2023-2024学年辽宁省朝阳市朝阳县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列交通标识中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.用配方法解方程时，原方程应边形为( )
A. B. C. D.
3.关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是( )
A. B. C. D.
4.下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 车辆到达路口，遇到绿灯
B. 任意画一个五边形，其外角和是
C. 在标准大气压下，水的温度达到时水沸腾
D. 图形在旋转过程中面积不变
5.在二次函数的图象中，若随的增大而减少，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
6.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
7.如图，为的直径，，是圆周上的两点，若，则锐角的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，在正方形中，，点在对角线上任意一点，将正方形绕点逆时针旋转后，点的对应点为，则点到线段距离的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，对称轴为直线的抛物线中，以下结论：；；；；为任意实数；当时，随的增大而增大其中正确的结论有( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.已知点与点是关于原点的对称点，则 ______．
12.若关于的一元二次方程的一个根是，则为______．
13.在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为______．
14.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了个则该兴趣小组共有______名学生．
15.已知抛物线顶点在轴上，则 ______．
16.在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径是方程的一个根，那么与轴的位置关系是______，与轴的位置关系是______．
17.如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数为______．
18.如图，从一块边长为的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是______．
19.如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，则四边形的面积的最大值为______．
20.如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移______个单位．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐系中，的三个顶点，，均在格点上．
画出将向左平移个单位得到的，并写出点的坐标；
画出将绕点顺时针旋转后得到的，并求出线段旋转过程中扫过的面积．
22.本小题分
将张印有“我”“爱”“祖”“国”字样的卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．
从盒子中任意取出张卡片，恰好取出印有“爱”字的卡片的概率为______；
先从盒子中任意取出张卡片，记录后放回并搅匀，再从盒子中任意取出张卡片，求取出的两张卡片中，至少有张印有“国”字的概率请用画树状图或列表的方法求解．
23.本小题分
如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，求阴影部分的面积．
24.本小题分
某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价元，销量就会减少箱为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过，设该水果售价为每箱元．
用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；
现在预算要获得元利润，应按每箱多少元销售？
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线经过点，点．
试求抛物线的解析式；
点是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标；
若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：第一个和第三个既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个既是中心对称图形，又是轴对称图形．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
则的最大整数值是．
故选：．
若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
4.【答案】
【解析】解：车辆到达路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意；
B.任意画一个五边形，其外角和是，是不可能事件，不符合题意；
C.在标准大气压下，水的温度达到时水沸腾，是不可能事件，不符合题意；
D.图形在旋转过程中面积不变，是必然事件，不符合题意．
故选：．
根据事件的分类逐项分析即可．
本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，属于基础题．二次函数的对称轴为直线，当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小．
【解答】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而减少．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：如图所示：
四边形是菱形，
，
，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
当时，，不能构成三角形；
当时，，
菱形的周长．
故选：．
解方程得出，或，分两种情况：当时，，不能构成三角形；当时，，即可得出菱形的周长．
本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得，又由，即可求得的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角．
【解答】
解：连接，
是的直径，
，
，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，
飞镖落在阴影区域的概率是．
故选B．
由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，据此可得答案．
本题主要考查几何概率．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，
四边形是正方形，，
，，
由旋转可知：，，，，
是等腰直角三角形，，
过点作于点，
，
要求的最小值，只需求的最小值，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
，
当时，有最小值，最小值为，
此时，，
，
则点到线段距离的最小值为．
故选：．
连接，，，由旋转可得，，，，证明是等腰直角三角形，，过点作于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，要求的最小值，只需求的最小值，设，则，根据勾股定理求出的值，进而可以解决问题．
本题旋转的性质，正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知：，，
对称轴为直线：，
，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
对称轴为直线，则与的函数值相等，
当时，，故错误；
当时，，
，故正确；
当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
当时，随的增大而减小，故错误，
综上，正确的是．
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断，根据对称性求得时的函数值小于，判断；根据时的函数值，结合，代入即可判断，根据顶点坐标即可判断，根据函数图象即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标变化规律．
12.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
且．
解得．
故答案是：．
把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．注意：．
本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及根与系数的关系．注意：一元二次方程的二次项系数不等于零．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：摸到白球的频率之和为：，
总的球数为：，
红球有：个，
故答案为：．
根据摸到红球的频率，可以得到摸到白球的概率，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14.【答案】
【解析】解：设全组有名同学，
则每名同学所赠的标本为：个，
那么名同学共赠：个，
则，
解得不合题意舍去，．
故全组共有名同学．
故答案为：．
先求每名同学赠的标本，再求名同学赠的标本，而已知全组共互赠了个，故根据等量关系可得到方程，求解即可．
本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
15.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
抛物线与轴只有个交点，
，
解得，
故答案为：．
由抛物线顶点在轴上可得抛物线与轴有一个交点，从而可得，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
16.【答案】相切 相交
【解析】解：解方程得，，，
的半径为，
的圆心坐标为，
点到轴的距离为，点到轴的距离为，
的半径圆心到轴的距离，的半径圆心到轴的距离，
与轴的位置关系是相切，与轴的位置关系是相交，
故答案为：相切，相交．
解方程得到的半径为，于是得到的半径圆心到轴的距离，即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：由旋转的定义得：和均为旋转角，
，
，
，
故答案为：．
先根据旋转的定义可得，再根据角的和差即可得．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接，
是边长为的等边三角形，
，
扇形的弧长为，
圆锥的底面圆的半径是．
故答案为：．
连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
19.【答案】
【解析】解：设，四边形面积为，则，
则：，
当时，；
所以，四边形的面积最大值为．
故答案为：．
直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值．
此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，过作轴于，
抛物线的顶点为，
，
，
，
解得，
抛物线为：，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，设抛物线向下平移个单位后过点，
过点，
，
解得：．
故答案为：．
过作轴于，由抛物线的顶点为，求解抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明≌，再求解的坐标，再写出向下平移个单位后的抛物线的解析式，代入的坐标即可得到答案．
本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的平移，求解平移后的抛物线的解析式为是解本题的关键．
21.【答案】解：如图所示，即为所求，点的坐标为；
如图所示，即为所求；
的长度为：，
线段旋转过程中扫过的面积为：．
【解析】依据向下平移个单位，即可得到，进而写出点的坐标；
依据绕点顺时针旋转，即可得到的，依据扇形面积计算公式解答即可．
本题考查了利用平移变换和旋转变换作图，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．熟练掌握平移和旋转的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由题意可得，
从盒子中任意取出张卡片，恰好取出印有“爱”字的卡片的概率为，
故答案为：；
树状图如下所示，
由上可得，一共有种等可能性，其中至少有张印有“国”字的可能性有种，
至少有张印有“国”字的概率为．
根据题意，可以直接写出从盒子中任意取出张卡片，恰好取出印有“爱”字的卡片的概率；
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出至少有张印有“国”字的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
23.【答案】解：为的切线．
理由：连接、，如图，
为的直径，
，
又，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
为的切线；
解：由可知为直角三角形，且，，
，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
连接、，可求得，可证明为等边三角形，求得，即可证明为的切线；
结合可得到，，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
24.【答案】
【解析】解：平均每天的销售量为箱．
故答案为：．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，利润率，符合题意；
当时，利润率，不合题意，舍去．
答：应按每箱元销售．
利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合销售利润不能超过，即可确定的值．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解直线经过点，点，
，，
将，代入得，
解得
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于，
设，则，
，
，
当时，最大，
此时；
当点在直线下方的抛物线上时，则，
点与关于对称轴直线对称，
，
当点在直线的上方时，
设交轴于，
则，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
直线的解析式为，
，
解得，舍，
，
综上：点的坐标为或．
【解析】根据直线经过点，点，求得，，将，代入即可得到结论；
过点作轴，交于，运用待定系数法求直线的解析式，设，则，于是得到，利用铅垂高求面积即可解决问题；
当点在直线下方的抛物线上时，则，则点与关于对称轴对称，当点在直线的上方时，设交轴于，则，设，则，在中，由勾股定理得方程，可求出点的坐标，从而求出直线的解析式，与抛物线求交点即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程的解法，铅垂高求三角形的面等知识，分点在直线的上方和下方两种情形是解题的关键．
第1页，共1页
