2023-2024学年湖北省黄冈市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.当分式的值为零时，( )
A. B. C. D.
3.点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.瑞典皇家科学院月日宣布，将年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔阿戈斯蒂尼、费伦茨克劳斯和安妮吕利耶三位科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”在这三位科学家的努力下，光脉冲已经可以达到阿秒级阿秒就是十亿分之一秒的十亿分之一，即秒用科学记数法表示该数是( )
A. B. C. D.
5.分式与的最简公分母是( )
A. B. C. D.
6.下列从左到右的变形是因式分解的是
A. B.
C. D.
7.如图，在中，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.在平面直角坐标系中有一点，连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，则点的坐标不能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算： ______．
10.已知，则 ______．
11.已知一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为______．
12.中，，，则边的中线的取值范围是______．
13.如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为______．
14.如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在上的点处，若，则的度数为______．
15.若关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______．
16.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”例如，，就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是______，第个智慧优数是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：．
因式分解：．
18.本小题分
如图，≌点，，在同一条直线上．
求证：；
当，时，求线段的长．
19.本小题分
先化简，再求值：已知，从中选出合适的的整数值代入求值．
20.本小题分
如图，在中，，是的中点，点在上，求证：≌．
21.本小题分
已知的展开式中不含的二次项，，求：
的值；
的值．
22.本小题分
两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰．
求两个小组的攀登速度各是多少？
加强系统性体能训练后，两个小组的攀登速度显著提升现已知两个小组的攀登速度均提高，两个小组再次分别攀登高的山，共耗时，求．
23.本小题分
请认真观察下列等式：
；
；
并解决下列问题：
填空： ______；
已知，则 ______；
计算：已知，求的值；
已知，求的值．
24.本小题分
如图，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于．
求证：；
请你判断并与之间的数量关系，并证明；
如图，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点请问，你在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，故正确；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选A．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据分式的值为零的条件：分子等于，且分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于，且分母不等于是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
直接利用关于轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5.【答案】
【解析】解：与的最简公分母是，
故选：．
根据最简公分母的定义解答即可．
本题考查的是最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
6.【答案】
【解析】解：、，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解解，故此选项不符合题意；
B、，是整式的乘法，不属于因式分，故此选项不符合题意；
C、，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：
垂直平分，
上的点到、的距离相等，
，
最小，即最小，
最小即为，
最小为，
故选：．
因为垂直平分，所以上的点到、的距离相等，即，所以最小，就是最小时，两点之间线段最短，所以最小，即为，可得最小值．
本题考查了最短线路问题，关键是掌握垂直平分线的性质．
8.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，
点的坐标为，
，，
由勾股定理得，，
设点的坐标为，
则，
当时，，
，
即点的坐标为或；
当时，
轴，
，
，
即点的坐标为；
综上，点的坐标为或或；
故选：．
根据勾股定理求出的长，然后分两种情况：；；分别计算即可．
本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定，勾股定理，能够正确分类求解是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
利用零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：式子与在实数范围内有意义，
，解得，
，
．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，再求出的值即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
11.【答案】八
【解析】解：边，
多边形的边数为八，
故答案为：八．
根据多边形的外角和是求解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键．
如图，延长至，使，就可以得出≌，就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
【解答】解：如图，延长至，使，
是的中点，
．
在和中，
，
≌
．
，
．
，
，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
，，轴，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质推出，再坐标与图形的性质求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
由翻折变换可知，，
，
，
，
即，
故答案为：．
根据翻折的性质得到，再根据三角形内角和定理和外角的性质得出即可求解．
本题考查三角形内角和定理，掌握翻折的性质以及三角形内角和是是正确解答的前提．
15.【答案】
【解析】解：解不等式组，得，
至少有个整数解，
，
，
解分式方程，
得，
的值是非负整数，，
当时，，
当时，，
当时，，
是分式方程的增根，
舍去，
满足条件的的值有和，
，
所有满足条件的整数的值之和是．
故答案为：．
先解不等式组，根据至少有个整数解求出的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的的值，进一步求解即可．
本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，、均为正整数，
，，，
，，，
，
，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，
，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，
，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，
，得到的“智慧优数”分别为：，，，
，得到的“智慧优数”分别为：，
，得到的“智慧优数”为：
把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
第个“智慧优数”是，第个“智慧优数”是．
故答案为：，．
根据，、均为正整数，可得，，，那么，，，把平方差公式中的换成和相关的式子，代入可得一个新的公式，然后把，，依次代入，得到的数按照从小到大的顺序排列后，找到第个和第个“智慧优数”即可．
本题考查因式分解的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．易错点是利用平方差公式进行分类求解．
17.【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
将代入得，
故原方程的解为；
原式
．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可；
将原式整理后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查解分式方程及因式分解，熟练掌握解方程及因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：≌，
．
；
解：≌，
，，．
．
【解析】由全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论；
由全等三角形的性质得出，，则可得出答案．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式
，
在中，整数有、、，
由题意得：和，
当时，原式．
【解析】根据分式的乘法法则、减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：，是的中点
，
在和中，
，
≌．
【解析】根据等腰三角形的性质求出，利用即可证明≌．
此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：
由题意得，
解得，
即的值为；
，，
解得，，
．
【解析】运用整式的混合运算确定，，的值，并进行正确地计算、求解．
此题考查了整式的混合运算、完全平方公式和非负数的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
22.【答案】解：设第二小组的攀登速度是，则第一小组的攀登速度是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：第一小组的攀登速度是，第二小组的攀登速度是；
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为．
【解析】设第二小组的攀登速度是，则第一小组的攀登速度是，利用时间路程速度，结合第一组比第二组早到达顶峰，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出第二小组的攀登速度，再将其代入中，即可求出第一小组的攀登速度；
利用时间路程速度，结合两个小组再次分别攀登高的山共耗时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：；
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
，
除以，得，
，
所以，
即；
当时，，
，
所以
，
即，
，
，
当时，，
，
，
，
即此时无解，
综合上述：．
先根据完全平方公式展开，再算加减即可；
先根据完全平方公式展开，求出，再根据完全平方公式得出，再求出答案即可；
分为两种情况：，，再去掉绝对值符号，再根据完全平方公式求出答案即可．
本题考查了完全平方公式和分式的混合运算，能正确根据完全平方公式得出是解此题的关键．
24.【答案】解：、分别是、的平分线，
，，
，，
；
相等，
理由：如图，过点作于作于，连接，
是角平分线交点，
也是角平分线，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
成立．
理由：如图，过点作于作于，连接，
是角平分线交点，
也是角平分线，
，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
．
又，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可；
首先过点作于作于，连接，根据角平分线的性质，可得，又由在中，，，求得，又由，利用，即可证得≌，由全等三角形的对应边相等，即可证得；
过点作于作于，连接，根据角平分线的性质，可得，由，即可求得，，继而求得，利用，即可证得≌，由全等三角形的对应边相等，即可证得．
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
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