2023-2024学年河南省商丘市永城市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列代数式中，是分式的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中对称轴最多的是( )
A. B. C. D.
3.如图，平分，若要使≌，则应添加的条件是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列多项式中，可以运用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
5.如图，≌，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下列说法错误的是( )
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 到线段两端点的距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
8.如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后，某电商用元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
10.若分式方程无解，则的值是( )
A. 或 B. C. 或 D. 或
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式有意义，则的取值范围是______．
12.如果，，则 ______．
13.已知点和点关于轴对称，那么 ______．
14.如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是______．
15.如图，已知与都是等边三角形，点，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则下列结论：
≌；；；其中正确的有______填序号
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
分解因式：；
解方程：．
17.本小题分
先化简，再从，，中选一个合适的的值代入求值．
18.本小题分
如图，在中，，是的平分线，于点，且求证：．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
将向下平移个单位长度，得到，请画出；
画出关于轴对称的，并写出各个顶点的坐标．
20.本小题分
某中学组织八年级学生到位于林州市的红旗渠纪念馆进行研学活动红旗渠纪念馆距学校千米，部分学生乘坐大客车先行，出发分钟后，另一部分学生乘坐小客车前往，结果小客车与大客车同时到达已知小客车的速度是大客车速度的倍，求大客车的速度．
21.本小题分
如图，已知≌，点在边上，与交于点．
若，，求线段的长；
若，，求的度数．
22.本小题分
【材料阅读】
若，求和的值．
解：由题意得．
．
解得，．
【问题解决】
对于代数式，存在最大值还是最小值？此时，分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；
已知的边长，，满足，若是最长边且为偶数，求的周长．
23.本小题分
八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线延长的线段等于中线长或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
如图，在中，若，求边上的中线的取值范围；
如图，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若．
求证：；
如图，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点为边的中点，连接请直接写出与的数量关系和位置关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B.的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C.不是分式，故本选项不符合题意；
D.的分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意．
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，注意：已知、都是整式，式子的分母中含有字母，那么式子是分式．
2.【答案】
【解析】解：圆有无数条对称轴，正六边形有条对称轴，正方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴，
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可解决问题．
本题考查轴对称轴图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
当添加时，≌；
当添加时，≌；
当添加时，≌．
故选：．
先根据角平分线的定义得到，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
4.【答案】
【解析】解：与无法因式分解，则不符合题意；
无法因式分解，则不符合题意；
，则符合题意；
无法因式分解，则不符合题意；
故选：．
将各式因式分解后判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：≌，
，
．
故选：．
先根据全等三角形的性质得到，然后计算即可．
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
6.【答案】
【解析】解：，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
A.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D.根据完全平方公式进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关计算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则．
7.【答案】
【解析】解：、、中的说法正确，故A、、不符合题意；
C、到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故C符合题意．
故选：．
由角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，即可判断．
本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：边的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，求出即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能根据定理求出和是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据单价比第一批每箱便宜了元，数量与第一批的数量一样多，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
10.【答案】
【解析】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故选：．
先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：分式方程的分母等于，求出再代入整式方程，求出；整式方程无解，列出关于的方程，求出即可．
本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
先根据平方差公式分解，再代入求出即可．
本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
13.【答案】
【解析】解：点和点关于轴对称，
，，
．
故答案为：．
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，掌握关于轴对称的点的坐标特点是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设大正方形和小正方形的边长各为，，
由题意可得，
阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
设大正方形和小正方形的边长各为，，由题意可得，再运用三角形面积公式进行求解．
此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解．
15.【答案】
【解析】解：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，故错误；
≌，
．
，
，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形；
，故正确．
故答案为：．
根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形 的判定定理得到≌，故正确；根据，得到，求得，于是得到故错误；根据全等三角形的性质得到求得，故正确；根据全等三角形的判定和性质得到，推出是等边三角形；得到，故正确．
本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
16.【答案】解：原式
；
，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
，
检验：把代入，
是原方程的解．
【解析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可；
方程两边同时乘，把分式方程转化成整式方程，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程，求出，最后进行检验即可．
本题最重要考查了分解因式和解分式方程，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法和解分式方程的一般步骤．
17.【答案】解：
，
要使分式有意义，且，
所以不能为和，
取，
所以原式．
【解析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出不能为和，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】证明：，
，
是的平分线，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
．
【解析】根据等腰三角形的判定和性质定理以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由图可得，，，．
【解析】根据平移的性质作图即可．
根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：设大客车的速度为千米小时，则小客车的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：大客车的速度为千米小时．
【解析】设大客车的速度为千米小时，则小客车的速度为千米小时，利用时间路程速度，结合乘坐小客车的学生比乘坐大客车的学生少用分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：≌，
，，
，
．
≌，
，
，，
，
．
【解析】由全等三角形的性质得到，，求出的长，即可得到长．
由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到．
本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到，，．
22.【答案】解：代数式存在最小值，
证明：，
又，
，
代数式存在最小值，
当代数式取最小值时，解得，，
代数式的最小值为，
答：代数式存在最小值，，，最小值为；
，
，
解得，，
的边长，，，
，
是最长边且为偶数，
，
的周长，
答：的周长为．
【解析】利用配方法将代数式配方成偶次方，再确定代数式取最大值还是最小值，让后计算出此时，的值；
先使用配方法计算出中的，值，其次根据三角形的三边关系，确定边长的取值范围，最后根据题意确定边长和的周长．
本题考查的重点是熟练掌握配方法，学会使用非负数的性质计算最小值和最大值，三角形三边关系在题目中的运用．
23.【答案】解：延长至，使，连接，如图，
是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
证明：延长至点，使，连接、，如图：
同得：≌，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图，
同得：≌，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
，
即，．
【解析】延长至，使，连接，由证明≌得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
延长至点，使，连接、，同得：≌，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
延长至，使，连接，同得：≌，由全等三角形的性质得出，，证出，证明≌得出，，则延长交于，证出，得出，即可．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键．
第1页，共1页
