16.1 二次根式
一、选择题：
1.下列各式是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.化简：的结果为( )
A. B. C. D.
5.已知，则化简的结果为( )
A. B. C. D.
6.已知，则化简二次根式的正确结果是( )
A. B. C. D.
7.下列运算结果中正确的是( )
A. B.
C. D. 的立方根是
8.若，都是实数，且，则的值为 ( )
A. B. C. D. 不能确定
9.的三边，，满足，则的形状是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
10.代数式的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：
11.______．
12.若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
13.若式子有意义，则实数的取值范围是______．
14.已知是整数，则自然数的值为 ．
15. ．
16.若实数，满足，则的平方根是 ．
17.已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，则该三角形的周长为 ．
18.已知、、是某三角形三边的长，则 ．
19.直线在平面直角坐标系中如图所示，则 ．
20.若满足 ， 则________
三、解答题：
21.若，求的值．
22.若，为实数，且，求的值．
23.已知，满足，求的值．
24.若，为实数，且，求的值．
25.已知实数，，，满足求的值及的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】的被开方数是负数，不是二次根式，的根指数是，不是二次根式，是二次根式，的被开方数是负数，不是二次根式，故选 C．
2.【答案】
【解析】若式子在实数范围内有意义，则，解得故选C．
3.【答案】
4.【答案】
【解析】解：要式分式用意义，必须，
即，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件求出，变形得出原式，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】，故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式的化简，根据二次根式的非负性进行化简即可．
【解答】
解：，，
，，
．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、因式分解、二次根式的性质以及立方根．
根据相关运算法则计算即可得．
【解答】
解：、，故A错误．
B、，故B正确．
C、，当时不成立，故C错误．
D、的立方根是，故D错误，
故选
8.【答案】
【解析】【分析】
要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出、的值，最后求的值．
本题主要考查二次根式有意义的条件．
【解答】
解：要使根式有意义，
则，，
解得，
，
．
故选C
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理的应用．
根据非负数的性质可求出，，的值，再将它们代入即可确定三角形的形状．
【解答】
解：三角形的三边，，满足 ，
，，．
解得：，，．
该三角形是等边三角形；
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的应用、最短路线问题以及两点间距离公式的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
先得到，设，，，可得的最小值等于线段的长，利用两点间距离公式，即可得到．
【解答】
解：
，
设，，，则表示点到点与点的距离之和，当点在线段上时，点到点与点的距离之和最短，即的最小值等于线段的长，
，
代数式的最小值是，
故选B．
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
利用进行化简即可．
此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
14.【答案】 2
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
【解析】【分析】
根据二次根式的性质以及三角形的三边关系即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确得出的范围以及运用二次根式的性质进行化简，本题属于基础题型．
【解答】
解：由三角形的三边关系可知：，
，，
原式
，
故答案为：．
19.【答案】
20.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查代数式求值，绝对值的非负性和二次根式的非负性根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出，然后移项，两边平方即可求得的值．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
即，
故答案为．
21.【答案】解：
，
，
【解析】根据二次根式的被开方数是非负数得到的值，进而求得的值，然后代入求值即可．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
22.【答案】解：由题意，得，，
解得，
则
当，时
当，时，
【解析】此题主要考查二次根式的性质．
根据，，求得，进而求得，再分情况讨论求得即可
23.【答案】解：由题意，得
解得，
，
．
【解析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式的非负性及求代数式的值，根据二次根式的非负性及分式有意义的条件，可得出、代入代数式求值即可．
24.【答案】解：由题意得，且，
解得且，
所以，，
，
．
【解析】根据被开方数大于等于列式求出，再求出，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
25.【答案】解：
，
，
．
，
，
，
，得，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
将，，代入，
得．
．
【解析】本题考查二次根式的非负性、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的非负性及有意义的条件是解答本题的关键．
化简，再根据非负数的性质可得出的值；
由非负数的性质可得，解二元一次方程组可得，的值，将，的值代入即可得出答案．
