子的最大值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉配方法是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：菱形的一边长为，
这个菱形的周长为，
故答案为：．
根据菱形的周长公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的周长公式是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设网格中的每个小正方形的边长为，则，，
，
∽，
，
取格点，则，，
，
，
故答案为：，．
设网格中的每个小正方形的边长为，则，，由，证明∽，得，取格点，则，，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明∽是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：设点，则点，点，
，
故答案为：；
由题意可得点，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点的坐标为，
同理可得点的坐标为，
，，
，即．
故答案为：．
根据反比例函数的值几何意义可得矩形面积；
根据函数解析式求出点、的坐标，利用等腰直角三角形性质再得到点、坐标，结合两点间的距离即可求得答案．
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握等腰直角三角形性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：原式
；
，
，
或，
所以，．
【解析】先根据特殊角的三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
．
解：四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【解析】根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论；
根据矩形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了矩形 到现在，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由题意得：，，，如图，
构成的线段长为的概率为，
故答案为：．
画树状图得出：
由树状图可知共有出现的情况有，，，种可能的结果，其中与相似的有种，即，，
故所画三角形与相似的概率，
答：所画三角形与相似的概率为．
运用勾股定理先求出线段，，，再根据概率公式即可求得答案；
由树状图求得所有等可能的结果与所组成的三角形与相似的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：设与之间的反比例函数关系式为，
图象过点，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
在：开始录入，录入到：，共分钟，
当时，，
解得，
答：小明每分钟录入个字．
【解析】利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
先求出录入时间是分钟，再代入函数解析式即可求出每分钟应录入多少个字．
本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
则，，
故答案为：，；
在中，，米，
则米；
在中，，米，
则米，
在中，，
则米，
米，
答：树的高度约为米．
根据题意、结合图形求出、；
根据含角的直角三角形的性质求出；
根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，进而求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，数据锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：设，
将，，代入上式得：
，解得：，
关于的函数解析式为：；
当时，，
故答案为：；
会．
理由如下：，
当时，汽车停下，行驶了，
，
该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；
将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题．
本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
26.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，，
，，，
，
四边形是矩形，
，由中折叠的性质得，
；
证明：由中折叠的性质得，，
，
，
，
∽；
在中，，，，
，
，
，
，
由得∽，
，
，
，
；
如图中，连接．
在中，，，
，
在中，，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【解析】根据矩形 到现在得到，，求得，，，根据折叠的性质得到，求得；
根据折叠的性质得，，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论；
如图中，连接利用勾股定理求出，，设，在中，利用勾股定理即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
第1页，共1页
