2023年秋学期九年级期末学情调查
数学试题
（考试时间：120分钟，满分150分）
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）
1．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
5．如图，在Rt中，，则的值是（ ）
第5题图
A． B． C．3 D．
6．我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形OABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A在x轴负半轴上，固定边AO，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时∠CDO的度数为（ ）
图1 图2
第6题图
A．108° B．120° C．135° D．150°
第二部分非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．半径为4，点到点距离为3，则点在______（填“上”“内”或“外”）．
8．设是关于的方程的两个根，则______．
9．若，则______．
10．写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式______．
11．小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了______米．
12．2023年，某省新能源汽车产能达到30万辆．到了2025年，该省新能源汽车产能将达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为．则根据题意可列方程为______．
13．若圆锥的底面半径是2，母线长为3，则这个圆雉的侧面展开图的面积为______．
14．如图，点在矩形ABCD的AB边上，将沿DE翻折，点恰好落在BC边上的点处，若，则______．
第14题图
15．如图，是的外接圆，直径，则的长为______．
第15题图
16．如图，Rt中，是延长线上一点，，是边AB上一动点（不与点B重合），以BF、BD为邻边作，连接CE，G是线段上一点且，那么GF的取值范围是______．
第16题图
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
（1）计算：； （2）解方程：．
18．（本题满分8分）
某初中对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作"推荐阅读活动．
（1）小可从这4部名著中，随机选择1部阅读，她选中《西游记》的概率为______；
（2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》和《三国演义》这两本书同时被选中的概率．（请用画树状图或列表的方法求解）
19．（本题满分8分）
某校初一（11）班举行2024年元旦晚会，其中一个节目是男生和女生进行一分钟答题挑战赛．比赛规则：答对一道记1分（答错或不答得0分），男生和女生各选10名同学参加比赛（得分2
女生组得分属于良好的数据是：10，6，6，10，10，11；
男生组得分：6，9，5，12，8，11，8，9，14，8．
通过以上数据得到如下不完整的统计表：
分组 平均数 中位数 众数
女生组 8.5 a 10
男生组 9 8.5 b
女生组答题得分扇形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）b=______，m=______；
（2）小强经过计算发现，20名参赛同学的平均成绩=（女生组的平均成绩+男生组的平均成绩）÷2，据此他判断20名参赛同学得分的中位数=（a+8.5）÷2，你认为他的判断正确吗？并说明理由；
（3）若比赛规则由答对一道记1分改成记2分，其余不变，则10名女生成绩的方差将______．（填“变大”、“变小”或“不变”）
20．（本题满分8分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，c）、B（－2，y1）、C（2，y2）在抛物线y=ax2+bx+c（a>0）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）试比较y1，y2的大小，并说明理由．
21．（本题满分10分）
如图，是的外接圆，直径BD与AC交于点，点在BC的延长线上，连接．
第21题图
（1）求证：DF是的切线；
（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；
①；②；③；
你选的条件是：______．
22．（本题满分10分）
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，测得．
（1）求入射角的度数；
（2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离BC．
（参考数据：，，）
图1 图2 图3
第22题图
23．（本题满分10分）
（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D，BE与CF相等吗？请说明理由；
（2）如图2，在⊙O中，弦AB⊥CD，连接BD，请仅用无刻度的直尺作出弦AB的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
图1 图2
第23题图
24．（本题满分10分）
著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”。近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐。已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍。通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本。设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本）
（1）直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价；
（3）甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元（a>0）给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值．
25．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，过点P（0，1）任作一条直线分别交抛物线y=ax2（a≠0）于M、N两点，如图1，当轴时，△OMN是等腰直角三角形。
（1）a=______；
（2）如图2，过（0，－1）作y轴的垂线，过点M作l的垂线，垂足为A，连接AO、AN，
①设M点的横坐标为m，求N点的坐标（用含m的代数式表示）；
②试说明∠MAO=∠MAN；
（3）如图3，过P作x轴的平行线交抛物线于B、C两点，直线BM、CN相交于点D，△BCD的面积是否为定值？如果是，请求出△BCD的面积；如果不是，请说明理由．
图1 图2 图3
第25题图
26．（本题满分14分）
如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（m，0）（），点C的坐标为（－4，0），过点C作CD⊥AB，垂足为点D，连接OD．
（1）①求证：△AOB∽△CDB；②m=2时，求OD的长；
（2）∠ODB的大小是否为定值，如果是，求sin∠ODB，如果不是，请说明理由；
（3）坐标平面内有一点E（n，3），且满足∠ECD=∠ODB，求E点的坐标（用m的代数式表示）．
图1 备用图
第26题图
初三数学期末考试答案
一、选择题：
1．A 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B
二、填空题：
7．内 8．3 9． 10．（答案不唯一） 11．5 12．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17．（1）解：原式
（2）
或
，
18．解：（1）共有4部名著，∴随机选择1部为《三国演义》的概率为．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》和《三国演义》同时被选中的结果有2种，
∴《红楼梦》和《三国演义》同时被选中的概率为．
19．解：（1）8，20；
（2）因为20名选手重新排序，第10，11名选手分数为9分，9分，所以中位数为9分≠（10+8.5）
÷2，所以小强的判断是错误的．
（3）变大
20．解：（1）把A（－1，c）带入y=ax2+bx+c得：c=a－b+c a=b ∴对称轴为．
（2）把B（－2，y1），C（2，y2）代入抛物线得：
y1=4a－2b+c=2a+c y2=4a+2b+c=6a+c
∴y1－y2=4a>0∴y1>y2
21．解：（1）∵BD为直径∴∠BAD=90°即∠BAC+∠CAD=90°
∵∠BAC=∠F，∠CAD=∠DBF∴∠DBF+∠F=90°
∴BD⊥DF∴DF是⊙O的切线
（2）选②或③
证明略
22．（1）
（2）
作，，，，
， CH=18，∴BC=14
答：光斑移动的距离是．
23．（1）证明（略）
（2）
24．解：（1）y=－20x+1000
（2）由题意，得：（x－10）（－20+1000）=7500
解之得：x1=25 x2=35 ∵10≤x≤30 ∴x=25
答：该书的销售单价为25元．
（3）设每天的销售利润为w元
w=（x－10－a）（－20x+1000）
=－20（x－50）（x－10－a）
∴对称轴为直线
∵10≤x≤30在对称轴左侧，且抛物线开口向下
∴w随x的增大而增大∴x=30时，w最大=6000
∴－20（30－50）（30－10－a）=6000 a=5
答：a的值为5．
25．解：（1）a=1
①∵直线MN过点P（0，1）∴设直线MN的解析式为y=kx+1
由得的坐标为
②设与轴交于点，则
过作于则
（3）的面积为定值
设点的横坐标为m，由（2）知
由求得直线BM的解析式为：
由求得直线的解析式为：
由得：
点D到BC的距离为定值2
∴△BCD的面积为定值．
26（1）①证明：CD⊥AB∴∠CDB=∠AOB=90°
又∵∠CBD=∠ABO∴△AOB∽△CDB
②连接AC，由①得△AOB∽△CDB
又
Rt中求得：
时，Rt中求得：
带入上述比例式求得
②答：为定值
由（1）②得
．
（4）
又即
